Cartesianファイブレーション

1：$e$ が同型射なら $e_*$ の逆は $a\mapsto e^{-1}\circ a$ である（$F(e^{-1}a)=F(e)^{-1}F(a)=\beta$）。$h\colon x\to x'$、$v\colon x'\to y$ について、$(z,\beta)$ に対する $(vh)_*$ は、$(z,\beta)$ に対する $h_*$ と $(z,F(h)\beta)$ に対する $v_*$ の合成なので、両方が全単射なら全単射である。2：同じ分解から $h_*=v_*^{-1}\circ(vh)_*$ である。3：$e\colon x\to y$ に $(z,\beta)=(y,\mathrm{id})$ を使うと $e\circ g=\mathrm{id}_y$、$F(g)=\mathrm{id}$ となる $g$ がある。$e\circ(g\circ e)=e=e\circ\mathrm{id}_x$ と $F(ge)=F(\mathrm{id}_x)$ から、$(x,\mathrm{id})$ に対する $e_*$ の単射性で $g\circ e=\mathrm{id}_x$ である。4：すべての射が Cartesian なら、ファイバーの射は 3 により同型射である。逆にファイバーが亜群とし、$e\colon x\to y$ をとる。$F(e)$ の Cartesian な持ち上げ $v\colon x'\to y$ を選ぶと、$(x,\mathrm{id}_{F(x)})$ に対する $v_*$ の全射性から $v\circ h=e$、$F(h)=\mathrm{id}$ となる $h$ がある。$h$ はファイバーの射なので同型射で、1 により $e=v\circ h$ は Cartesian である。$\square$

合成の第 2 成分は $\Phi(\beta\beta')=\Phi(\beta')\Phi(\beta)$ により $\Phi(\beta\beta')(x)$ への射であり、結合律と単位律は $\Phi$ の関手性から従う。$e=(\beta,\mathrm{id})$ とし、$z=(b'',x'')$、$\gamma\colon b''\to b'$ をとる。$\pi(g)=\gamma$ となる $g\colon z\to(b',\Phi(\beta)(x))$ は $(\gamma,f')$（$f'\colon x''\to\Phi(\gamma)\Phi(\beta)(x)$）であり、$e\circ g=(\beta\gamma,\Phi(\gamma)(\mathrm{id})\circ f')=(\beta\gamma,f')$ である。$\pi(a)=\beta\gamma$ となる $a\colon z\to(b,x)$ は $(\beta\gamma,f)$（$f\colon x''\to\Phi(\beta\gamma)(x)=\Phi(\gamma)\Phi(\beta)(x)$）なので、$e_*$ は $f'\mapsto f'$ で全単射である。$\square$

恒等射の上の持ち上げは恒等射でよい（同型射は Cartesian）。1：$c$ からの $0\to1$ の持ち上げとして $\mathrm{id}_{Lc}$ が定める $u_c\colon c\to Lc$ をとる。coCartesian 性の判定で $q(z)=1$ となる $z=d$ について、$\{h\colon Lc\to d\}\to\{a\colon c\to d\}=\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(Lc,d)$、$h\mapsto h\circ u_c$ は恒等写像である。2：$d$ への持ち上げ $e\colon c\to d$（$\varphi\in\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(Lc,d)$）が Cartesian であることは、判定に現れる $z$ が $q(z)=0$ のものだけなので、すべての $z\in\mathcal C$ について $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(z,c)\to\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(Lz,d)$、$g\mapsto\varphi\circ L(g)$ が全単射であること、すなわち $(c,\varphi)$ が $L$ から $d$ への普遍射であることと同じである。すべての $d$ が普遍射をもつことは $L$ が右随伴をもつことと同値で、そのとき普遍射は余単位で与えられる（Mac98 Theorem IV.1.1 (ii)、p. 82、Theorem IV.1.2 (iv)、p. 83）。$\square$

$N(F)$ は内部ファイブレーションである（ホーンと充填条件 の例「圏の脈体と関手」）。脈体 の補題「脈体への写像は辺と三角形で決まる」により、$\Lambda^n_n\to N(\mathcal A)$ は、頂点ごとの対象 $c_a$ と、ホーンに含まれる辺ごとの射 $e_{ab}$ で、ホーンに含まれる三角形ごとに $e_{bc}e_{ab}=e_{ac}$ を満たすものであり、延長は足りない関係を満たすことである。延長の像は辺の射で決まるので、底との両立はホーンに含まれない辺についてだけ確かめればよい（$n\ge3$ では $\Lambda^n_n$ はすべての辺を含む）。最後の辺を $e_{n-1,n}=e\colon x\to y$ とし、thm-cf-horn の条件を $n$ ごとに読む。

$n=2$：$\Lambda^2_2$ は辺 $\{0,2\}$、$\{1,2\}$ だけからなり、データは $a=e_{02}\colon z\to y$ と $e$、底は $F(e)\circ\beta=F(a)$ となる $\beta\colon F(z)\to F(x)$ である。延長は $F(g)=\beta$、$e\circ g=a$ となる $g=e_{01}$ なので、条件は $e_*$ の全射性である。

$n=3$：$\Lambda^3_3$ はすべての辺と、三角形 $\{1,2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}$ を含み、延長には $e_{12}e_{01}=e_{02}$ が要る。$e_*$ が単射なら、$e(e_{12}e_{01})=e_{13}e_{01}=e_{03}=e\,e_{02}$ と、底から $F(e_{12}e_{01})=F(e_{02})$ が成り立つので、$e_{12}e_{01}=e_{02}$ である。逆に $g,h\colon z\to x$ が $F(g)=F(h)$、$eg=eh$ を満たすとき、頂点を $z,z,x,y$、$e_{01}=\mathrm{id}_z$、$e_{12}=g$、$e_{02}=h$、$e_{23}=e$、$e_{13}=eg$、$e_{03}=eh$ とするホーンと、底 $F(z)\xrightarrow{\mathrm{id}}F(z)\xrightarrow{F(g)}F(x)\xrightarrow{F(e)}F(y)$ を延ばせば $g=h$ を得る。よって $n=3$ の条件は $e_*$ の単射性である。

$n\ge4$：三角形 $\{a,b,c\}$ は $j\notin\{a,b,c\}$ の面 $d_j$ に含まれ、そのような $j$ は $2$ つ以上あるので $n$ 以外のものがとれる。よって $\Lambda^n_n$ はすべての辺と三角形を含み、いつも延長がある。

以上から $e$ が $N(F)$-Cartesian であることは $e_*$ がすべての $(z,\beta)$ で全単射であることと同値である。$N(\mathcal B)$ の辺は $\mathcal B$ の射なので、後半は定義を比べればよい。$\square$

すべて thm-cf-horn の持ち上げで確かめる。内部ファイブレーションは同型を含み、引き戻しと合成で閉じている（ホーンと充填条件 の定理「右持ち上げ性質の閉包性」）。1：$w=p^{-1}\circ v$ が解であり、辺の持ち上げも $p^{-1}$ でとれる。2：最後の辺が $f'$ の問題 $(u',v')$ に対し、$(q\circ u',g\circ v')$ は最後の辺が $q(f')$ の $p$ の問題なので解 $w$ があり、$(w,v')\colon\Delta^n\to X'$ が解である。$S'$ の辺 $\alpha'$ と $X'$ の頂点 $y'=(y,t)$（$p(y)=g(t)$）について、$g(\alpha')$ の $p$-Cartesian な持ち上げ $f$ をとれば $(f,\alpha')$ が $p'$-Cartesian な持ち上げである。3：最後の辺が $f$ の $q\circ p$ の問題 $(u,v)$ に対し、まず最後の辺が $p(f)$ の $q$ の問題 $(p\circ u,v)$ を解いて $w_1\colon\Delta^n\to Y$ を得て、次に最後の辺が $f$ の $p$ の問題 $(u,w_1)$ を解けばよい。辺の持ち上げは、$Z$ の辺をまず $q$-Cartesian に、次にそれを $p$-Cartesian に持ち上げればよい。$\square$

定義の 1 は平坦な単体的集合の間の包含なので、それに対する持ち上げは下の写像の内部ホーンに対する持ち上げと同じで、(a) と同値である。定義の 2 の $n=1$ は $\{1\}\subset(\Delta^1)^\sharp$ で、その持ち上げの問題は頂点 $y$ と $F$ の辺 $\bar e$（終点 $p(y)$）の組、解は $\bar e$ の上の終点 $y$ の標識付きの辺なので、(c) と同値である。$n\ge2$ では $\Lambda^n_n$ は最後の辺を含むので、始域から $X$ への標識付きの写像は、最後の辺を $E$ の辺 $e$ に送る写像 $\Lambda^n_n\to X$ と同じであり、終域から $S$ への写像の印の条件は $p(e)\in F$ から自動的に満たされる。解の印の条件も、最後の辺の像が $e$ なので自動的に満たされる。よって $n\ge2$ の持ち上げ性質は、「$e\in E$ を最後の辺とする $\Lambda^n_n$ の問題がいつも解ける」ことであり、(a) のもとで thm-cf-horn により (b) と同値である。最後の主張は (c) が Cartesian な持ち上げの存在そのものであることによる。$\square$

$S$ の単体。$S$ の $k$ 単体は、順序を保つ写像 $\varphi\colon[k]\to[2]$ のうち像が $0$ を含むものと、頂点がすべて $\ast$ の 1 つの $k$ 単体である（像が $\{1,2\}$ に入る $\varphi$ はすべてつぶれる）。像が $0$ を含む $\varphi$ では $\varphi(0)=0$ で、各 $\varphi(l)$ は辺 $\varphi|_{\{0,l\}}$（$\{0\}$ の退化した辺・辺「$01$」・辺「$02$」のどれか）で決まる。$X$ の単体は値が $\{0,2\}$ に入る $\varphi$ と頂点がすべて $\ast$ の単体で、辺「$01$」の上にある $X$ の辺はない。

内部ファイブレーション。$0< i< n$、$u\colon\Lambda^n_i\to X$、$b\colon\Delta^n\to S$、$p\circ u=b|_{\Lambda^n_i}$ とする。$X\cong\Delta^1$ は脈体なので $u$ は $w\colon\Delta^n\to X$ に延び（準圏 の定理「脈体の内部ホーンは一意に充填される」）、$p\circ w=b$ を示せばよい。$b$ の頂点 $0$ が $\ast$ なら $b$ もホーンの像もすべての頂点が $\ast$ で、$p\circ w$ と $b$ はどちらも頂点がすべて $\ast$ のただ 1 つの単体である。そうでなければ $b=\varphi$ は辺 $\varphi|_{\{0,l\}}$ で決まる。$n\ge3$ では辺 $\{0,l\}$ はすべて $\Lambda^n_i$ に入る（$\{0,l\}$ を含む面 $d_j$ は $j\notin\{0,l\}$ で $n-1\ge2$ 個あり、$i$ 以外がとれる）。$n=2$、$i=1$ では辺 $\{0,1\}$ と $\{1,2\}$ が入り、辺 $\{0,1\}$ の像は $X$ の辺なので $\varphi(1)\in\{0,2\}$ である。$\varphi(1)=0$ なら $\varphi(2)$ は辺 $\{1,2\}$ で決まり、$\varphi(1)=2$ なら $\varphi(2)=2$ である。どの場合も $b$ はホーンへの制限で決まり、同じ制限をもつ $p\circ w$ と等しい。

退化した辺。$u\colon\Lambda^2_2\to X$ を、辺 $\{0,2\}$ を $X$ の非退化な辺 $a$ に、辺 $\{1,2\}$ を頂点 $\ast$ の退化した辺に送るものとし、$\mathrm{id}_{[2]}$ の像 $\tau\colon\Delta^2\to S$ をとる。$\tau$ の辺 $\{0,2\}$ は「$02$」$=p(a)$、辺 $\{1,2\}$ は $\ast$ につぶれるので $p\circ u=\tau|_{\Lambda^2_2}$ である。延長 $w$ の辺 $\{0,1\}$ は「$01$」の上の $X$ の辺でなければならないが、そのような辺はない。thm-cf-horn により退化した辺は $p$-Cartesian でない。なお $S$ は準圏でない。面 $d_3$・$d_2$・$d_0$ をそれぞれ $(0,1,2)$・$(0,1,1)$・頂点がすべて $\ast$ の単体に送る $\Lambda^3_1\to S$ は面の上で両立するが、延長は頂点 $0$ を $0$ に送るので $(0,1,2,1)$ でなければならず、これは順序を保たないので延びない。$\square$

$y$ を $X$ の頂点、$s=p(y)$、$e=s_0y$ とし、thm-cf-horn の問題 $(u,b)$（$n\ge2$、$u\colon\Lambda^n_n\to X$ の最後の辺が $e$、$b\colon\Delta^n\to S$、$p\circ u=b|_{\Lambda^n_n}$）をとる。

1。$b$ に沿った引き戻し $p'\colon X':=X\times_S\Delta^n\to\Delta^n$ は prop-cf-basic の 2 により Cartesian ファイブレーションで、$\Delta^n$ が準圏なので $X'$ も準圏である（内部ファイブレーションの合成）。$u'=(u,\text{包含})\colon\Lambda^n_n\to X'$ の最後の辺は $e'=(e,\iota)$（$\iota=\{n-1,n\}$）であり、$e'$ が $p'$-Cartesian なら問題 $(u',\mathrm{id}_{\Delta^n})$ の解の第 1 成分が $(u,b)$ の解になる。以下 $e'$ が $p'$-Cartesian であることを示す。

2。$b|_{\Delta^\iota}=p(e)=s_0s$ は $\Delta^1\to\Delta^0\xrightarrow{s}S$ と分解するので、$X'':=X'\times_{\Delta^n}\Delta^\iota\cong X_s\times\Delta^1$ であり、$p''\colon X''\to\Delta^1$ は $X_s\to\Delta^0$ の引き戻しである。$X_s$ は準圏で、$e'$ の $X_s$ 成分は退化した辺 $e$（同値）なので ex-cf-equivalence により $X_s\to\Delta^0$ について Cartesian であり、prop-cf-basic の 2 により $e'$ は $p''$-Cartesian である。

3。$\iota$ の $p'$-Cartesian な持ち上げ $g\colon x'\to(y,n)$ をとる。$g$ は $X''$ の辺で、prop-cf-basic の 2 により $p''$-Cartesian でもある。辺 $\{1,2\}$ を $g$、辺 $\{0,2\}$ を $e'$ に送る $\Lambda^2_2\to X'$ と、頂点を $n-1,n-1,n$ に送る $\Delta^2\to\Delta^n$ は両立するので、$g$ が $p'$-Cartesian であることから $d_0\sigma=g$、$d_1\sigma=e'$ となる $2$ 単体 $\sigma$ があり、$h:=d_2\sigma\colon(y,n-1)\to x'$ は頂点 $n-1$ の退化した辺の上にある。$\sigma$ の像は $\Delta^\iota$ に入るので、$\sigma$ は $X''$ の単体である。

4。$X''\cong X_s\times\Delta^1$ と $\Delta^1$ は準圏である。$X''\to\Delta^1$ と $\sigma$ に HTT09 Proposition 2.4.1.7 を使うと、$d_0\sigma=g$ と $d_1\sigma=e'$ が $p''$-Cartesian なので $h$ も $p''$-Cartesian であり、$p''(h)$ は退化した辺（同値）なので同 Proposition 2.4.1.5 により $h$ は $X''$ の同値、したがって $X'$ の同値である。

5。$X'\to\Delta^n$ に戻ると、Proposition 2.4.1.5 により $h$ は $p'$-Cartesian であり、Proposition 2.4.1.7 により（$d_0\sigma=g$ と $d_2\sigma=h$ が $p'$-Cartesian）$d_1\sigma=e'$ も $p'$-Cartesian である。$\square$