群のホモロジー

1. $[\sigma g\otimes\sigma m]\mapsto g^{-1}\sigma^{-1}\sigma m=g^{-1}m$ なので写像は余不変商の上で定まる。逆写像は $m\mapsto[1\otimes m]$ であり、$[g\otimes m]=[g(1\otimes g^{-1}m)]=[1\otimes g^{-1}m]$ から両方の合成は恒等写像である。

2. 余不変商は直和と可換なので、自由加群 $P=\bigoplus_{i}\mathbb{Z}[G]$ では 1 により $(P\otimes M)_G\cong\bigoplus_iM$ であり、関手は恒等関手の直和として完全である。射影的な $P$ は自由加群 $F=P\oplus Q$ の直和因子で、$(F\otimes M)_G=(P\otimes M)_G\oplus(Q\otimes M)_G$ は $M$ について自然である。完全列 $M'\to M\to M''$ を写した列は、完全な列 $(F\otimes M')_G\to(F\otimes M)_G\to(F\otimes M'')_G$ の成分ごとの直和因子なので、核と像を成分ごとに比べて完全である。

3. 作用が自明なので、$P\otimes A$ の部分群 $I_G(P\otimes A)$ は $(\sigma p-p)\otimes a$ で生成され、$I_GP\otimes A\to P\otimes A$ の像に等しい。テンソル積 の記事の命題「テンソル積の右完全性」により $(P\otimes A)/(I_GP\otimes A\text{ の像})\cong(P/I_GP)\otimes A$ である。$\square$

導来関手 の記事の命題「比較定理」により、$\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ を持ち上げる鎖写像 $u\colon P_\bullet\to Q_\bullet$、$v\colon Q_\bullet\to P_\bullet$ があり、$vu$ と $\mathrm{id}_P$、$uv$ と $\mathrm{id}_Q$ は鎖ホモトピックで、同じ写像を持ち上げる 2 つの鎖写像も鎖ホモトピックである。$F(P):=(P\otimes M)_G$ は $G$ 準同型の和と合成を保つ共変関手なので、等式 $\mathrm{id}-vu=\partial s+s\partial$ を $\mathrm{id}-F(v)F(u)=\partial F(s)+F(s)\partial$ に移す。よって $F(u)$ と $F(v)$ は互いに逆のホモトピー同値で、ホモロジーに互いに逆の同型を誘導する。持ち上げを取り替えても鎖ホモトピックなので、誘導される同型は変わらない。$M$ についての自然性は、$G$ 準同型 $M\to N$ が $F(u)$ と可換なことから従う。$\square$

群コホモロジー の記事の定理「標準分解」の 1 により、$X_n$ は $(1,\tau_1,\tau_1\tau_2,\dots,\tau_1\cdots\tau_n)$ を基底とする自由 $\mathbb{Z}[G]$ 加群である。lem-ghom-free の 1 を基底ごとに使うと、$[(1,\rho_1,\dots,\rho_n)\otimes m]\mapsto[\tau_1|\cdots|\tau_n]m$ は同型 $(X_n\otimes M)_G\cong C_n(G,M)$ を与える（一般の元は $[g\,b\otimes m]=[b\otimes g^{-1}m]$ で基底の元 $b$ の形に直す）。$\partial(1,\rho_1,\dots,\rho_n)=(\rho_1,\dots,\rho_n)+\sum_{i=1}^n(-1)^i(1,\rho_1,\dots,\widehat{\rho_i},\dots,\rho_n)$ の各項を見る。第 1 項は $(\rho_1,\dots,\rho_n)=\tau_1\cdot(1,\tau_2,\tau_2\tau_3,\dots,\tau_2\cdots\tau_n)$ なので、$[\tau_1 b'\otimes m]=[b'\otimes\tau_1^{-1}m]$ により $[\tau_2|\cdots|\tau_n]\tau_1^{-1}m$ になる。$1\le i\le n-1$ で $\rho_i$ を除くと、隣り合う $\tau_i,\tau_{i+1}$ が積 $\tau_i\tau_{i+1}$ にまとまる。$\rho_n$ を除くと $[\tau_1|\cdots|\tau_{n-1}]$ になる。よってこの同型は $\partial\otimes\mathrm{id}$ を $\partial_n$ に移し、$C_\bullet(G,M)$ は複体で、ホモロジーは def-ghom-homology のものに等しい。$n=1$ の式から $\operatorname{im}\partial_1$ は $\tau^{-1}m-m$ で生成される部分群、すなわち $I_GM$ であり、$H_0(G,M)=M/I_GM=M_G$ である。$\square$

1 は prop-ghom-bar で示した。

2. 標準分解 $X_\bullet$ について、$[x\otimes g]\mapsto g^{-1}x$ は $(X_n\otimes\mathbb{Z}[G])_G$ から $X_n$（アーベル群とみる）への同型で（lem-ghom-free の 1 と同じ計算で、$[\sigma x\otimes\sigma g]\mapsto g^{-1}\sigma^{-1}\sigma x$）、境界写像が $G$ 準同型なので複体の同型である。$X_\bullet\to\mathbb{Z}$ は完全なので、$n\ge1$ で $H_n(X_\bullet)=0$ である。

3. 短完全列 $0\to I_G\to\mathbb{Z}[G]\xrightarrow{\varepsilon}\mathbb{Z}\to0$ に thm-ghom-long-exact を使うと、2 により$$0=H_1(G,\mathbb{Z}[G])\to H_1(G,\mathbb{Z})\to H_0(G,I_G)\to H_0(G,\mathbb{Z}[G])$$は完全である。$H_0(G,I_G)=I_G/I_G\cdot I_G=I_G/I_G^2$ で、右の写像は包含 $I_G\to\mathbb{Z}[G]$ が誘導する $I_G/I_G^2\to\mathbb{Z}[G]/I_G$ であり、$I_G$ の元は $I_G$ に入るので $0$ である。よって $H_1(G,\mathbb{Z})\cong I_G/I_G^2$ である。

$\theta(g):=[g-1]\in I_G/I_G^2$ とおくと、$gh-1=(g-1)(h-1)+(g-1)+(h-1)$ なので $\theta(gh)=\theta(g)+\theta(h)$ であり、$\theta$ は可換群への準同型として $G^{\mathrm{ab}}$ を経由する。逆に、$I_G$ は $g-1$（$g\neq1$）を基底とする自由アーベル群なので（群環 の記事の命題「添加イデアルの基底」）、$\alpha(g-1):=g[G,G]$ で準同型 $\alpha\colon I_G\to G^{\mathrm{ab}}$ が定まる（$g=1$ でも $\alpha(0)=1$ と整合する）。$I_G^2$ はアーベル群として $(g-1)(h-1)$ で生成され、$$\alpha\bigl((g-1)(h-1)\bigr)=\alpha\bigl((gh-1)-(g-1)-(h-1)\bigr)=gh\,g^{-1}h^{-1}[G,G]=[G,G]$$なので、$\alpha$ は $I_G/I_G^2$ を経由する。$\alpha\theta(g)=g[G,G]$、$\theta\alpha([g-1])=[g-1]$ なので、2 つは互いに逆である。$\square$

$\mathbb{Z}[G]$ の元を $x=\sum_{i=0}^{m-1}a_it^i$ と書く（群環 の記事の例「巡回群の群環」）。$tN=N$ なので $Nx=\varepsilon(x)N$ である。

$\ker\varepsilon=(t-1)\mathbb{Z}[G]$：$\sum a_i=0$ なら $x=\sum_ia_i(t^i-1)$ で、$t^i-1=(t-1)(1+t+\cdots+t^{i-1})$ である。逆の包含は $\varepsilon(t-1)=0$ による。

$\ker(t-1)=\mathbb{Z}N=N\mathbb{Z}[G]$：$tx=\sum_ia_{i-1}t^i$（添字は $m$ を法とする）なので、$(t-1)x=0$ はすべての $i$ で $a_i=a_{i-1}$、すなわち $x\in\mathbb{Z}N$ と同値である。$Nx=\varepsilon(x)N$ と $\varepsilon$ の全射性から $N\mathbb{Z}[G]=\mathbb{Z}N$ である。

$\ker N=\ker\varepsilon=(t-1)\mathbb{Z}[G]$：$Nx=\varepsilon(x)N$ で $N\neq0$ だから。

$\mathbb{Z}[G]$ は可換なので $t-1$ 倍・$N$ 倍は $G$ 準同型であり、各項は自由である。$\square$

持ち上げ．$D^q$ は凸なので弧状連結・局所弧状連結・単連結である。$E$ は弧状連結で、局所的に $K$ と同相なので局所弧状連結であり、被覆変換群 の記事の補題「持ち上げの判定法」により指定した値の持ち上げがあり、被覆空間 の記事の定理「持ち上げの一意性」により $D^q$ の連結性からただ 1 つである。

集合としての分割．$\Phi$ は $\operatorname{Int}D^q$ で単射なので、その持ち上げも $\operatorname{Int}D^q$ で単射である。$y\in p^{-1}(\Phi(\operatorname{Int}D^q))$ は、$p(y)=\Phi(x)$ となる内点 $x$ がただ 1 つで、$\tilde\Phi(x)=y$ となる持ち上げに含まれる。2 つの持ち上げが内点 $x_1,x_2$ で $\tilde\Phi_1(x_1)=\tilde\Phi_2(x_2)$ となれば、$\Phi(x_1)=\Phi(x_2)$ から $x_1=x_2$ で、一意性から $\tilde\Phi_1=\tilde\Phi_2$ である。よって持ち上げの内部の像は互いに交わらず $p^{-1}(K^q\setminus K^{q-1})$ を覆い、$\tilde\Phi(\partial D^q)\subset p^{-1}(K^{q-1})=E^{q-1}$ である。$E^0=p^{-1}(K^0)$ は離散空間の被覆なので離散である。

閉集合の判定 ()．CW 複体 $L$ と被覆 $p\colon E'\to L$ で、$L$ の胞体の特性写像が上のように持ち上がるものについて、$F\subset E'$ が閉集合であることと、$L$ の胞体のすべての持ち上げ $\tilde\Phi$ で $\tilde\Phi^{-1}(F)$ が閉集合であることは同値である。必要性は連続性による。十分性：$E'$ は均一に被覆される開集合 $V\subset L$ の上のシート $W$（$p|_W\colon W\to V$ は同相写像）で覆われるので、各 $W$ で $F\cap W$ が $W$ の閉集合であることを示せばよく、それには $B:=p(F\cap W)$ が $V$ の閉集合であることを示せばよい。$L$ の胞体の特性写像 $\Phi$ と $z\in\Phi^{-1}(V)$ をとり、$z$ の凸な相対開近傍 $U\subset\Phi^{-1}(V)$ をとる。$s:=(p|_W)^{-1}\circ\Phi|_U$ は $\Phi|_U$ の持ち上げなので、$\tilde\Phi(z)=s(z)$ となる持ち上げ $\tilde\Phi$ と $U$ 上で一致する（$U$ は連結）。$p|_W$ は単射なので、$x\in U$ について $\Phi(x)\in B\iff s(x)\in F$ であり、$\Phi^{-1}(B)\cap U=\tilde\Phi^{-1}(F)\cap U$ は $U$ の閉集合である。よって $\Phi^{-1}(B)$ は $\Phi^{-1}(V)$ の閉集合で、$O:=V\setminus B$ について $\Phi^{-1}(O)=\Phi^{-1}(V)\setminus\Phi^{-1}(B)$ は $D^q$ の開集合 $\Phi^{-1}(V)$ の開部分集合である。CW複体 の記事の定理「胞体ごとの判定」の 1 により $O$ は $L$ の開集合で、$B=V\setminus O$ は $V$ の閉集合である。

CW 複体であること．() を $E'=E$ に使う。$K^q$ は次元 $q$ 以下の胞体からなる CW 複体で、$p^{-1}(K^q)\to K^q$ は被覆写像であり、$K^q$ の胞体の持ち上げは $E^q$ に値をとるので、() は $E'=E^q$ についても成り立つ。$E^{q-1}$ に $q$ 次の持ち上げ $\tilde\Phi$ を $\tilde\Phi|_{\partial D^q}$ で貼った空間から $E^q$ への標準的な写像は連続な全単射で、CW複体 の記事の補題「貼り付けの基本性質」の 3 と () により閉集合を閉集合に写すので、同相写像である（次元が $q-1$ 以下の持ち上げ $\tilde\Phi$ については $\tilde\Phi^{-1}(F)=\tilde\Phi^{-1}(F\cap E^{q-1})$）。$E$ の弱位相は (*) から従う：すべての $q$ で $U\cap E^q$ が $E^q$ の開集合なら、すべての $\tilde\Phi^{-1}(U)$ が開集合で、$U$ は開集合である。$p(E^q)\subset K^q$ なので $p$ は胞体写像である。$\square$

1. $g\in G$ と持ち上げ $\tilde\Phi$ について $g\circ\tilde\Phi$ も $\Phi$ の持ち上げなので、$g$ は胞体を胞体に写す胞体写像である。$g\circ\tilde\Phi=\tilde\Phi$ なら $g$ は固定点をもち、被覆変換群 の記事の補題「被覆変換は 1 点で決まる」により $g=1$ である。$\Phi$ の 2 つの持ち上げ $\tilde\Phi,\tilde\Phi'$ と $x\in D^q$ について、ファイバーへの推移性から $g\tilde\Phi(x)=\tilde\Phi'(x)$ となる $g$ があり、一意性から $g\circ\tilde\Phi=\tilde\Phi'$ である。よって $G$ は $q$ 胞体の集合に自由に作用し、軌道は $K$ の $q$ 胞体と 1 対 1 に対応する。胞体ホモロジー の記事の補題「骨格の対のホモロジー」の 1 の基底 $e_{\tilde\Phi}=\tilde\Phi_*[D^q]$ について、すべての持ち上げに同じ $[D^q]$ を使えば $g_*e_{\tilde\Phi}=e_{g\tilde\Phi}$ である。同じ記事の命題「胞体写像が誘導する鎖写像」により $g_*$ は境界写像と可換なので、$C_\bullet(E)$ は主張の基底をもつ自由 $\mathbb{Z}[G]$ 加群の複体である。

2. $p\circ\tilde\Phi=\Phi$ なので $p_*e_{\tilde\Phi}=e_\Phi$ である。自由な $G$ 集合 $T$ 上の自由アーベル群 $\mathbb{Z}[T]$ の余不変商は軌道の集合 $T/G$ 上の自由アーベル群なので、$p_*$ は各次数で同型 $C_q(E)_G\cong C_q(K)$ を誘導する。$p$ は胞体写像なので鎖写像である。

3. $E$ は単連結で、$q\ge2$ では $\pi_q(E)\cong\pi_q(K)=0$ である（ホモトピー群 の記事の命題「被覆空間と$n$-単純性」）。$E$ は CW 複体なので、Whiteheadの定理 の記事の例「すべてのホモトピー群が自明な CW 複体」により可縮である。胞体ホモロジー の記事の定理「胞体ホモロジーと特異ホモロジーの同型」と 特異ホモロジーのホモトピー不変性 の記事の系「可縮な空間の被約ホモロジー」から、$H_q(C_\bullet(E))=0$（$q>0$）、$H_0(C_\bullet(E))\cong\mathbb{Z}$ である。$1$ 胞体の境界は終点と始点の差なので $\varepsilon\circ d_1=0$ であり、$G$ は $0$ 胞体を置換するので $\varepsilon$ は $G$ 準同型である。$\varepsilon$ が誘導する全射 $H_0(C_\bullet(E))\cong\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は同型なので、$\ker\varepsilon=\operatorname{im}d_1$ である。有限性と次元の主張は 1 の基底の記述から従う。$\square$

$\Delta^q$ は凸なので、lem-ghom-cover-cw の証明の「持ち上げ」と同じく、特異単体 $\sigma\colon\Delta^q\to K$ の持ち上げは頂点 $v_0$ での値を $p^{-1}(\sigma(v_0))$ の中で指定するごとにただ 1 つある。$E$ の特異単体 $\tau$ は $p\circ\tau$ の持ち上げである。$g\tau=\tau$ なら $g$ は固定点をもつので $g=1$ であり、$p\circ\tau$ の 2 つの持ち上げは、$v_0$ での値をファイバーへの推移性で移す $g$ により $g$ の作用で移り合う。よって $G$ は特異 $q$ 単体の集合に自由に作用し、軌道は $K$ の特異 $q$ 単体と 1 対 1 に対応する。$g\circ(\tau\circ d_i)=(g\circ\tau)\circ d_i$ なので境界写像は $G$ 準同型である。自由な $G$ 集合上の自由アーベル群の余不変商は軌道上の自由アーベル群なので、$p_\#$ は各次数で同型 $S_q(E)_G\cong S_q(K)$ を誘導し、$p_\#$ は鎖写像である。$\square$

$p\colon E\to K$ を普遍被覆、$G$ を被覆変換群とする（$\pi_1(K,b)$ と同型）。prop-ghom-cellular-resolution の 3 の証明のとおり $E$ は可縮なので、特異ホモロジーのホモトピー不変性 の記事の系「可縮な空間の被約ホモロジー」により $H_q(S_\bullet(E))=0$（$q>0$）であり、$E$ は弧状連結なので $0$ 単体の係数の和 $\varepsilon\colon S_0(E)\to\mathbb{Z}$ は $H_0(S_\bullet(E))\cong\mathbb{Z}$ を与える。$\varepsilon$ は $G$ 準同型なので、lem-ghom-singular-lift により $S_\bullet(E)\to\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の自由分解である。prop-ghom-independence と lem-ghom-free の 3、lem-ghom-singular-lift から$$H_n(G,A)\cong H_n\bigl((S_\bullet(E)\otimes A)_G\bigr)\cong H_n\bigl(S_\bullet(E)_G\otimes A\bigr)\cong H_n\bigl(S_\bullet(K)\otimes A\bigr)=H_n(K;A)$$である。$\operatorname{Tor}$ との同型は rem-ghom-tor による。CW 複体の $K(G,1)$ どうしはホモトピー同値であるが（Eilenberg–MacLane空間 の記事の定理「Eilenberg–MacLane 空間の一意性」）、そのことを使わなくても、右辺が $G$ だけで決まる。$\square$