超幾何分布

1：$X(\omega)=k$ となる $\omega$ は、$R$ から $k$ 個、$M\setminus R$ から $n-k$ 個を選ぶことで過不足なく得られるので、その個数は $\binom Kk\binom{N-K}{n-k}$ である（二項係数 の命題「部分集合による特徴づけ」）。一様な確率なので $P(X=k)=h(k)$ であり、$\Omega$ の元はどれかの $k$ に属するので確率の和は $1$ である。
2：$n$ 元集合 $\omega$ を 1 つ固定する。最初の $n$ 個の集合が $\omega$ になる並べ方は、最初の $n$ 個の位置に $\omega$ の元を並べ、残りの位置に残りの元を並べる方法の数 $n!\,(N-n)!$ だけあり、$\omega$ によらない。よって各 $\omega$ の確率は $\frac{n!(N-n)!}{N!}=\binom Nn^{-1}$ である。$\blacksquare$

1：$L\le k\le U$ のとき、階乗で書くと
$$ h_{N,K,n}(k)=\frac{K!\,(N-K)!\,n!\,(N-n)!}{N!\,k!\,(K-k)!\,(n-k)!\,(N-K-n+k)!} $$
であり、この式は $K$ と $n$ の入れ替えで変わらない。$L,U$ も $K$ と $n$ について対称なので、範囲の外でも両辺は $0$ で等しい。
2：$n-X$ は取り出した白の個数である。prop-hgd-model で赤と白の役割を入れ替えれば、それは $\mathrm{HG}(N,N-K,n)$ に従う。$K-X$ は取り出されずに残った赤の個数であり、残った $N-n$ 個の集合 $M\setminus\omega$ は $(N-n)$ 元部分集合の全体の上で一様に分布する（$\omega\mapsto M\setminus\omega$ は全単射）ので、$\mathrm{HG}(N,K,N-n)$ に従う。$\blacksquare$

1：prop-hgd-model のモデルで考える。$\binom{X(\omega)}r$ は、$R$ の $r$ 元部分集合 $T$ のうち $T\subset\omega$ となるものの個数なので、$E\bigl[\binom Xr\bigr]=\sum_TP(T\subset\omega)$ である（期待値の線形性）。$T$ を含む $n$ 元部分集合は $\omega\setminus T$ を $M\setminus T$ から選ぶ方法の数 $\binom{N-r}{n-r}$ だけあるので
$$ E\Bigl[\binom Xr\Bigr]=\binom Kr\frac{\binom{N-r}{n-r}}{\binom Nn}=\binom Kr\frac{n!\,(N-r)!}{N!\,(n-r)!}=\frac{\binom Kr\binom nr}{\binom Nr} $$
である。$r>K$ なら $T$ がなく、$r>n$ なら $\binom Xr=0$ なので、左辺は $0$ である。
2：1 で $r=1$ とすれば $E[X]=\frac{nK}N$ である。
3：1 で $r=2$ とすると $E[X(X-1)]=2E\bigl[\binom X2\bigr]=\frac{n(n-1)K(K-1)}{N(N-1)}$ である（$n< 2$ または $K< 2$ のときは両辺とも $0$ で、式はそのまま成り立つ）。よって
$$ V[X]=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2=\frac{n(n-1)K(K-1)}{N(N-1)}+\frac{nK}N-\frac{n^2K^2}{N^2} $$
である。右辺に $\frac{N^2(N-1)}{nK}$ を掛けると $(n-1)(K-1)N+N(N-1)-nK(N-1)=N^2-nN-KN+nK=(N-n)(N-K)$ となるので（$nK=0$ のときは $X=0$ で両辺とも $0$）、$V[X]=\frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)}$ を得る。$\blacksquare$

比の式は prf-hgd-symmetry の階乗の式で $k$ と $k+1$ を比べれば得られる（$L\le k< U$ では分子・分母とも正）。$h(k+1)\ge h(k)$ は $(K-k)(n-k)\ge(k+1)(N-K-n+k+1)$ と同値で、展開して整理すると
$$ (K-k)(n-k)-(k+1)(N-K-n+k+1)=(n+1)(K+1)-(k+1)(N+2) $$
なので、比較は $k+1$ と $c$ の大小で決まる（等号・不等号の向きもそのまま対応する）。よって $h$ は $k+1\le c$ の範囲で増加し、その先で減少する。最大値をとる $\lfloor c\rfloor$ が $L$ 以上 $U$ 以下であることは、$N-n=:\alpha\ge0$、$N-K=:\beta\ge0$ とおくと $(n+1)(K+1)-(n+K-N)(N+2)=1+\alpha+\beta+\alpha\beta>0$ から $c>n+K-N$、$n+1\le N+1< N+2$ から $c< K+1$、同様に $c< n+1$ となることによる。$\blacksquare$

$(x)_j:=x(x-1)\cdots(x-j+1)$（$(x)_0:=1$）とおく。$0\le k\le n\le N$ について
$$ h_{N,K,n}(k)=\binom nk\frac{(K)_k\,(N-K)_{n-k}}{(N)_n} $$
が成り立つ。実際、$L\le k\le U$ では両辺を階乗で書くと一致し（$\binom Kk=\frac{(K)_k}{k!}$、$\binom{N-K}{n-k}=\frac{(N-K)_{n-k}}{(n-k)!}$、$\binom Nn=\frac{(N)_n}{n!}$）、範囲の外では $k>K$ なら $(K)_k=0$、$n-k>N-K$ なら $(N-K)_{n-k}=0$ なので両辺とも $0$ である。分子と分母を $N^n=N^kN^{n-k}$ で割ると、$k,n$ を固定して $N\to\infty$ のとき
$$ \frac{(K_N)_k}{N^k}=\prod_{i=0}^{k-1}\Bigl(\frac{K_N}N-\frac iN\Bigr)\to p^k,\qquad\frac{(N-K_N)_{n-k}}{N^{n-k}}\to(1-p)^{n-k},\qquad\frac{(N)_n}{N^n}\to1 $$
である。よって $h_{N,K_N,n}(k)\to\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$ である。$\blacksquare$

色 $i$ と色 $j$ をまとめて 1 色とみると、$X_i+X_j$ は $\mathrm{HG}(N,K_i+K_j,n)$ に従う。$d:=\frac{n(N-n)}{N^2(N-1)}$ とおくと、thm-hgd-moments の 3 は $V[\mathrm{HG}(N,K,n)]=dK(N-K)$ と書けるので、和の分散の公式 $V[X_i+X_j]=V[X_i]+V[X_j]+2\,\mathrm{Cov}[X_i,X_j]$ により
$$ 2\,\mathrm{Cov}[X_i,X_j]=d\bigl[(K_i+K_j)(N-K_i-K_j)-K_i(N-K_i)-K_j(N-K_j)\bigr]=-2dK_iK_j $$
である。$\blacksquare$