円分指標

$X^n-1$ の導関数 $nX^{n-1}$ は、$n\ne0$ が $K$ で可逆なので $X^n-1$ の根 $\zeta\ne0$ で消えない。よって $X^n-1$ は分離的で、$K_s$ の中に相異なる $n$ 個の根をもつ。$\mu_n$ は体の乗法群の有限部分群なので巡回群である（1の冪根）。生成元 $\zeta_0$ をとると、自己同型 $\alpha$ は $\alpha(\zeta_0)=\zeta_0^{a}$ で決まり、$\zeta_0^a$ が生成元であることと $a$ が $n$ と互いに素であることは同値である。このとき $\alpha(\zeta_0^k)=\zeta_0^{ak}$ なので $\alpha$ はすべての元を $a$ 乗する。$a$ は $\bmod n$ で一意である。$\square$

1：$\sigma(\tau(\zeta))=\sigma(\zeta^{b})=\zeta^{ab}$（$a=\chi_n(\sigma)$、$b=\chi_n(\tau)$）なので準同型である。$\chi_n(\sigma)=1$ であることは $\sigma$ が $\mu_n$ の各元を固定すること、すなわち $\sigma$ が $K(\mu_n)$ を固定することである。$K(\mu_n)/K$ は分離的な多項式 $X^n-1$ の最小分解体なので有限次 Galois 拡大で、$G_{K(\mu_n)}$ は $G_K$ の開正規部分群である（絶対Galois群 の定理「有限次分離拡大と開部分群の対応」）。核が開部分群なので $\chi_n$ は連続であり、$G_K/G_{K(\mu_n)}\cong\operatorname{Gal}(K(\mu_n)/K)$ から単射が誘導される。$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ はアーベル群なので $K(\mu_n)/K$ はアーベル拡大である。
2：$\zeta\in\mu_n$ なら $\zeta^{n/m}$ は $\mu_m$ 全体を動き、$\sigma(\zeta^{n/m})=(\zeta^{n/m})^{\chi_n(\sigma)}$ である。
3：各 $\chi_{\ell^\nu}$ が連続な準同型なので、射影極限への写像 $\chi_\ell$ も連続な準同型である。核は 1 の核の共通部分 $\bigcap_\nu G_{K(\mu_{\ell^\nu})}=G_{K(\mu_{\ell^\infty})}$ である。$G_K$ はコンパクトなので像はコンパクト、したがって $\mathbb{Z}_\ell^\times$ の閉部分群であり、$G_K/\ker\chi_\ell\cong\operatorname{Gal}(K(\mu_{\ell^\infty})/K)$ からの連続な全単射はコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので位相同型である。
4：$L\subset K_s$ なので $L$ の分離閉包として $K_s$ がとれ、$\mu_n$ は同じ群で、$\sigma\in G_L$ の作用も同じである。$\square$

$\mu_{\ell^{\nu+1}}\to\mu_{\ell^\nu}$、$\zeta\mapsto\zeta^\ell$ は位数 $\ell^{\nu+1}$ の巡回群から位数 $\ell^\nu$ の巡回群への全射で、生成元を生成元に写す。よって $\zeta_{\nu+1}^\ell=\zeta_\nu$ を満たす生成元の系 $(\zeta_\nu)_\nu$ が帰納的にとれ、$\mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z}\cong\mu_{\ell^\nu}$、$k\mapsto\zeta_\nu^k$ は遷移写像と両立する。極限をとると $\mathbb{Z}_\ell\cong\mathbb{Z}_\ell(1)$ である。$(\zeta_\nu^{k_\nu})_\nu$ は $\sigma$ で $(\zeta_\nu^{\chi_{\ell^\nu}(\sigma)k_\nu})_\nu$ に写り、これは $\mathbb{Z}_\ell$ 加群の記法で $\chi_\ell(\sigma)\cdot(\zeta_\nu^{k_\nu})_\nu$ である。$\square$

$\zeta$ を $1$ の原始 $n$ 乗根とすると $\mathbb{Q}(\mu_n)=\mathbb{Q}(\zeta)$ であり、円分多項式 の定理「円分多項式の既約性」により $[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=\varphi(n)=\lvert(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\rvert$ である。prop-cyc-char-basic の 1 の単射 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\mu_n)/\mathbb{Q})\hookrightarrow(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ は位数の等しい有限群の間の単射なので全単射であり、$\chi_n$ は全射である。
$\chi$ の像 $\Gamma$ は、コンパクトな $G_{\mathbb{Q}}$ の連続像なので $\hat{\mathbb{Z}}^\times$ の閉部分群である。各 $n$ について射影 $\hat{\mathbb{Z}}^\times\to(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ を $\Gamma$ に制限したものは $\chi_n$ の像、すなわち全射である。$\hat{\mathbb{Z}}^\times$ の開集合は、これらの射影の核の剰余類 $u\cdot\ker(\hat{\mathbb{Z}}^\times\to(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times)$ の和なので、$\Gamma$ はどの空でない開集合とも交わり、稠密である。閉かつ稠密なので $\Gamma=\hat{\mathbb{Z}}^\times$ である。$\chi_\ell$ は $\chi$ と射影 $\hat{\mathbb{Z}}^\times\to\mathbb{Z}_\ell^\times$ の合成なので全射である。$\ker\chi$ は $\bigcap_n G_{\mathbb{Q}(\mu_n)}=G_{\mathbb{Q}(\mu_\infty)}$ で、最後の同型は prop-cyc-char-basic の 3 と同じ議論で得られる。$\square$

$\phi(\zeta)=\zeta^q$ なので $\chi_{\ell^\nu}(\phi)=q\bmod\ell^\nu$ がすべての $\nu$ で成り立ち、$\chi_\ell(\phi)=q$ である。絶対Galois群 の定理「有限体の絶対Galois群」の 3 により $\langle\phi\rangle$ は $G_{\mathbb{F}_q}$ で稠密である。$\chi_\ell$ は連続なので $\chi_\ell(G_{\mathbb{F}_q})=\chi_\ell(\overline{\langle\phi\rangle})\subset\overline{\chi_\ell(\langle\phi\rangle)}=\overline{q^{\mathbb{Z}}}$ であり、逆の包含は $\chi_\ell(G_{\mathbb{F}_q})$ が閉で $q^{\mathbb{Z}}$ を含むことから従う。$\square$

$1\ne\xi\in\mu_n$ なら $1-\xi\notin\mathfrak{P}$ である。実際、$X^n-1=(X-1)\prod_{\xi\ne1}(X-\xi)$ を $X-1$ で割って $X=1$ を代入すると $\prod_{\xi\ne1}(1-\xi)=n$ であり、$1-\xi\in\mathfrak{P}$ なら $n\in\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_K=\mathfrak{p}$ となって仮定に反する。したがって、相異なる $\zeta,\zeta'\in\mu_n$ は $\zeta-\zeta'=\zeta(1-\zeta^{-1}\zeta')\notin\mathfrak{P}$ を満たし、$\mathfrak{P}$ を法として合同でない（$\mu_n\subset\mathcal{O}_L$ である）。
1：$\sigma\in I_{\mathfrak{P}}$（分解群と惰性群 の定義「惰性群」）なら、$\zeta\in\mu_n$ について $\sigma(\zeta)\in\mu_n$ かつ $\sigma(\zeta)\equiv\zeta\pmod{\mathfrak{P}}$ なので $\sigma(\zeta)=\zeta$ である。$L$ は $\mu_n$ で生成されるので $\sigma=1$ であり、$I_{\mathfrak{P}}=1$、すなわち $\mathfrak{p}$ は不分岐である。
2：Frobenius元 の定義により $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}(\zeta)\equiv\zeta^{N\mathfrak{p}}\pmod{\mathfrak{P}}$ で、両辺は $\mu_n$ の元なので等しい。よって $\chi_n(\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}})=N\mathfrak{p}\bmod n$ である。最後の主張は $n=\ell^\nu$ として $\nu$ を動かせばよい。$\square$