Gauss積分

同義語：ガウス積分Gaussian integral

概要

前提知識: 広義積分, 指数関数, Fubiniの定理, 2次形式

関数 $e^{-x^2}$ は、$x=0$ で $1$ をとり、両側へ急速に $0$ に近づく釣鐘形の関数である。その原始関数は初等関数では書けないが、実数直線全体での積分の値はちょうど
$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi $$
になる。これが Gauss 積分 である。円周率は円とは関係のなさそうなこの積分に、2 乗した積分が平面上で回転について対称になることを通じて入ってくる。
Gauss 積分は、正規分布の密度の定数 $\frac1{\sqrt{2\pi}}$、$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$、Fourier 変換で形を変えない関数 $e^{-\pi x^2}$、$n$ 次元の球の体積など、解析学・確率論・物理学の多くの公式の出発点になる。この記事では、値 $\sqrt\pi$ を 1 変数の微分積分だけで証明し、そこから $e^{-ax^2+bx}$ の積分、$x^{2m}e^{-ax^2}$ の積分（モーメント）、正定値な 2 次形式による $n$ 次元の積分、単位球の体積を順に導く。

定義

Gauss積分

$a>0$ に対し、広義積分
$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx $$
を Gauss 積分（Gaussian integral）という。特に $a=1$ の場合を指すことが多い。より一般に、正定値な実対称行列 $A$ による $\int_{\mathbb{R}^n}e^{-x^{\top}Ax}\,dx$ や、1 次の項を加えた $\int e^{-ax^2+bx}\,dx$ も Gauss 積分と呼ぶ。

$|x|\geq1$ では $0< e^{-x^2}\leq e^{-|x|}$ なので、$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$ は広義積分の定理「広義積分の比較判定法」により収束する。被積分関数は偶関数なので、$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=2\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$ である。高校数学の範囲で Wallis 積分との比較から値を求める方法は Gauss積分（高校数学）にある。

直感

値に $\pi$ が現れる理由は、2 乗すると見える。$I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$ とすると
$$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\,dy=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy $$
であり、右辺の被積分関数は原点からの距離 $r$ だけで決まる。半径 $r$ と $r+dr$ の円の間の細い輪の面積は $2\pi r\,dr$ なので、$I^2=\int_0^\infty e^{-r^2}\,2\pi r\,dr=\pi$ となる。この計算を極座標への変数変換で正当化した証明は極座標の記事の定理「Gauss積分」にあり、極座標を使わずに Tonelli の定理と 1 変数の置換で同じことを行う計算は Fubiniの定理の記事の例「Gauss積分」にある。
この記事の主定理の証明は、重積分を使わない。2 乗した積分 $\bigl(\int_0^te^{-x^2}\,dx\bigr)^2$ を $t$ の関数と見て微分し、それと足すと定数になる別の関数を見つける。上の「輪」の議論を、1 変数の微分の言葉に置き換えたものと考えることができる。

主定理

Gauss積分の値

$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi $$
が成り立つ。$a>0$ ならば $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\pi/a}$ である。

$t\geq0$ について
$$ F(t):=\Bigl(\int_0^te^{-x^2}\,dx\Bigr)^2,\qquad G(t):=\int_0^1\frac{e^{-t^2(1+u^2)}}{1+u^2}\,du $$
とおく。微分積分学の基本定理により $F'(t)=2e^{-t^2}\int_0^te^{-x^2}\,dx$ である。
$G$ の被積分関数 $g(u,t)=\frac{e^{-t^2(1+u^2)}}{1+u^2}$ は $[0,1]\times[0,T]$ 上で連続で、$\partial_tg(u,t)=-2te^{-t^2(1+u^2)}$ も連続である。したがって積分記号の下で微分してよく（Leb2 Theorem 9.1.1、p. 65）、
$$ G'(t)=-2t\int_0^1e^{-t^2(1+u^2)}\,du=-2e^{-t^2}\int_0^1e^{-t^2u^2}\,t\,du=-2e^{-t^2}\int_0^te^{-x^2}\,dx $$
である（$t>0$ で $x=tu$ と置換した。$t=0$ では両辺とも $0$）。よって $(F+G)'=0$ であり、$F+G$ は定数で
$$ F(t)+G(t)=F(0)+G(0)=0+\int_0^1\frac{du}{1+u^2}=\frac\pi4 $$
である。一方 $0< G(t)\leq e^{-t^2}\int_0^1\frac{du}{1+u^2}=\frac\pi4e^{-t^2}$ なので、$t\to\infty$ で $G(t)\to0$ である（はさみうちの原理）。したがって $F(t)\to\frac\pi4$ であり、$\int_0^te^{-x^2}\,dx\geq0$ から $\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2}$、$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$ を得る。
$a>0$ の場合は、$x=y/\sqrt a$ と置換すれば $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx=\frac1{\sqrt a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\,dy=\sqrt{\pi/a}$ である。$\square$

$G(t)$ の被積分関数は、Fubiniの定理の記事の例「Gauss積分」の計算で、内側の積分を $[0,t]$ で打ち切ったものから来ている。証明の中で重積分は使わず、使ったのは積分記号の下での微分（有界閉区間上の連続関数についてのもの）だけである。

モーメントと1次の項

Gauss積分のモーメント

$a>0$ と整数 $m\geq0$ について
$$ \int_{-\infty}^{\infty}x^{2m}e^{-ax^2}\,dx=\frac{(2m)!}{4^m\,m!\,a^m}\sqrt{\frac\pi a},\qquad\int_{-\infty}^{\infty}x^{2m+1}e^{-ax^2}\,dx=0 $$
が成り立つ。

$k\geq0$ について $|x|^ke^{-ax^2}=\bigl(|x|^ke^{-ax^2/2}\bigr)e^{-ax^2/2}$ で、前の因子は有界なので、どちらの積分も絶対収束する。奇数乗の積分は被積分関数が奇関数なので $0$ である。
$M_m:=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2m}e^{-ax^2}\,dx$ とおく。$m\geq1$ のとき $x^{2m}e^{-ax^2}=x^{2m-1}\cdot xe^{-ax^2}$ と見て、$\bigl(-\frac1{2a}e^{-ax^2}\bigr)'=xe^{-ax^2}$ を使って部分積分すると
$$ \int_{-R}^{R}x^{2m}e^{-ax^2}\,dx=\Bigl[-\frac{x^{2m-1}}{2a}e^{-ax^2}\Bigr]_{-R}^{R}+\frac{2m-1}{2a}\int_{-R}^{R}x^{2m-2}e^{-ax^2}\,dx $$
である。$R\to\infty$ で境界の項は $0$ に収束するので、$M_m=\frac{2m-1}{2a}M_{m-1}$ である。thm-gauss-integral-value の $M_0=\sqrt{\pi/a}$ から
$$ M_m=\frac{(2m-1)(2m-3)\cdots1}{(2a)^m}\sqrt{\frac\pi a}=\frac{(2m)!}{4^m\,m!\,a^m}\sqrt{\frac\pi a} $$
を得る（$(2m-1)(2m-3)\cdots1=\frac{(2m)!}{2^mm!}$ による）。$\square$

1次の項を含むGauss積分

$a>0$ と複素数 $b$ について
$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx}\,dx=\sqrt{\frac\pi a}\,\exp\Bigl(\frac{b^2}{4a}\Bigr) $$
が成り立つ（左辺の広義積分は絶対収束する）。

$|e^{bx}|\leq e^{|b||x|}$ であり、$|b||x|\leq\frac a2x^2+\frac{|b|^2}{2a}$（相加相乗平均）なので
$$ \bigl|e^{-ax^2+bx}\bigr|\leq e^{|b||x|-ax^2}\leq e^{|b|^2/(2a)}e^{-ax^2/2} $$
であり、左辺の積分は絶対収束する。
$S_N(x):=\sum_{n=0}^{N}\frac{(bx)^n}{n!}$ とおく。$|e^{bx}-S_N(x)|\leq\sum_{n>N}\frac{|bx|^n}{n!}\leq e^{|b||x|}$ である。$\varepsilon>0$ をとり、$\int_{|x|>R}e^{|b||x|-ax^2}\,dx<\varepsilon$ となる $R$ を選ぶ。$[-R,R]$ 上では $S_N\to e^{bx}$ が一様収束する（$\sum_n\frac{(|b|R)^n}{n!}<\infty$）ので、
$$ \Bigl|\int_{-\infty}^{\infty}\bigl(e^{bx}-S_N(x)\bigr)e^{-ax^2}\,dx\Bigr|\leq\int_{-R}^{R}|e^{bx}-S_N(x)|\,dx+2\varepsilon $$
の右辺は、$N$ が十分大きければ $3\varepsilon$ 未満になる。よって
$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx}\,dx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac{b^n}{n!}\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ax^2}\,dx $$
である。thm-gauss-integral-moments により奇数の $n$ の項は消え、$n=2m$ の項は
$$ \frac{b^{2m}}{(2m)!}\cdot\frac{(2m)!}{4^m\,m!\,a^m}\sqrt{\frac\pi a}=\sqrt{\frac\pi a}\,\frac1{m!}\Bigl(\frac{b^2}{4a}\Bigr)^m $$
である。$m$ について足すと、指数関数の冪級数 $\sum_m\frac{w^m}{m!}=e^w$ により主張を得る。$\square$

$b$ が実数なら、平方完成 $-ax^2+bx=-a\bigl(x-\frac b{2a}\bigr)^2+\frac{b^2}{4a}$ と平行移動 $x\mapsto x+\frac b{2a}$ からも同じ式が出る。$b$ が虚数のときは平行移動が複素数方向になるので、上のように冪級数で示すか、両辺が $b$ の正則関数であることと一致の定理を使う。

Gauss関数のFourier変換

$a>0$、$\xi\in\mathbb{R}$ について
$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}e^{-i\xi x}\,dx=\sqrt{\frac\pi a}\,e^{-\xi^2/(4a)} $$
である。特に $a=\pi$、$\xi=2\pi\eta$ とおくと $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2}e^{-2\pi i\eta x}\,dx=e^{-\pi\eta^2}$ である。

thm-gauss-integral-linear で $b=-i\xi$ とおくと $b^2=-\xi^2$ である。後半は代入による。$\square$

後半は、関数 $e^{-\pi x^2}$ が Fourier 変換で自分自身に移ることを表す。Fourier変換の記事では同じ式を、微分方程式 $G'(\xi)=-2\pi\xi G(\xi)$ を解く方法で導き、反転公式の証明に使っている。

多変数のGauss積分

以下、$\mathbb{R}^n$ 上の積分は Lebesgue 積分とし、$\lambda_n$ を $n$ 次元 Lebesgue 測度とする。有界閉区間上の Riemann 積分は Lebesgue 積分と一致する（Tao11 Exercise 1.3.17、p. 66）ので、$0$ 以上の連続関数については、区間を広げる極限に単調収束定理を使えば、1 変数の広義積分も Lebesgue 積分と一致する。絶対収束する広義積分についても、実部・虚部の正の部分と負の部分に分ければ同じである。

正定値2次形式によるGauss積分

$A$ を $n$ 次の正定値な実対称行列、$b\in\mathbb{C}^n$ とする。このとき
$$ \int_{\mathbb{R}^n}e^{-x^{\top}Ax+b^{\top}x}\,dx=\frac{\pi^{n/2}}{\sqrt{\det A}}\exp\Bigl(\frac{b^{\top}A^{-1}b}{4}\Bigr) $$
が成り立つ（左辺は絶対収束する）。特に $\int_{\mathbb{R}^n}e^{-x^{\top}Ax}\,dx=\pi^{n/2}/\sqrt{\det A}$ である。

対角化。 2次形式の記事の定理「実対称行列の主軸定理」により、直交行列 $Q$ と $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ があって $Q^{\top}AQ=D$ となる。$A$ は正定値なので $\lambda_i>0$ である。$T:=QD^{-1/2}$（$D^{-1/2}=\operatorname{diag}(\lambda_i^{-1/2})$）とおくと
$$ (Ty)^{\top}A(Ty)=y^{\top}D^{-1/2}Q^{\top}AQD^{-1/2}y=y^{\top}y=|y|^2 $$
であり、$|\det T|=\prod_i\lambda_i^{-1/2}=(\det A)^{-1/2}$ である。
線形変換による変数変換。 可測関数 $f\colon\mathbb{R}^n\to[0,\infty]$ と正則な線形変換 $T$ について $\int f(x)\,dx=|\det T|\int f(Ty)\,dy$ が成り立つ（Tao11 Exercise 1.3.16、p. 66）。可積分な複素数値関数についても、実部・虚部の正の部分と負の部分に分けて同じ式が成り立つ。$\beta:=T^{\top}b\in\mathbb{C}^n$ とおくと $b^{\top}(Ty)=\beta^{\top}y$ なので
$$ \int_{\mathbb{R}^n}e^{-x^{\top}Ax+b^{\top}x}\,dx=(\det A)^{-1/2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-|y|^2+\beta^{\top}y}\,dy $$
である（絶対収束は、$b$ を実部 $\operatorname{Re}b$ に置き換えた $0$ 以上の関数に同じ変換を施し、次の段落の計算を $\beta$ の実部で行えば分かる）。
座標ごとの積分。 $e^{-|y|^2+\beta^{\top}y}=\prod_{i=1}^{n}e^{-y_i^2+\beta_iy_i}$ であり、$\lambda_n=\lambda_1\otimes\cdots\otimes\lambda_1$ である（Fubiniの定理の命題「Euclid空間のLebesgue測度と積測度」）。絶対値について Tonelli の定理、続けて Fubini の定理（Fubiniの定理の定理「Tonelliの定理」「Fubiniの定理」）を使うと、thm-gauss-integral-linear（$a=1$）により
$$ \int_{\mathbb{R}^n}e^{-|y|^2+\beta^{\top}y}\,dy=\prod_{i=1}^{n}\sqrt\pi\,e^{\beta_i^2/4}=\pi^{n/2}\exp\Bigl(\frac{\beta^{\top}\beta}{4}\Bigr) $$
である。最後に $\beta^{\top}\beta=b^{\top}TT^{\top}b=b^{\top}QD^{-1}Q^{\top}b=b^{\top}A^{-1}b$ である。$\square$

$A$ が対角行列 $\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)$ なら、この定理は 1 変数の thm-gauss-integral-value を $n$ 回掛けたものにすぎない。一般の $A$ では、主軸定理で座標を回転して対角行列に直し、各軸方向の伸び縮みの分だけ $\sqrt{\det A}$ で割る、というのが定理の中身である。

単位球の体積

Gauss 積分は、$n$ 次元の単位球の体積を求めるのにも使える。$B_n:=\{x\in\mathbb{R}^n:|x|<1\}$ とし、$\omega_n:=\lambda_n(B_n)$ とおく。$\Gamma$ は Γ関数である。

単位球の体積

$$ \omega_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2+1\bigr)} $$
が成り立つ。

層ごとの積分。 連続関数 $f\colon\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ について
$$ \int_{\mathbb{R}^n}f\,d\lambda_n=\int_0^\infty\lambda_n\bigl(\{x:f(x)>s\}\bigr)\,ds $$
が成り立つ。実際、$E:=\{(x,s)\in\mathbb{R}^n\times(0,\infty):s< f(x)\}$ は開集合で、$x$ を固定した切り口は区間 $(0,f(x))$、$s$ を固定した切り口は $\{f>s\}$ である。$E$ の特性関数に Tonelli の定理を 2 通りに使えば、両辺はともに $(\lambda_n\otimes\lambda_1)(E)$ に等しい。
計算。 $f(x)=e^{-|x|^2}$ とする。$s\geq1$ なら $\{f>s\}=\emptyset$ であり、$0< s<1$ なら $\{f>s\}$ は半径 $r(s)=\sqrt{-\log s}$ の開球 $r(s)B_n$ である。$r>0$ について $\lambda_n(rB_n)=r^n\omega_n$ である（線形変換 $x\mapsto rx$ の行列式は $r^n$。Tao11 Exercise 1.2.21、p. 41）。thm-gauss-integral-multivariate（$A=I_n$、$b=0$）とあわせて
$$ \pi^{n/2}=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-|x|^2}\,dx=\omega_n\int_0^1(-\log s)^{n/2}\,ds=\omega_n\int_0^\infty u^{n/2}e^{-u}\,du=\omega_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2+1\Bigr) $$
を得る（$s=e^{-u}$ と置換した）。$\square$

$\Gamma(n+1)=n!$ と $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ から、$\omega_1=2$、$\omega_2=\pi$、$\omega_3=\frac43\pi$、$\omega_4=\frac{\pi^2}2$ である。$n$ が偶数なら $\omega_n=\frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}$ であり、これは Axler20 5.44 の式と一致する（そこでは次元を 2 つずつ下げる帰納法で示されている）。$\omega_n$ は $n=5$ で最大になり、$n\to\infty$ では $0$ に収束する。

例と反例

正規分布の密度

$\mu\in\mathbb{R}$、$\sigma>0$ について $\varphi(x):=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ とおく。$x=\mu+\sqrt2\sigma y$ と置換すると、thm-gauss-integral-value から $\int\varphi=1$ である。thm-gauss-integral-moments の $m=1$ から $\int(x-\mu)^2\varphi(x)\,dx=\sigma^2$ であり、$\varphi$ は平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布の密度である。さらに thm-gauss-integral-linear で $b$ を純虚数にとると
$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\xi x}\varphi(x)\,dx=\exp\Bigl(i\mu\xi-\frac{\sigma^2\xi^2}2\Bigr) $$
である。$n$ 次元では、正定値な共分散行列 $\Sigma$ に対し $\frac1{\sqrt{(2\pi)^n\det\Sigma}}\exp\bigl(-\frac12x^{\top}\Sigma^{-1}x\bigr)$ の積分が $1$ になることが、thm-gauss-integral-multivariate で $A=\frac12\Sigma^{-1}$ とおけば分かる。

Γ関数と誤差関数

置換 $t=x^2$ により $\Gamma(\frac12)=\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,dt=2\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$ である（Γ関数の例「半整数での値」）。
誤差関数 を $\operatorname{erf}(x):=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ と定めると、thm-gauss-integral-value は $\lim_{x\to\infty}\operatorname{erf}(x)=1$ を意味する。$e^{-x^2}$ の原始関数は初等関数では表せない（初等関数で表せない原始関数）ので、$\operatorname{erf}$ は新しい関数として扱われる。$x\to\infty$ で $1-\operatorname{erf}(x)$ がどのように $0$ に近づくかは、漸近展開の記事の例「誤差関数の漸近展開」で調べる。

公式の前提

thm-gauss-integral-multivariate の前提を 1 つずつ外すと、次のように公式が成り立たなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$a>0$（$n=1$）	$a=-1$：$\int e^{x^2}\,dx$	被積分関数が $1$ 以上なので積分は発散し、右辺の $\sqrt{\pi/a}$ も実数として意味をもたない
$A$ が正定値	$A=\operatorname{diag}(1,0)$（半正定値）	$\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2}\,dx\,dy=\infty$ であり、$\det A=0$ で右辺も定まらない
$A$ が対称	$A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$	$x^{\top}Ax=x_1^2+x_2^2$ なので積分は $\pi$ だが、$\det A=2$ を代入した $\pi/\sqrt2$ と一致しない

3 行目の $A$ では、2 次形式 $x^{\top}Ax$ は対称部分 $\frac12(A+A^{\top})=I_2$ だけで決まる。対称でない行列を使うときは、対称部分に置き換えてから公式を当てはめる。

補足

ほかの証明

値 $\sqrt\pi$ には多くの証明がある。2 乗して極座標に変換する証明（極座標の定理「Gauss積分」、Tao11 §2.1、p. 220 にも典型例として挙げられている）、Tonelli の定理と置換 $y=xs$ による証明（Fubiniの定理の例「Gauss積分」）、Beta 関数との関係から $\Gamma(\frac12)^2=\pi$ を出す証明（Rud76 8.21 の (99)–(101)、p. 194）、Wallis 積分で上下から挟む証明（Gauss積分（高校数学））などである。thm-gauss-integral-value の証明は、重積分も極座標も使わない点に特徴がある。

最大点の近くでの近似

大きなパラメータ $\lambda$ を含む積分 $\int e^{\lambda h(x)}\,dx$ は、$h$ の最大点の近くでの 2 次近似 $h(x)\approx h(x_0)-\frac{c}{2}(x-x_0)^2$ によって、Gauss 積分 $\sqrt{2\pi/(\lambda c)}\,e^{\lambda h(x_0)}$ で近似できる。この考え方を $n!=\int_0^\infty t^ne^{-t}\,dt$ に使うと、Stirlingの公式の定数 $\sqrt{2\pi}$ が Gauss 積分から現れる（Stirlingの公式の注意「$\Gamma$ 関数への拡張」）。