双対作用素
概要
双対作用素（dual operator）とは、ノルム空間の間の有界線形作用素 $T\colon X\to Y$ に対し、連続双対空間の間の写像 $T'\colon Y^*\to X^*$ を $T'\varphi=\varphi\circ T$ で定めたもので、転置作用素とも呼ばれる。$T'$ は有界線形作用素で $\|T'\|=\|T\|$ を満たし、$(ST)'=T'S'$ のように合成の順序が逆になり、有限次元では行列の転置にあたる。双対作用素は弱スター位相について連続であり、この性質で特徴づけられる。Hilbert 空間では Riesz の表現定理を通して随伴作用素に対応するが、スカラー倍に共役がつかない点が異なる。
前提知識: 有界線形作用素, 連続双対空間, Hahn–Banachの定理, 双対空間(線形代数)
ノルム空間 $Y$ の元は、連続線形汎関数 $\varphi\in Y^*$ による「観測値」$\varphi(y)$ で見分けられる（連続双対空間）。線形写像 $T\colon X\to Y$ で $x$ を $Tx$ に送ってから $\varphi$ で観測することは、$X$ の上の汎関数 $\varphi\circ T$ で $x$ を直接観測することと同じである。この「観測の仕方を引き戻す」写像 $\varphi\mapsto\varphi\circ T$ を $T$ の 双対作用素（dual operator）または 転置作用素 という。有限次元では、行列の転置にあたる。
双対作用素は $Y^*$ から $X^*$ へ、元の作用素と逆向きに働く。値域が閉じた作用素について方程式 $Tx=y$ の可解性を双対作用素の核で判定する 閉値域定理、コンパクト性が双対作用素に移るという Schauderの定理(コンパクト作用素) のように、双対作用素は作用素の性質を双対空間の側から調べる道具である。Hilbert 空間では、Riesz の表現定理による同一視を通して 随伴作用素 に対応するが、両者は向きと線形性が異なる。
この記事では、双対作用素の定義と基本性質（ノルムの一致、合成の順序の逆転）、行列・数列空間・積分作用素での例、二重双対、弱スター位相での特徴づけ、Hilbert 随伴との違い、稠密に定義された作用素の双対作用素とその閉性を述べる。
以下、係数体 $\mathbb K$ は $\mathbb R$ または $\mathbb C$、$X,Y,Z$ は $\mathbb K$ 上のノルム空間とする。$X^*$ は $X$ 上の連続線形汎関数の全体に双対ノルム $\|\varphi\|=\sup_{\|x\|\le1}\lvert\varphi(x)\rvert$ を入れた空間（連続双対空間）、$B(X,Y)$ は $X$ から $Y$ への有界線形作用素の全体である。$\varphi\in X^*$ の $x\in X$ での値を $\langle\varphi,x\rangle:=\varphi(x)$ とも書く。この記号は双線形で、複素共役は入らない。
定義
$T\in B(X,Y)$ に対し、$T'\colon Y^*\to X^*$ を
$$
T'\varphi:=\varphi\circ T\qquad(\varphi\in Y^*)
$$
で定め、$T$ の 双対作用素（転置作用素）という。すなわち $T'$ は、すべての $x\in X$、$\varphi\in Y^*$ について
$$
\langle T'\varphi,x\rangle=\langle\varphi,Tx\rangle
$$
を満たす写像である。
$\varphi\circ T$ は連続線形写像の合成なので $X^*$ に属し、$T'$ は矛盾なく定まる。記号は文献によって $T'$、$T^*$、${}^tT$ などが使われる。この記事では、Hilbert 空間の随伴 $T^*$ と区別するために $T'$ と書く。代数的な双対空間（すべての線形汎関数の空間）の間で同じ式で定めた写像は 双対空間(線形代数) の定義「双対写像」であり、$T'$ はそれを連続な汎関数に制限したものである。
- $T\in B(X,Y)$ なら $T'\in B(Y^*,X^*)$ であり、$\|T'\|=\|T\|$ である。
- $S,T\in B(X,Y)$、$a\in\mathbb K$ について $(S+aT)'=S'+aT'$ である。
- $T\in B(X,Y)$、$S\in B(Y,Z)$ について $(ST)'=T'S'$ であり、恒等作用素について $(I_X)'=I_{X^*}$ である。
- $T\in B(X,Y)$ が同型（全単射で逆写像も有界）なら、$T'$ も同型で $(T')^{-1}=(T^{-1})'$ である。
とくに $T\mapsto T'$ は $B(X,Y)$ から $B(Y^*,X^*)$ への線形な等長写像である。
1：$T'$ の線形性は $(\varphi+b\psi)\circ T=\varphi\circ T+b\,\psi\circ T$ による。$\lvert\langle T'\varphi,x\rangle\rvert=\lvert\varphi(Tx)\rvert\le\|\varphi\|\,\|T\|\,\|x\|$ なので $\|T'\varphi\|\le\|T\|\,\|\varphi\|$ であり、$\|T'\|\le\|T\|$ である。逆向きを示す。$x\in X$ で $Tx\ne0$ とする。連続双対空間 の定理「点でノルムを実現する汎関数」により $\|\varphi\|=1$、$\varphi(Tx)=\|Tx\|$ となる $\varphi\in Y^*$ があり、
$$
\|Tx\|=\langle T'\varphi,x\rangle\le\|T'\varphi\|\,\|x\|\le\|T'\|\,\|x\|
$$
である。$Tx=0$ でもこの不等式は成り立つので $\|T\|\le\|T'\|$ である。
2・3：$\varphi\in Y^*$（3 では $\varphi\in Z^*$）について
$$
\varphi\circ(S+aT)=\varphi\circ S+a\,\varphi\circ T,\qquad\varphi\circ(ST)=(\varphi\circ S)\circ T=T'(S'\varphi)
$$
であり、$\varphi\circ I_X=\varphi$ である。
4：$TT^{-1}=I_Y$、$T^{-1}T=I_X$ に 3 を当てると $(T^{-1})'T'=I_{Y^*}$、$T'(T^{-1})'=I_{X^*}$ である。
最後の主張は 1・2 である。$\square$
1 の不等式 $\|T\|\le\|T'\|$ は、$Y^*$ が $Y$ の元のノルムを測るのに十分多くあること（Hahn–Banach の定理）を使っている。3 で合成の順序が逆になるのは、双対をとる操作が矢印の向きを逆にするからである。
2 で係数 $a$ が共役にならないことに注意する。Hilbert 空間の随伴では $(aT)^*=\overline aT^*$ となる（下の節「Hilbert 空間の随伴との関係」）。
例
$X=\mathbb K^n$、$Y=\mathbb K^m$ に任意のノルムを入れ、$T$ を $m\times n$ 行列 $A=(a_{ij})$ の掛け算とする。有限次元では線形汎関数はすべて連続なので、$(\mathbb K^m)^*$ の元は $\varphi_u(y)=\sum_iu_iy_i$（$u\in\mathbb K^m$）の形にただ一通りに書ける。
$$
\langle T'\varphi_u,x\rangle=\sum_iu_i\sum_ja_{ij}x_j=\sum_j\Bigl(\sum_ia_{ij}u_i\Bigr)x_j
$$
なので $T'\varphi_u=\varphi_{A^{\mathsf T}u}$ であり、この同一視のもとで $T'$ は転置行列 $A^{\mathsf T}$ の掛け算である。複素数の場合も共役はとらない。双対基底を使った同じ計算が 双対空間(線形代数) の定理「双対写像の性質と転置行列」にある。
数列空間では、$1\le p< \infty$、$1/p+1/p'=1$（$p=1$ なら $p'=\infty$）とし、ℓp空間 の定理「$\ell^p$ と $c_0$ の双対」により $u\in\ell^{p'}$ と $\varphi_u(x)=\sum_ku_kx_k$ を同一視して $(\ell^p)^*=\ell^{p'}$ とみる。
$\ell^p$ 上の右へのずらし $R(x_1,x_2,\dots)=(0,x_1,x_2,\dots)$ と左へのずらし $L(x_1,x_2,\dots)=(x_2,x_3,\dots)$ を考える。$u\in\ell^{p'}$ について
$$
\langle\varphi_u,Rx\rangle=\sum_{k\ge2}u_kx_{k-1}=\sum_{j\ge1}u_{j+1}x_j=\langle\varphi_{Lu},x\rangle,\qquad
\langle\varphi_u,Lx\rangle=\sum_{k\ge1}u_kx_{k+1}=\langle\varphi_{Ru},x\rangle
$$
なので、$R'$ は $\ell^{p'}$ 上の左へのずらし、$L'$ は $\ell^{p'}$ 上の右へのずらしである。$R$ は単射だが全射でなく、$R'$ は全射だが単射でない（第 $k$ 成分だけが $1$ の列を $e_k$ と書くと $R'e_1=0$）。$R$ の値域 $\{x\mid x_1=0\}$ を $0$ にする汎関数は $e_1$ の定数倍で、これがちょうど $R'$ の核になっている。
この例では関数を実数値とする。$1< p< \infty$、$1/p+1/p'=1$ とし、$k$ を $[0,1]^2$ 上の実数値連続関数、$M:=\max\lvert k\rvert$ とする。$L^p(0,1)$ 上の
$$
(Tf)(s):=\int_0^1k(s,t)f(t)\,dt
$$
は $\lvert(Tf)(s)\rvert\le M\|f\|_1\le M\|f\|_p$ から $\|Tf\|_p\le M\|f\|_p$ を満たす有界線形作用素である。Lp空間の双対空間 の定理「$L^p$ の双対の表現定理（$1< p<\infty$）」により $g\in L^{p'}$ と汎関数 $f\mapsto\int fg$ を同一視すると、
$$
(T'g)(t)=\int_0^1k(s,t)g(s)\,ds
$$
である。実際、$\lvert k(s,t)f(t)g(s)\rvert\le M\lvert f(t)\rvert\,\lvert g(s)\rvert$ は $[0,1]^2$ で可積分なので（$f,g$ は $(0,1)$ で可積分）、Fubini の定理により
$$
\int_0^1(Tf)(s)g(s)\,ds=\int_0^1f(t)\Bigl(\int_0^1k(s,t)g(s)\,ds\Bigr)dt
$$
となる。双対作用素は、核の変数を入れ替えた積分作用素である。
$M\subset X$ を線形部分空間、$\iota\colon M\to X$ を包含写像とする。$\iota'\colon X^*\to M^*$ は $\iota'\varphi=\varphi|_M$（制限）である。Hahn–Banachの定理 の系「ノルムを保つ延長」により、$M$ 上の連続線形汎関数はノルムを保って $X$ 全体へ延長できるので、$\iota'$ は全射である。$\iota'$ の核は $M$ 上で $0$ になる汎関数の全体、すなわち零化空間 $M^\perp$ である（零化空間）。
二重双対作用素
$J_X\colon X\to X^{**}$ を $\langle J_Xx,\varphi\rangle:=\langle\varphi,x\rangle$ で定まる標準の写像とする。$J_X$ は線形な等長写像である（連続双対空間 の定理「評価写像は等長埋め込み」）。双対作用素をもう一度とった $T'':=(T')'\colon X^{**}\to Y^{**}$ は、この埋め込みを通して $T$ を延長している。
$T\in B(X,Y)$ について $T''J_X=J_YT$ が成り立つ。すなわち $X$ と $Y$ をそれぞれ $J_X(X)$、$J_Y(Y)$ と同一視すると、$T''$ は $T$ の延長であり、$\|T''\|=\|T\|$ である。
$x\in X$、$\psi\in Y^*$ について
$$
\langle T''J_Xx,\psi\rangle=\langle J_Xx,T'\psi\rangle=\langle T'\psi,x\rangle=\langle\psi,Tx\rangle=\langle J_YTx,\psi\rangle
$$
である。ノルムは thm-do-basic の 1 を 2 回使えばよい。$\square$
核と値域
$T\in B(X,Y)$ の核を $N(T)$、値域を $R(T)$ とし、ノルム空間の部分集合 $M$ の零化空間 $M^\perp$ を、$M$ の上で $0$ になる連続線形汎関数の全体とする。閉値域定理 の命題「核と像の関係」により $N(T')=R(T)^\perp$ である。これは $\varphi\circ T=0$ が「$\varphi$ が $R(T)$ の上で $0$」と同じであることを言い換えたものである。ここから、双対作用素の単射性は値域の稠密性で判定できる。
$T\in B(X,Y)$ について、$T'$ が単射であることと、$R(T)$ が $Y$ で稠密であることは同値である。
$T'$ が単射であることは $N(T')=R(T)^\perp=\{0\}$ と同じである。線形部分空間 $R(T)$ について、$R(T)^\perp=\{0\}$ であることと $R(T)$ が稠密であることは同値である（Hahn–Banachの定理 の系「稠密性の判定」）。$\square$
$T$ の核については、同じ命題により $N(T)={}^\perp R(T')$（$R(T')$ のすべての元で値が $0$ になる点の全体）である。$T'$ の全射性・$T$ の全射性と、値域が閉であることの関係は、$X,Y$ が Banach 空間のとき 閉値域定理 で扱う。とくに $X,Y$ が Banach 空間なら、$T'$ が同型であることと $T$ が同型であることは同値になる（同記事の系「全射性と単射性の判定」から、$T'$ が全単射なら $T$ も全単射で、開写像定理 により逆写像は有界）。
コンパクト性も双対作用素に移る。$X,Y$ が Banach 空間なら、$T$ がコンパクトであることと $T'$ がコンパクトであることは同値である（Schauderの定理(コンパクト作用素)）。
弱スター位相での特徴づけ
$Y^*$ の 弱スター位相 は、各 $y\in Y$ での値 $\varphi\mapsto\langle\varphi,y\rangle$ がすべて連続になる最も弱い位相であり、半ノルムの族 $\{\lvert\langle\varphi,y\rangle\rvert\mid y\in Y\}$ が定める位相である（弱スター位相、半ノルム）。双対作用素は、ノルム位相だけでなく弱スター位相についても連続であり、逆にこの性質で特徴づけられる。
- $T\in B(X,Y)$ なら、$T'$ は弱スター位相を入れた $Y^*$ から弱スター位相を入れた $X^*$ への連続写像である。
- 逆に $S\colon Y^*\to X^*$ が線形で、弱スター位相について連続なら、$S=T'$ となる $T\in B(X,Y)$ がただ一つある。
1：$x\in X$ について、$X^*$ の半ノルム $\psi\mapsto\lvert\langle\psi,x\rangle\rvert$ を $T'$ で引き戻すと $\lvert\langle T'\varphi,x\rangle\rvert=\lvert\langle\varphi,Tx\rangle\rvert$ で、これは $Y^*$ の弱スター位相を定める半ノルムの一つ（$y=Tx$）である。半ノルム の定理「連続線形写像の半ノルムによる判定」（$m=1$、$C=1$）により $T'$ は連続である。
2：$x\in X$ を固定すると、$\varphi\mapsto\langle S\varphi,x\rangle$ は $Y^*$ 上の線形汎関数で、弱スター位相について連続な写像 $S$ と、$X^*$ 上の弱スター連続な汎関数 $\psi\mapsto\langle\psi,x\rangle$ の合成なので、弱スター連続である。弱スター位相 の命題「弱スター連続な線形汎関数」により、ある $y\in Y$ ですべての $\varphi$ について $\langle S\varphi,x\rangle=\langle\varphi,y\rangle$ となる。$Y^*$ は $Y$ の点を分ける（連続双対空間 の定理「点でノルムを実現する汎関数」）ので $y$ はただ一つであり、$Tx:=y$ とおく。一意性から $T$ は線形である。
$T$ の有界性を示す。$S$ のグラフはノルム位相で閉である。実際、$\varphi_n\to\varphi$、$S\varphi_n\to\psi$（ノルムで）なら、ノルム収束は弱スター収束を導くので、$S$ の弱スター連続性から $S\varphi_n\to S\varphi$（弱スター）、また $S\varphi_n\to\psi$（弱スター）であり、弱スター位相は Hausdorff なので $\psi=S\varphi$ である。$Y^*$、$X^*$ は Banach 空間なので（連続双対空間 の定理「連続双対の完備性」）、閉グラフ定理 の定理「閉グラフ定理」により $S$ は有界である。よって
$$
\|Tx\|=\sup_{\|\varphi\|\le1}\lvert\langle\varphi,Tx\rangle\rvert=\sup_{\|\varphi\|\le1}\lvert\langle S\varphi,x\rangle\rvert\le\|S\|\,\|x\|
$$
であり（左の等号は 連続双対空間 の系「双対ノルムによる元のノルムの復元」）、$T\in B(X,Y)$ である。定義から $\langle S\varphi,x\rangle=\langle\varphi,Tx\rangle=\langle T'\varphi,x\rangle$ なので $S=T'$ である。$T$ の一意性は、$T'=\tilde T'$ なら thm-do-basic の等長性から $\|T-\tilde T\|=\|T'-\tilde T'\|=0$ となることによる。$\square$
ノルム位相で連続なだけの $S\in B(Y^*,X^*)$ は、双対作用素とは限らない（下の反例の表）。
Hilbert 空間の随伴との関係
$H,K$ を Hilbert 空間とし、内積は第 1 変数について線形とする。$T\in B(H,K)$ の随伴 $T^*\colon K\to H$ は $\langle Tx,y\rangle_K=\langle x,T^*y\rangle_H$ で定まる（随伴作用素）。$J_H\colon H\to H^*$、$J_H(z):=\langle\cdot,z\rangle_H$（Riesz の表現定理による全単射で、複素数なら共役線形）を使うと
$$
J_H\circ T^*=T'\circ J_K
$$
が成り立つ（$y\in K$、$x\in H$ について $(T'J_Ky)(x)=\langle Tx,y\rangle_K=\langle x,T^*y\rangle_H=(J_HT^*y)(x)$ による。複素数の場合は 随伴作用素 の命題「Hilbert 随伴と双対作用素の対応」にある）。随伴は双対作用素を Riesz の同一視で $K\to H$ に移したものだが、次の点で異なる。
| 双対作用素 $T'$ | Hilbert 随伴 $T^*$ | |
|---|---|---|
| 向き | $K^*\to H^*$ | $K\to H$ |
| 必要な構造 | ノルム（連続双対） | 内積 |
| $(aT)$ に対して | $(aT)'=aT'$ | $(aT)^*=\overline aT^*$ |
| 行列の場合 | 転置 $A^{\mathsf T}$ | 共役転置 $\overline A^{\mathsf T}$ |
たとえば $H=K=\mathbb C$、$Tz=iz$ とすると、$\mathbb C^*$ を $\varphi\mapsto\varphi(1)$ で $\mathbb C$ と同一視したとき $T'$ は $i$ 倍だが、$T^*$ は $-i$ 倍である。
稠密に定義された作用素の双対作用素
微分作用素のように部分空間 $D(T)\subset X$ の上だけで定義された作用素 $T\colon D(T)\to Y$（非有界作用素）にも、$D(T)$ が $X$ で稠密なら双対作用素が定まる。
$T\colon D(T)\to Y$ を、$X$ で稠密な部分空間 $D(T)$ の上の線形写像とする。$D(T')$ を、ある定数 $c$ ですべての $x\in D(T)$ について $\lvert\langle\varphi,Tx\rangle\rvert\le c\|x\|$ となる $\varphi\in Y^*$ の全体とする。$\varphi\in D(T')$ に対し、$D(T)$ 上の連続線形汎関数 $x\mapsto\langle\varphi,Tx\rangle$ を $X$ 全体へ連続に延長したものを $T'\varphi\in X^*$ と定める。
$D(T)$ は稠密なので延長はただ一つであり（存在は 有界線形作用素 の定理「稠密な部分空間からの延長」で、値の空間 $\mathbb K$ は完備）、$T'\colon D(T')\to X^*$ は線形である。$\langle T'\varphi,x\rangle=\langle\varphi,Tx\rangle$（$x\in D(T)$、$\varphi\in D(T')$）が成り立つ。$T\in B(X,Y)$ なら $D(T')=Y^*$ で、def-do-main と一致する。
$T\colon D(T)\to Y$ を稠密に定義された作用素とする。$T'$ は $Y^*$ から $X^*$ への閉作用素である。$T$ 自身が閉である必要はない。
$\varphi_n\in D(T')$、$\varphi_n\to\varphi$（$Y^*$ で）、$T'\varphi_n\to\psi$（$X^*$ で）とする。$x\in D(T)$ を固定すると、$\langle\varphi_n,Tx\rangle=\langle T'\varphi_n,x\rangle$ で、両辺の極限をとって $\langle\varphi,Tx\rangle=\langle\psi,x\rangle$ を得る。よって $\lvert\langle\varphi,Tx\rangle\rvert\le\|\psi\|\,\|x\|$ なので $\varphi\in D(T')$ であり、$T'\varphi$ と $\psi$ は $D(T)$ の上で一致する連続線形汎関数なので、延長の一意性から $T'\varphi=\psi$ である。閉作用素 の命題「列による判定」により $T'$ は閉である。$\square$
$1\le p< \infty$ とし、$\ell^p$ の上の $(Ax)_k:=kx_k$、$D(A):=\{x\in\ell^p\mid(kx_k)_k\in\ell^p\}$ を考える。$D(A)$ は $c_{00}$ を含むので稠密である（ℓp空間 の命題「有限列の稠密性」）。$(\ell^p)^*=\ell^{p'}$ と同一視すると
$$
D(A')=\{u\in\ell^{p'}\mid(ku_k)_k\in\ell^{p'}\},\qquad(A'u)_k=ku_k
$$
である。$p=1$（$p'=\infty$）なら $D(A')$ は $\lvert u_k\rvert\le c/k$ となる列の全体で $c_0$ に含まれるので、$D(A')$ は $\ell^\infty$ で稠密でない。双対作用素の定義域は稠密とは限らない。
例の確かめを開く
$u\in\ell^{p'}$、$v:=(ku_k)_k$ とする。$(ku_k)\in\ell^{p'}$ なら、$x\in D(A)$ について $\lvert\sum_kkx_ku_k\rvert\le\|v\|_{p'}\|x\|_p$（Hölder の不等式）なので $u\in D(A')$ で、$A'u$ は $\varphi_v$ である。逆に $u\in D(A')$ とすると、$x\mapsto\sum_kv_kx_k$ は $c_{00}$ の上で $\lvert\sum_kv_kx_k\rvert\le c\|x\|_p$ を満たす。稠密な $c_{00}$ から $\ell^p$ 全体へ連続に延長した汎関数を $\psi$ とし、ℓp空間 の定理「$\ell^p$ と $c_0$ の双対」で $\psi=\varphi_w$（$w\in\ell^{p'}$）と書くと、$w_k=\psi(e_k)=v_k$ である。よって $v\in\ell^{p'}$ である。$p=1$ のとき：$\lvert u_k\rvert\le\|v\|_\infty/k\to0$ なので $D(A')\subset c_0$ であり、$c_0$ は $\ell^\infty$ の閉部分空間で、$(1,1,\dots)$ からの距離が $1$ 以上の点しか含まない。
$1< p< \infty$ なら $D(A')\supset c_{00}$ は $\ell^{p'}$ で稠密である。$X,Y$ が Banach 空間で $T$ が稠密に定義された閉作用素のとき、核と値域の関係 $N(T')=R(T)^\perp$ などは有界な場合と同じ形で成り立ち、閉値域定理も成り立つ（実 Banach 空間の場合が 閉値域定理 の節「非有界な閉作用素への拡張」にある）。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 弱スター連続（thm-do-weakstar の 2） | $Y=c_0$、$X=\mathbb K$、$S\colon\ell^1=c_0^*\to\mathbb K$、$Su=\sum_ku_k$ | $S$ は双対作用素 $T'$ の形に書ける |
| $X$ が完備（$T'$ が同型なら $T$ も同型） | $X=c_{00}$（$\ell^2$ のノルム）、$Y=\ell^2$、$T$ は包含 | $T'$ が同型なら $T$ も同型 |
| $D(T)$ が稠密（def-do-unbounded） | $X=Y=\ell^2$、$D(T)=\{x\mid x_1=0\}$、$T=0$ | $T'\varphi$ がただ一つに定まる |
| $p>1$（ex-do-multiplication の後の段落） | ex-do-multiplication の $p=1$ | 双対作用素の定義域が稠密 |
確かめを開く
1 行目：$c_0$ は $0$ に収束する数列の空間に上限ノルムを入れたもので、ℓp空間 の定理「$\ell^p$ と $c_0$ の双対」の 2 により $c_0^*=\ell^1$ と同一視する。$\mathbb K^*$ を $\mathbb K$ と同一視する。$\lvert Su\rvert\le\|u\|_1$ なので $S$ は有界である。$S=T'$ となる $T\colon\mathbb K\to c_0$ があったとし、$y:=T1\in c_0$ とおくと、$Su=\langle T'u,1\rangle=\langle u,y\rangle=\sum_ku_ky_k$ がすべての $u\in\ell^1$ で成り立つ。$u=e_k$ として $y_k=1$ がすべての $k$ で成り立つが、$(1,1,\dots)\notin c_0$ なので矛盾する。thm-do-weakstar の 2 により、$S$ は弱スター連続でない。
2 行目：$c_{00}$ は $\ell^2$ で稠密なので、$T'\varphi=\varphi|_{c_{00}}$ は $(\ell^2)^*$ から $c_{00}^*$ への等長な全単射である（稠密な部分空間の上の連続線形汎関数は同じノルムでただ一通りに延長される）。$T'$ は同型だが、$T$ は全射でないので同型でない。$Y$ は Banach 空間で、外した条件は $X$ の完備性だけである。
3 行目：$\varphi\in Y^*$ について $x\mapsto\langle\varphi,Tx\rangle$ は $D(T)$ 上の零写像で、$X$ への連続な延長として $0$ と $x\mapsto x_1$ の両方がとれる。延長が一つに決まらないので $T'\varphi$ は定まらない。
4 行目：上の確かめで示した。
補足
有界な作用素の双対作用素とノルムの一致は Bre11 §2.6 の Remark 16（pp. 44–45）にあり、稠密に定義された作用素の双対作用素（同書では随伴 $A^\star$ と呼ぶ）の定義は同 §2.6（pp. 43–44）、それが閉であることは同 Proposition 2.17（p. 45）にある。同書の第 2 章は実 Banach 空間で述べられている。双対作用素とコンパクト性の関係は同 §6.1 の Theorem 6.4（p. 159）にある。thm-do-weakstar と例は、この記事の中で証明した。
関連項目
- 前提: 有界線形作用素, 連続双対空間, Hahn–Banachの定理
- 比較: 随伴作用素, 双対空間(線形代数), 転置行列
- 使われる場面: 閉値域定理, Schauderの定理(コンパクト作用素), Riesz–Schauder理論
- 道具: 弱スター位相, 零化空間, 閉作用素
参考文献
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