全有界

1. $1$-網 $\{a_1,\dots,a_m\}$ をとる（$X\neq\emptyset$ なので $m\ge1$）。$R:=1+\max_id(a_1,a_i)$ とおくと、任意の $x\in X$ はある $a_i$ について $d(x,a_i)<1$ を満たすので $d(x,a_1)< R$、すなわち $X=B(a_1,R)$ である。
2. $A$ が全有界なら、$A$ の $\varepsilon$-網の点は $X$ の点でもあるので条件は満たされる。逆に条件を仮定し、$\varepsilon>0$ に対して $A\subset\bigcup_{i=1}^mB(x_i,\varepsilon/2)$ となる $x_1,\dots,x_m\in X$ をとる。$B(x_i,\varepsilon/2)\cap A\neq\emptyset$ となる各 $i$ について $a_i\in B(x_i,\varepsilon/2)\cap A$ を選ぶ（有限回の選択）。$a\in A$ に対し $a\in B(x_i,\varepsilon/2)$ となる $i$ をとると $a_i$ が定まっており、$d(a,a_i)\le d(a,x_i)+d(x_i,a_i)<\varepsilon$ である。よって選んだ $a_i$ たちは $A$ の $\varepsilon$-網である。
3. $A$ が全有界で $A'\subset A$ なら、$A$ の $\varepsilon$-網は 2 の条件を $A'$ について満たすので $A'$ は全有界である。$A_1,\dots,A_k$ が全有界なら、各 $A_j$ の $\varepsilon$-網の和集合は有限集合で、$A_1\cup\cdots\cup A_k$ を半径 $\varepsilon$ の開球で覆うので、2 により和集合は全有界である。
4. $A$ が全有界なら、$\varepsilon>0$ に対し $A$ の $\varepsilon/2$-網 $F$ をとる。$x\in\overline{A}$ に対し $d(x,a)<\varepsilon/2$ となる $a\in A$ があり、$a$ に対し $d(a,b)<\varepsilon/2$ となる $b\in F$ があるので $d(x,b)<\varepsilon$ である。よって $\overline{A}\subset\bigcup_{b\in F}B(b,\varepsilon)$ となり、2 により $\overline{A}$ は全有界である。逆は 3 による。
5. $\varepsilon>0$ に対し、一様連続性により $d_X(x,x')<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$ となる $\delta>0$ をとる。$X$ の $\delta$-網 $F$ に対し、$f(x)\in f(X)$ は $d_X(x,a)<\delta$ となる $a\in F$ をもち、$d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$ である。よって $f(F)$ は $f(X)$ の $\varepsilon$-網である。$\square$

1 ⇒ 2：$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の点列とする。無限集合の減少列 $\mathbb{N}\supset S_0\supset S_1\supset\cdots$ を次のように定める。$S_{-1}:=\mathbb{N}$ とおく。$S_{k-1}$ が無限集合として定まったとき、$X$ の $2^{-k}$-網 $F_k$ をとると、$S_{k-1}=\bigcup_{a\in F_k}\{n\in S_{k-1}\mid x_n\in B(a,2^{-k})\}$ は有限個の集合の和なので、そのうち少なくとも一つは無限集合である。それを $S_k$ とし、対応する中心を $a_k$ とする。この可算回の選択には従属選択公理を用いる。番号を $n_0:=\min S_0$、$n_k:=\min\{n\in S_k\mid n>n_{k-1}\}$ で定めると $n_0< n_1<\cdots$ であり、$k\ge j$ ならば $n_k\in S_k\subset S_j$、すなわち $x_{n_k}\in B(a_j,2^{-j})$ である。よって $k,l\ge j$ ならば $d(x_{n_k},x_{n_l})\le d(x_{n_k},a_j)+d(a_j,x_{n_l})<2^{1-j}$ であり、$(x_{n_k})$ は Cauchy 列である。
2 ⇒ 1：対偶を示す。$X$ が全有界でないとすると、ある $\varepsilon>0$ について $\varepsilon$-網が存在しない。特に $X\neq\emptyset$ である。$x_0\in X$ を任意にとり、$x_0,\dots,x_n$ が定まったとき、有限集合 $\{x_0,\dots,x_n\}$ は $\varepsilon$-網でないので $x_{n+1}\in X\setminus\bigcup_{i=0}^nB(x_i,\varepsilon)$ がとれる（従属選択公理）。こうして得た点列は $m\neq n$ について $d(x_m,x_n)\ge\varepsilon$ を満たすので、どの部分列も Cauchy 列でない。$\square$

1 ⇒ 2：$\varepsilon>0$ に対し、開球の族 $\{B(x,\varepsilon)\mid x\in X\}$ は $X$ の開被覆である（開球が開集合であることは 距離空間 が扱う）。コンパクト性により有限部分被覆 $B(a_1,\varepsilon),\dots,B(a_m,\varepsilon)$ がとれ、$\{a_1,\dots,a_m\}$ は $\varepsilon$-網である。よって $X$ は全有界である。完備性を示す。コンパクトな距離空間は点列コンパクトである（点列コンパクト が証明をもつ）。$(x_n)$ を Cauchy 列とし、$X$ のある点 $x$ に収束する部分列 $(x_{n_k})$ をとる。$\varepsilon>0$ に対し、$m,n\ge N$ ならば $d(x_m,x_n)<\varepsilon/2$ となる $N$ をとり、さらに $n_k\ge N$ かつ $d(x_{n_k},x)<\varepsilon/2$ となる $k$ をとる。$n\ge N$ ならば $d(x_n,x)\le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)<\varepsilon$ なので、$(x_n)$ は $x$ に収束する。
2 ⇒ 1：$X$ の任意の点列は、thm-totally-bounded-cauchy により Cauchy 部分列をもち、完備性によりその部分列は $X$ の点に収束する。よって $X$ は点列コンパクトであり、点列コンパクトな距離空間はコンパクトである（点列コンパクト が証明をもつ）。$\square$

$\overline{A}$ は完備である。実際、$\overline{A}$ の Cauchy 列は $X$ の Cauchy 列なので $X$ の点 $x$ に収束し、$\overline{A}$ は閉集合なので $x\in\overline{A}$ である。したがって thm-totally-bounded-compact により $\overline{A}$ がコンパクトであることは $\overline{A}$ が全有界であることと同値であり、これは prop-totally-bounded-basic の 4 により $A$ が全有界であることと同値である。$\square$

各 $k\in\mathbb{N}$ について $X$ の $1/(k+1)$-網 $F_k$ を一つ選ぶ（可算選択公理）。$D:=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}F_k$ は有限集合の可算和なので高々可算である。$x\in X$ と $\varepsilon>0$ に対し、$1/(k+1)<\varepsilon$ となる $k$ をとると、$d(x,a)<1/(k+1)<\varepsilon$ となる $a\in F_k\subset D$ がある。よって $D$ は稠密である。$\square$