可換モノイドの表示

定義から $g(p)\equiv h(p)$ なので $\pi\circ g=\pi\circ h$ である。
可換モノイド準同型 $k:Q\to A$ が $k\circ g=k\circ h$ を満たすとする。関係
$$ x\sim_k y\quad\Longleftrightarrow\quad k(x)=k(y) $$
は $Q$ 上の合同関係であり、すべての $(g(p),h(p))$ を含む。$\equiv$ の最小性から、$x\equiv y$ なら $k(x)=k(y)$ である。したがって
$$ \overline{k}:Q/{\equiv}\longrightarrow A, \qquad \overline{k}([x])=k(x) $$
はwell-definedな準同型で、$\overline{k}\circ\pi=k$ を満たす。$\pi$ は全射なので、この分解は一意である。よって $\pi$ は余等化子である。$\blacksquare$

$\mathbb N^{(R)}$ の任意の元は有限和 $\sum_r n_r\delta_r$ である。合同関係が加法と両立するため、生成元ごとの関係 $s(\delta_r)\equiv t(\delta_r)$ を課せば
$$ s\left(\sum_r n_r\delta_r\right) \equiv t\left(\sum_r n_r\delta_r\right) $$
が従う。逆に平行対のすべての値を同一視する合同関係は、とくに各生成元の像を同一視する。したがって両者が生成する合同関係は一致し、前定理から結論が従う。$\blacksquare$

可換モノイド $M$ の台集合を $X$ とし、標準基底元 $\delta_x$ を $x\in M$ に送る全射準同型
$$ q:\mathbb N^{(X)}\longrightarrow M $$
を取る。$q$ の核合同関係を
$$ K=\{(u,v)\in\mathbb N^{(X)}\times\mathbb N^{(X)}\mid q(u)=q(v)\} $$
とする。$K$ を集合 $R$ とみなし、二つの射影 $K\rightrightarrows\mathbb N^{(X)}$ を自由性により準同型
$$ s,t:\mathbb N^{(R)}\rightrightarrows\mathbb N^{(X)} $$
へ延長する。
前節の系により、この平行対の余等化子は、$K$ の全要素を関係式として生成される合同関係による商である。$K$ 自身が合同関係であり、しかも生成集合として $K$ の全要素を含めたので、生成される合同関係はちょうど $K$ である。ゆえに余等化子は
$$ \mathbb N^{(X)}/K\cong M $$
である。したがって $M$ は表示をもつ。$\blacksquare$

$M$ が有限表示 $\langle X\mid u_r=v_r\ (r\in R)\rangle_{\mathsf{CMon}}$ をもつとする。商写像 $\mathbb N^{(X)}\to M$ は全射であり、$\mathbb N^{(X)}$ は有限集合 $\{\delta_x\mid x\in X\}$ で生成される。したがってその像である $M$ も有限生成である。$\blacksquare$

$\varphi:\mathbb N^2\to H$ を $\varphi(a,b)=2a+3b$ と定めると全射であり、$(3,0)$ と $(0,2)$ は同じ元 $6$ に写る。
$\varphi(a,b)=\varphi(c,d)$ なら $2(a-c)=3(d-b)$ である。$2$ と $3$ は互いに素なので、ある $k\in\mathbb Z$ が存在して
$$ a-c=3k, \qquad d-b=2k $$
となる。$k\ge0$ なら $(a,b)=(c+3k,b)$ から関係 $3x=2y$ を $k$ 回用いて $(c,d)$ へ移る。$k<0$ なら逆向きに同じ議論を用いる。よって $\varphi$ の核合同関係は $(3,0)\equiv(0,2)$ で生成され、主張が従う。$\blacksquare$