Godementの標準分解

$U$ の点 $x$ での $\mathcal{F}|_U$ の茎は $\mathcal{F}_x$ なので、$U$ の開集合 $W$ について $\mathcal{C}^0(\mathcal{F})(W)=\prod_{x\in W}\mathcal{F}_x=\mathcal{C}^0_U(\mathcal{F}|_U)(W)$ であり、$\varepsilon$ も一致する。層の余核の形成は開集合への制限と交換する（余核は茎ごとに計算され、制限は茎を変えない）ので、$\mathcal{Z}^1(\mathcal{F})|_U=\mathcal{Z}^1_U(\mathcal{F}|_U)$ である。帰納法ですべての $n$ について同じことが成り立つ。後半は thm-god-main の 3 を $U$ 上で使えばよい。

1. $\pi^{-1}(x)=\{y_1,\dots,y_m\}$（$m\ge0$）とし、互いに交わらない開近傍 $W_i\ni y_i$ をとる。$\pi$ は閉写像なので、$\pi^{-1}(x)$ を含む任意の開集合 $W$ に対し、$x$ の開近傍 $V$ で $\pi^{-1}(V)\subset W$ となるものがある（閉写像 の定理「ファイバーの開近傍による特徴づけ」。$V:=X\setminus\pi(Y\setminus W)$ とおけばよい）。$\Phi_x$ は、$s\in\mathcal{G}(\pi^{-1}(V))$ の芽を $(s_{y_i})_i$ に送る写像で、$V$ の縮小と両立するので矛盾なく定まる。

単射性：$s_{y_i}=0$ がすべての $i$ で成り立つとする。$y_i$ の開近傍 $W'_i\subset W_i\cap\pi^{-1}(V)$ で $s|_{W'_i}=0$ となるものがある。$W':=\bigcup_iW'_i$ は $\pi^{-1}(x)$ を含む開集合なので、$x$ の開近傍 $V'\subset V$ で $\pi^{-1}(V')\subset W'$ となるものがある。$\pi^{-1}(V')$ は開集合 $W'_i\cap\pi^{-1}(V')$ で覆われ、その上で $s$ は $0$ だから $s|_{\pi^{-1}(V')}=0$ である（$m=0$ なら $\pi^{-1}(V')=\emptyset$）。よって $s$ の $x$ での芽は $0$ である。

全射性：$g_i\in\mathcal{G}_{y_i}$ をとり、$t_i\in\mathcal{G}(W'_i)$（$W'_i\subset W_i$ は $y_i$ の開近傍）で代表する。$W'_i$ は互いに交わらないので、層の貼り合わせにより $t\in\mathcal{G}(\bigcup_iW'_i)$ で $t|_{W'_i}=t_i$ となるものがある。$x$ の開近傍 $V$ で $\pi^{-1}(V)\subset\bigcup_iW'_i$ となるものをとれば、$t|_{\pi^{-1}(V)}$ の芽は $(g_i)_i$ に写る。自然性は定義から明らかである。

2. $\pi_*$ はつねに左完全である。完全列 $0\to\mathcal{G}'\to\mathcal{G}\to\mathcal{G}''\to0$ の順像の $x$ での茎は、1 により茎の列の有限個の直積と同型であり、完全である。

3. 開集合 $U\subset X$ について、点の集合 $\pi^{-1}(U)$ をファイバーごとに分けて$$(\pi_*\mathcal{C}^0_Y(\mathcal{G}))(U)=\prod_{y\in\pi^{-1}(U)}\mathcal{G}_y=\prod_{x\in U}\ \prod_{y\in\pi^{-1}(x)}\mathcal{G}_y\xrightarrow{\ \prod_x\Phi_x^{-1}\ }\prod_{x\in U}(\pi_*\mathcal{G})_x=\mathcal{C}^0_X(\pi_*\mathcal{G})(U)$$と定めると、制限はどちらも座標を捨てる射影なので、層の同型 $\alpha_{\mathcal{G}}\colon\pi_*\mathcal{C}^0_Y(\mathcal{G})\to\mathcal{C}^0_X(\pi_*\mathcal{G})$ を得る。$\Phi_x$ の自然性から $\alpha$ は $\mathcal{G}$ について自然である。$s\in(\pi_*\mathcal{G})(U)=\mathcal{G}(\pi^{-1}(U))$ の芽の族は、$\alpha$ によって $x$ ごとに $\Phi_x^{-1}((s_y)_{y\in\pi^{-1}(x)})$、すなわち $\pi_*\mathcal{G}$ における $s$ の $x$ での芽に写る。よって $\alpha_{\mathcal{G}}\circ\pi_*(\varepsilon_{\mathcal{G}})=\varepsilon_{\pi_*\mathcal{G}}$ である。

2 により $\pi_*$ は $0\to\mathcal{G}\to\mathcal{C}^0_Y(\mathcal{G})\to\mathcal{Z}^1_Y(\mathcal{G})\to0$ を短完全列に移す。これと $0\to\pi_*\mathcal{G}\to\mathcal{C}^0_X(\pi_*\mathcal{G})\to\mathcal{Z}^1_X(\pi_*\mathcal{G})\to0$ を恒等射と $\alpha_{\mathcal{G}}$ で結ぶと、余核の普遍性から自然な同型 $\beta_{\mathcal{G}}\colon\pi_*\mathcal{Z}^1_Y(\mathcal{G})\to\mathcal{Z}^1_X(\pi_*\mathcal{G})$ で $\beta_{\mathcal{G}}\circ\pi_*(q)=q\circ\alpha_{\mathcal{G}}$ をみたすものが得られる。

同型 $b_n\colon\pi_*\mathcal{Z}^n_Y(\mathcal{F})\to\mathcal{Z}^n_X(\pi_*\mathcal{F})$ を、$b_0:=\mathrm{id}$、$b_{n+1}:=\mathcal{Z}^1_X(b_n)\circ\beta_{\mathcal{Z}^n_Y(\mathcal{F})}$ で定め、$a_n:=\mathcal{C}^0_X(b_n)\circ\alpha_{\mathcal{Z}^n_Y(\mathcal{F})}\colon\pi_*\mathcal{C}^n_Y(\mathcal{F})\to\mathcal{C}^n_X(\pi_*\mathcal{F})$ とおく。$q$ と $\varepsilon$ の自然性から$$b_{n+1}\circ\pi_*(q_n)=\mathcal{Z}^1_X(b_n)\circ q\circ\alpha=q\circ\mathcal{C}^0_X(b_n)\circ\alpha=q_n\circ a_n,\qquad a_{n+1}\circ\pi_*(\varepsilon)=\mathcal{C}^0_X(b_{n+1})\circ\varepsilon=\varepsilon\circ b_{n+1}$$であり、$d^n=\varepsilon\circ q_n$ だから $a_{n+1}\circ\pi_*(d^n)=d^n\circ a_n$ である。$n=0$ の増大射についても $a_0\circ\pi_*(\varepsilon)=\varepsilon$ が成り立つ。よって $(a_n)_n$ は分解の同型である。

4. 定義により $\Gamma(X,\pi_*\mathcal{C}^\bullet_Y(\mathcal{F}))=\Gamma(Y,\mathcal{C}^\bullet_Y(\mathcal{F}))$ なので、3 と thm-god-main の 3 を $Y$ と $X$ の両方で使えば $H^q(Y,\mathcal{F})\cong H^q(\Gamma(Y,\mathcal{C}^\bullet_Y(\mathcal{F})))\cong H^q(\Gamma(X,\mathcal{C}^\bullet_X(\pi_*\mathcal{F})))\cong H^q(X,\pi_*\mathcal{F})$ である。また $R^q\pi_*\mathcal{F}\cong\mathcal{H}^q(\pi_*\mathcal{C}^\bullet_Y(\mathcal{F}))$（thm-god-main の 3）であり、3 によりこれは完全列 $\mathcal{C}^\bullet_X(\pi_*\mathcal{F})$ のコホモロジー層なので、$q\ge1$ で $0$ である。