Milnorの構成

位相 $\mathcal{T}$ で $t_i$ が連続であることは、$[0,1]$ の開集合 $V$ について $t_i^{-1}(V)\in\mathcal{T}$ となることである。このとき $\{t_i>0\}\in\mathcal{T}$ なので、$g_i$ が部分空間 $\{t_i>0\}$ の上で連続であることは、$G$ の開集合 $W$ について $g_i^{-1}(W)\in\mathcal{T}$ となることと同値である。したがって $EG$ の位相は、族 $\{t_i^{-1}(V)\}\cup\{g_i^{-1}(W)\}$ を部分基とする位相である。
$F$ が連続なら、$t_i\circ F$ は連続写像の合成であり、$g_i\circ F$ は開集合 $F^{-1}(\{t_i>0\})=\{t_i\circ F>0\}$ の上の連続写像の合成である。逆に条件が成り立つとき、部分基の元の逆像 $F^{-1}(t_i^{-1}(V))=(t_i\circ F)^{-1}(V)$ は開である。$F^{-1}(g_i^{-1}(W))=(g_i\circ F)^{-1}(W)$ は開集合 $\{t_i\circ F>0\}$ の開部分集合なので $Y$ で開である。部分基の元の逆像がすべて開なので $F$ は連続である。$\square$

$t_i(xg)=t_i(x)$ は連続であり、$g_i(xg)=g_i(x)g$ は開集合 $\{(x,g)\mid t_i(x)>0\}$ の上で連続な写像 $g_i$ と群の積の合成なので連続である。prop-mc-criterion により作用は連続である。$xg=x$ なら $t_i(x)>0$ となる $i$ をとると $g_i(x)g=g_i(x)$ なので $g=e$ であり、作用は自由である。$V\subset EG$ が開なら、右移動 $x\mapsto xg$ は逆写像 $x\mapsto xg^{-1}$ をもつ同相写像なので、$\omega^{-1}(\omega(V))=\bigcup_{g\in G}Vg$ は開であり、$\omega(V)$ は開である。$t_i$ は $G$ の軌道の上で一定なので、商写像の性質から $\bar t_i$ が連続に定まる。$\square$

$E_i:=\omega^{-1}(U_i)=\{t_i>0\}$ は開集合で、$G$ の作用で保たれる。$\omega$ は開写像（prop-mc-action）なので、その制限 $E_i\to U_i$ は開な連続全射であり、商写像である。
切断：$s_i'\colon E_i\to EG$、$s_i'(x):=x\cdot g_i(x)^{-1}$ は、$g_i$、逆元をとる写像、作用の合成なので連続である。$s_i'(xg)=xg\cdot(g_i(x)g)^{-1}=x\cdot g_i(x)^{-1}=s_i'(x)$ なので $s_i'$ は軌道の上で一定であり、商写像 $E_i\to U_i$ を通じて連続写像 $s_i\colon U_i\to EG$、$s_i(\omega(x))=x\cdot g_i(x)^{-1}$ が定まる。$\omega(s_i(b))=b$ であり、$g_i(s_i(\omega(x)))=g_i(x)g_i(x)^{-1}=e$ である。
局所自明化：$\psi_i\colon U_i\times G\to E_i$、$\psi_i(b,h):=s_i(b)h$ と $\varphi_i\colon E_i\to U_i\times G$、$\varphi_i(x):=(\omega(x),\,g_i(x))$ はともに連続で、$\psi_i(b,hg)=\psi_i(b,h)g$、$\varphi_i(xg)=\varphi_i(x)g$ を満たす。$t_i(s_i(b)h)=\bar t_i(b)>0$ なので $\psi_i$ の値は $E_i$ に入る。
$$ \varphi_i\psi_i(b,h)=\bigl(b,\ g_i(s_i(b))\,h\bigr)=(b,h),\qquad \psi_i\varphi_i(x)=x\cdot g_i(x)^{-1}g_i(x)=x $$
なので、$\varphi_i$ は $G$ 同変な同相写像で $\mathrm{pr}_1\circ\varphi_i=\omega$ を満たす。$\bigcup_iU_i=BG$ なので $\omega$ は主 $G$ 束であり、各 $U_i$ とその開部分集合は自明化開集合である。
可算被覆性：族 $(\bar t_i)_i$ は和が $1$ だが局所有限とは限らないので、取り直す。
$$ w_i:=\max\Bigl\{0,\ \bar t_i-\sum_{j< i}\bar t_j\Bigr\} $$
とおくと $w_i$ は連続で、$\{w_i>0\}\subset U_i$ である。$b\in BG$ をとる。$b$ の代表は有限個の位置しか使わないので、$i>n$ で $\bar t_i(b)=0$ となる $n$ があり、$\sum_{j\le n}\bar t_j(b)=1$ である。開近傍 $N:=\{\sum_{j\le n}\bar t_j>1/2\}$ の点 $y$ と $i>n$ について、和が $1$ であることから
$$ \bar t_i(y)\le1-\sum_{j\le n}\bar t_j(y)<\frac12<\sum_{j\le n}\bar t_j(y)\le\sum_{j< i}\bar t_j(y) $$
なので $w_i(y)=0$ である。また $\bar t_m(b)>0$ となる最小の $m$ について $w_m(b)=\bar t_m(b)>0$ である。よって $W:=\sum_iw_i$ は局所的に有限和なので連続かつ正であり、$v_i:=w_i/W$ は局所有限な 1 の分割（1の分割）で、$\{v_i>0\}=\{w_i>0\}\subset U_i$ は自明化開集合である。したがって $\omega$ は可算被覆的である。$\square$

$n\ge0$ について $\sigma_n$ を上の式で定める。$\sigma_n(x)$ と $\sigma_{n+1}(x)$ は第 $n$、第 $n+1$ 位置以外で一致し（$i< n$ では $t_ig_i$、$i\ge n+2$ では $t_{i-1}g_{i-1}$）、その 2 つの位置は $\sigma_n(x)$ では $(0,\ t_ng_n)$、$\sigma_{n+1}(x)$ では $(t_ng_n,\ 0)$ である。そこで $K_n\colon EG\times[0,1]\to EG$ を、第 $n$ 位置を $(s\,t_n)g_n$、第 $n+1$ 位置を $((1-s)t_n)g_n$ とし、ほかの位置を $\sigma_n(x)$ と同じとする写像と定める。重みの和は $1$ であり、$K_n(x,0)=\sigma_n(x)$、$K_n(x,1)=\sigma_{n+1}(x)$ で、$K_n$ は $G$ 同変であり、第 $n$ 位置より前を動かさない。重みは $x$ と $s$ の連続関数で、重みが正の所のラベルは $g_n(x)$、$g_i(x)$、$g_{i-1}(x)$ のどれかなので、prop-mc-criterion により $K_n$ は連続である。
$a_k:=1-2^{-k}$（$k\ge0$）とおく。$\tau\in[a_k,a_{k+1}]$ では
$$ H(x,\tau):=K_{m+k}\Bigl(x,\ \frac{\tau-a_k}{a_{k+1}-a_k}\Bigr), $$
$\tau=1$ では $H(x,1):=x$ と定める。$K_{m+k}(x,1)=\sigma_{m+k+1}(x)=K_{m+k+1}(x,0)$ なので継ぎ目で値が一致し、$H(x,0)=\sigma_m(x)$ である。各 $K_{m+k}$ は第 $m$ 位置より前を動かさず $G$ 同変なので、$H$ も同じ性質をもつ。
残るのは連続性である。要点は、どの位置も有限回しか動かないことである。

lem-mc-shift を $m=0$ に適用すると、$\mathrm{id}_{EG}$ と $\sigma_0$ はホモトピックである。$\sigma_0$ の像は $E':=\{y\in EG\mid t_0(y)=0\}$ に含まれる。$x_*:=(1e,\ 0,\ 0,\ \dots)$ とおき、$L\colon E'\times[0,1]\to EG$ を、第 $0$ 位置を $s\,e$、第 $i\ge1$ 位置を $((1-s)\,t_i(y))\,g_i(y)$ とする写像と定める。$y\in E'$ では第 $0$ 位置が空いているので、重みの和は $s+(1-s)\sum_{i\ge1}t_i(y)=1$ である。$t_0\circ L=s$ と、$\{s>0\}$ の上のラベル $g_0\circ L=e$ は連続であり、$i\ge1$ について $t_i\circ L=(1-s)t_i(y)$ は連続で、ラベル $g_i\circ L=g_i(y)$ は $\{(1-s)t_i(y)>0\}\subset\{t_i(y)>0\}$ の上で連続である。prop-mc-criterion により $L$ は連続であり、$L(y,0)=y$、$L(y,1)=x_*$ である。よって $(x,s)\mapsto L(\sigma_0(x),s)$ は $\sigma_0$ から定値写像 $x_*$ へのホモトピーであり、合わせて $\mathrm{id}_{EG}\simeq\sigma_0\simeq x_*$ となる。$\square$

$t_i\circ E\phi=t_i$ は連続で、$g_i\circ E\phi=\phi\circ g_i$ は $\{t_i>0\}$ の上で連続なので、prop-mc-criterion により $E\phi$ は連続である。$\phi(g_ig)=\phi(g_i)\phi(g)$ から同変性が従う。$\omega_H\circ E\phi$ は $G$ の軌道の上で一定なので、商写像 $\omega_G$ を通じて $B\phi$ が連続に定まる。関手性の等式は座標ごとの等式 $\psi(\phi(g_i))=(\psi\circ\phi)(g_i)$ による。$\square$

要点：$[z,h]\mapsto E\phi(F(z))h$ が $EH$ への $H$ 同変写像で $B\phi\circ f$ を覆うので、同じ底の上の射が得られる。

要点：$\Psi$ の成分と $\|\Psi(y)-v\|$ が座標の連続関数で書け、逆写像は座標の平方と符号で書ける。

要点：コンパクトな実現から Hausdorff な $E_1G$ への連続な全単射を作る。