関数の内積（高校数学）
概要
関数の内積とは、閉区間 $[p,q]$ 上の実数値連続関数 $f,g$ に対して $\langle f,g\rangle=\int_p^qf(x)g(x)\,dx$ と定める量であり、ベクトルの内積の「成分の積の和」を「値の積の積分」に置き換えたものである。本記事はこれを扱う 4 本の記事への案内である。① 積分で定める内積では正定値性などの内積の条件を、② 三角関数の直交性（高校数学）では $1,\cos nx,\sin nx$ が $[-\pi,\pi]$ で直交することを、③ Fourier係数と最良近似では Fourier 級数の部分和がいちばん近い三角多項式であることを、④ 無限次元のピタゴラスの定理では Parseval の等式と $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ を証明する。
前提知識: ベクトルの内積, 定積分, 三角関数
高校では、$\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin2x\,dx=0$ のような三角関数の積の積分を、積和の公式の練習として計算する。この値が $0$ になることには、「関数 $\sin x$ と $\sin2x$ は直交する」という幾何学的な意味がある。関数どうしにも、ベクトルと同じように内積・長さ・直交を考えられるからである。この記事は、関数の内積を扱う 4 本の記事への案内である。関数の内積の定義を短く述べたあと、高校の計算と大学の概念の対応を表にし、どの順番で何を読めばよいかを示す。
関数の内積とは
空間ベクトルの内積は、成分どうしを掛けて足したもの $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ だった。関数では、各点 $x$ での値 $f(x)$ を「$x$ 番目の成分」とみなし、同じ $x$ での値どうしを掛けて、和の代わりに積分する。
$p< q$ とし、閉区間 $[p,q]$ で定義された実数値の連続関数 $f,g$ に対して
$$
\langle f,g\rangle:=\int_p^qf(x)g(x)\,dx,\qquad \|f\|:=\sqrt{\langle f,f\rangle}
$$
と定める。$\langle f,g\rangle$ を $f$ と $g$ の内積、$\|f\|$ を $f$ の長さ（ノルム）という。$\langle f,g\rangle=0$ のとき、$f$ と $g$ は直交するという。
この $\langle f,g\rangle$ は、ベクトルの内積と同じ計算規則（線形性・対称性）を満たし、さらに「$\langle f,f\rangle\ge0$ で、$0$ になるのは $f$ が恒等的に $0$ のときだけ」という性質（正定値性）をもつ。その証明は 積分で定める内積 にある。三角関数を扱うときは、周期に合わせて区間 $[-\pi,\pi]$ をとる。
- $\langle1,x\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx=\Bigl[\frac{x^2}2\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=0$ なので、定数関数 $1$ と $x$ は直交する。
- $\|x\|^2=\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\Bigl[\frac{x^3}3\Bigr]_{-\pi}^{\pi}=\frac{2\pi^3}3$ である。
- 積和の公式 $\sin x\sin2x=\frac12(\cos x-\cos3x)$ から $\langle\sin x,\sin2x\rangle=\frac12\bigl[\sin x-\frac{\sin3x}3\bigr]_{-\pi}^{\pi}=0$ なので、$\sin x$ と $\sin2x$ は直交する。
- 半角の公式 $\sin^22x=\frac12-\frac12\cos4x$ から $\|\sin2x\|^2=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^22x\,dx=\pi$ である。
$f(x)=x$ を、互いに直交する $\sin x,\sin2x,\sin3x,\ldots$ の向きに分けると、係数は $b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx=\frac{2(-1)^{n+1}}n$ となる（$b_1=2$、$b_2=-1$、$b_3=\frac23$、…）。その 2 乗 $b_n^2=\frac4{n^2}$ を足していくと
$$
4,\quad 4+1=5,\quad 5+\frac49=5.44\ldots,\quad\ldots
$$
と増え、$\frac1\pi\|x\|^2=\frac{2\pi^2}3=6.579\ldots$ に近づく（図 1）。空間ベクトルの「長さの 2 乗は成分の 2 乗の和」が、無限個の成分で成り立っている。これを 4 本目の記事で証明し、$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ を導く。
図1：f(x) = x の成分の 2 乗 4/n² を足していくと、2π²/3 に近づく
高校の計算と大学の概念
高校で習う計算の多くは、関数の内積の言葉で読みかえられる。右の列は、その内容を扱う記事である。
| 高校の計算 | 大学の概念 | 記事 |
|---|---|---|
| 成分どうしを掛けて足す | 積分による内積 | 積分で定める内積 |
| 奇関数を $-a$ から $a$ まで積分すると $0$ | 偶関数と奇関数の直交 | 積分で定める内積 |
| 垂直なら長さの 2 乗が足し算になる | 内積空間のピタゴラスの定理 | 積分で定める内積 |
| 積和の公式で $\int\sin mx\sin nx\,dx$ を計算する | 三角関数の直交関係 | 三角関数の直交性（高校数学） |
| $\sin nx$ を $\sqrt\pi$ で割る | 正規直交基底（正規直交系） | 三角関数の直交性（高校数学） |
| 垂線の足がいちばん近い点 | 正射影と最良近似 | Fourier係数と最良近似 |
| 2 次関数の最小値を平方完成で求める | Fourier 係数の最小二乗の性質 | Fourier係数と最良近似 |
| 成分の 2 乗の和は長さの 2 乗 | Parseval の等式 | 無限次元のピタゴラスの定理 |
4 つの記事と読む順番
4 本は、前の記事の結果を後の記事で使うように並んでいる。はじめて学ぶときは ① から順に読むとよい。
- 積分で定める内積：関数の内積を定め、それが内積の条件（線形性・対称性・正定値性）を満たすことを、関数の連続性を使って証明する。偶関数と奇関数が直交すること、関数でもピタゴラスの定理が成り立つことが分かる。Putnam 数学競技会の問題を 1 問、内積の計算だけで解く。
- 三角関数の直交性（高校数学）：$1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\ldots$ が区間 $[-\pi,\pi]$ で互いに直交することを、積和の公式で場合を分けて証明する。長さを $1$ にそろえた正規直交系と、直交するものが 1 次独立であることが分かる。区間を半分にすると直交しなくなる例も見る。
- Fourier係数と最良近似：正規直交系の向きの成分を並べた点（正射影）がいちばん近い点であることを証明し、三角関数系ではそれが Fourier 級数の部分和になることを示す。Bessel の不等式と、$x$ にいちばん近い $c\sin x$ が $c=2$ であることが分かる。
- 無限次元のピタゴラスの定理：連続関数では Fourier 係数の 2 乗の和が長さの 2 乗に等しい（Parseval の等式）ことを証明し、$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ と $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$ を導く。長さで近いことと各点で近いことの違いも見る。
| 疑問 | 答える記事 |
|---|---|
| 積分で定めたものを「内積」と呼んでよいのはなぜか | ① 積分で定める内積 |
| なぜ連続関数に限るのか | ①（正定値性）と ④（一意性） |
| $\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx$ はいつ $0$ か | ② 三角関数の直交性（高校数学） |
| 区間を $[0,\pi]$ にするとどうなるか | ② |
| Fourier 係数の式はどこから来るか | ③ Fourier係数と最良近似 |
| 係数の 2 乗の和はいくつになるか | ③（不等式）と ④（等式） |
| $\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ はどう出るか | ④ 無限次元のピタゴラスの定理 |
さらに先へ
- 関数の内積を一般の関数空間（$L^2$ 空間など）で扱う大学向けの話は、関数の内積 で扱う。
- 内積の条件だけから、Cauchy–Schwarz の不等式 $|\langle f,g\rangle|\le\|f\|\|g\|$ と三角不等式が出る。判別式による証明は Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学） にある。
- $x=\cos\theta$ と置き換えると、$\cos n\theta$ の直交性は多項式の直交性になる（Chebyshev多項式）。
- $\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ の、三角関数の不等式による初等的な証明は Basel問題 にある。
- 2 乗が積分できる関数まで広げて極限をとっても外に出ないようにした空間は、Hilbert空間 の代表例である。
関連項目
- 前提: ベクトルの内積, 定積分, 三角関数
- 直後に読む: 積分で定める内積, 三角関数の直交性（高校数学）, Fourier係数と最良近似, 無限次元のピタゴラスの定理
- 同じ主題の用語解説: 内積, 内積空間
- 比較: Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学）, Basel問題
- 発展: Fourier級数, Hilbert空間
参考文献
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