σ-有限測度

1 ⇒ 2：$Y_n:=X_1\cup\cdots\cup X_n$ とおくと、増加列で和集合は $X$ であり、劣加法性から $\mu(Y_n)\le\mu(X_1)+\cdots+\mu(X_n) < \infty$ である（測度 の命題「測度の基本性質」の 4）。2 ⇒ 3：$Z_1:=Y_1$、$Z_n:=Y_n\setminus Y_{n-1}$（$n\ge2$）とおくと、$Z_n$ は互いに交わらず、$Z_1\cup\cdots\cup Z_n=Y_n$ なので和集合は $X$ であり、単調性から $\mu(Z_n)\le\mu(Y_n) < \infty$ である。3 ⇒ 1 は明らかである。$\square$

$w\mu$ が測度であることは Radon–Nikodymの定理 の命題「密度で定まる測度」の 1 による。$X=\bigcup_nX_n$、$\mu(X_n) < \infty$ とする。$w$ は有限の値しかとらないので、$X$ は可算個の集合 $X_n\cap\{w\le k\}$（$n,k\ge1$）の和集合であり、$w1_{X_n\cap\{w\le k\}}\le k1_{X_n}$ から
$$ (w\mu)(X_n\cap\{w\le k\})\le k\,\mu(X_n) < \infty $$
である。$\square$

1 ⇒ 2：prop-sfm-equivalent の 3 の分割 $Z_1,Z_2,\ldots$ をとり、
$$ w:=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{-n}}{1+\mu(Z_n)}\,1_{Z_n} $$
とおく。各点 $x$ はちょうど 1 つの $Z_n$ に属するので、$w(x)=2^{-n}/(1+\mu(Z_n))$ は正で有限である。$w$ は非負単関数の部分和の増加列の各点極限なので可測であり、Lebesgue積分 の定理「単調収束定理」と単関数の積分により
$$ \int w\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{-n}\mu(Z_n)}{1+\mu(Z_n)}\le\sum_{n=1}^\infty2^{-n}=1 $$
である。
2 ⇒ 1：$w>0$ なので $X=\bigcup_{k\ge1}\{w>1/k\}$ である。Markov の不等式（Lebesgue積分 の補題「零集合と積分」の 1）により $\mu(\{w>1/k\})\le\mu(\{w\ge1/k\})\le k\int w\,d\mu < \infty$ である。
後半：2 の $w$ について $c:=\int w\,d\mu$ とおく。$c=0$ なら $w=0$ がほとんどいたるところ成り立つ（同じ補題の 2）が、$w>0$ なので $\mu(X)=\mu(\{w\ne0\})=0$ となり、$\mu(X)>0$ に反する。よって $0 < c < \infty$ であり、$w/c$ に取り替えれば $\int w\,d\mu=1$、すなわち $P(X)=1$ である。$E\in\mathcal{S}$ について $\{w1_E\ne0\}=E$ なので、$P(E)=\int w1_E\,d\mu=0$ なら同じ補題の 2 により $\mu(E)=0$ であり、逆に $\mu(E)=0$ なら $w1_E=0$ がほとんどいたるところ成り立つので、同じ補題の 3 により $P(E)=0$ である。最後の等式は、Radon–Nikodymの定理 の命題「密度で定まる測度」の 2 を可測関数 $g/w$ に使い、$(g/w)\cdot w=g$ とすればよい。$\square$

$\{f\ne0\}=\bigcup_{k\ge1}\{|f|\ge1/k\}$ であり、$\{|f|\ge1/k\}=\{|f|^p\ge k^{-p}\}$ なので、Markov の不等式（Lebesgue積分 の補題「零集合と積分」の 1）により $\mu(\{|f|\ge1/k\})\le k^p\int|f|^p\,d\mu < \infty$ である。後半は、各 $\{f_k\ne0\}$ が測度有限の集合の可算個の和集合であり、可算個の可算個は可算個であることから従う（$L^p$ の元は代表の関数を 1 つ選んで考える）。$\square$

$X=\bigcup_nX_n$、$\mu(X_n) < \infty$ とする。$i\in I$ について $0 < \mu(E_i)\le\sum_n\mu(E_i\cap X_n)$ なので、ある $n$ で $\mu(E_i\cap X_n)>0$、したがってある $k\ge1$ で $\mu(E_i\cap X_n)>1/k$ である。$I_{n,k}:=\{i\in I\mid\mu(E_i\cap X_n)>1/k\}$ とおくと $I=\bigcup_{n,k}I_{n,k}$ である。$I_{n,k}$ の相異なる元 $i_1,\ldots,i_m$ について、$E_{i_j}\cap X_n$ は互いに交わらない $X_n$ の部分集合なので
$$ \frac mk < \sum_{j=1}^m\mu(E_{i_j}\cap X_n)\le\mu(X_n) $$
であり、$m < k\mu(X_n)$ である。よって各 $I_{n,k}$ は有限集合で、$I$ は有限集合の可算個の和集合なので可算である。$\square$

prop-sfm-equivalent の 2 の増加列 $Y_n$ をとると、$E\cap Y_n$ は増加列で和集合は $E$ である。測度の下からの連続性（測度 の定理「測度の連続性」の 1）により $\mu(E\cap Y_n)\to\mu(E)=\infty$ であり、各 $\mu(E\cap Y_n)\le\mu(Y_n)$ は有限である。$\mu(E\cap Y_n)>M$ となる $n$ をとり $F:=E\cap Y_n$ とすればよい。$\square$

1. $\mu_A(X_n)\le\mu(X_n) < \infty$ である。2. $X=\bigcup_nX_n$、$\mu(X_n) < \infty$、$X=\bigcup_mY_m$、$\nu(Y_m) < \infty$ とすると、可算個の集合 $X_n\cap Y_m$ が $X$ を覆い、$(\mu+\nu)(X_n\cap Y_m)\le\mu(X_n)+\nu(Y_m) < \infty$ である。有限個の和は帰納法による。3 は引用した定理の主張に含まれる。$\square$