Fermat点

$F(0,0)$ から見て、$A$ を距離 $1$、$B$ を距離 $2$、$C$ を距離 $3$ の位置に、互いに $120^\circ$ ずつ回った向きにとる：
$$ A(1,0),\qquad B\bigl(-1,\sqrt3\bigr),\qquad C\Bigl(-\frac32,-\frac{3\sqrt3}2\Bigr). $$
$\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^\circ$ で、$f(F)=1+2+3=6$ である。辺の長さは余弦定理（余弦定理（高校数学））で $AB^2=1+4-2\cdot1\cdot2\cos120^\circ=7$、$BC^2=4+9+6=19$、$CA^2=9+1+3=13$ である。
ほかの点での値と比べる。

1. 頂点：$f(A)=AB+AC=\sqrt7+\sqrt{13}\approx6.251$、$f(B)=\sqrt7+\sqrt{19}\approx7.005$、$f(C)=\sqrt{13}+\sqrt{19}\approx7.964$。
2. 重心 $G\bigl(-\frac12,-\frac{\sqrt3}6\bigr)$：$GA=\frac{\sqrt{21}}3$、$GB=\frac{\sqrt{39}}3$、$GC=\frac{\sqrt{57}}3$ で、$f(G)\approx6.126$。
   どれも $6$ より大きい。

$A(0,1)$、$B\bigl(-\frac{\sqrt3}2,-\frac12\bigr)$、$C\bigl(\frac{\sqrt3}2,-\frac12\bigr)$ は 1 辺 $\sqrt3$ の正三角形で、中心 $O(0,0)$ から各頂点までは $1$、3 本の線分は $120^\circ$ で出会う。$f(O)=3$ である。頂点では $f(A)=\sqrt3+\sqrt3=2\sqrt3\approx3.464$ で、中心のほうが小さい。

ex-fer-first の三角形では $A'(-5,0)$、$B'\bigl(2,-2\sqrt3\bigr)$、$C'\bigl(\frac32,\frac{3\sqrt3}2\bigr)$ である。$C'$ を確かめる：$AC'^2=\frac14+\frac{27}4=7$、$BC'^2=\frac{25}4+\frac34=7$ で、$AB^2=7$ と合わせて三角形 $ABC'$ は正三角形である。$C'$ は直線 $y=\sqrt3x$ の上の $x>0$ の側、$C$ も同じ直線の上の反対側にある。$CC'=2\sqrt{\frac94+\frac{27}4}=2\cdot3=6$ である。同じ計算で $AA'=6$、$BB'=\lvert(3,-3\sqrt3)\rvert=6$ である。3 本の直線 $AA'$（$x$ 軸）、$BB'$（$y=-\sqrt3x$）、$CC'$（$y=\sqrt3x$）はどれも原点 $F$ を通る。

ex-fer-first の三角形で、$A(1,0)$ を中心とする時計回りの $60^\circ$ の回転は $\rho(X)=A+\begin{pmatrix}\frac12&\frac{\sqrt3}2\\-\frac{\sqrt3}2&\frac12\end{pmatrix}(X-A)$ である。$B-A=(-2,\sqrt3)$ は $\bigl(-1+\frac32,\ \sqrt3+\frac{\sqrt3}2\bigr)=\bigl(\frac12,\frac{3\sqrt3}2\bigr)$ に移り、$\rho(B)=\bigl(\frac32,\frac{3\sqrt3}2\bigr)=C'$ である。

1. $P=\bigl(\frac12,0\bigr)$：$P-A=\bigl(-\frac12,0\bigr)$ は $\bigl(-\frac14,\frac{\sqrt3}4\bigr)$ に移り、$P'=\bigl(\frac34,\frac{\sqrt3}4\bigr)$ である。$PP'^2=\frac1{16}+\frac3{16}=\frac14$ で $PP'=\frac12=PA$、$P'C'^2=\frac9{16}+\frac{75}{16}=\frac{84}{16}$ で $P'C'=\frac{\sqrt{21}}2$、$PB^2=\frac94+3=\frac{21}4$ で $PB=\frac{\sqrt{21}}2$ である。$CP=\frac{\sqrt{43}}2$ なので $f(P)=\frac12+\frac{\sqrt{21}}2+\frac{\sqrt{43}}2\approx6.070>6=CC'$ である。
2. $P=F(0,0)$：$F'=\rho(F)=\bigl(\frac12,\frac{\sqrt3}2\bigr)$ である。$C$、$F$、$F'$、$C'$ はどれも直線 $y=\sqrt3x$ の上にあり、$x$ 座標は $-\frac32<0<\frac12<\frac32$ の順に並ぶ。$CF=3$、$FF'=1$、$F'C'=2$ で、和は $6=CC'$ である。等号の場合である。

ex-fer-first の三角形の角は、およそ $\angle A\approx87.0^\circ$、$\angle B\approx55.7^\circ$、$\angle C\approx37.3^\circ$ で、すべて $120^\circ$ 未満である（$\cos A=\frac{7+13-19}{2\sqrt{91}}=\frac1{2\sqrt{91}}$ など）。

1. 最小値：ex-fer-outer のとおり $AA'=BB'=CC'=6=f(F)$ である。
2. 段 6 の Ptolemy の等式：$FC'=3$、$FA+FB=1+2=3$ で一致する。
3. 段 5 の外接円：正三角形 $ABC'$ の外接円の中心は重心 $K=\frac{A+B+C'}3=\bigl(\frac12,\frac{5\sqrt3}6\bigr)$、半径の 2 乗は $KA^2=\frac14+\frac{75}{36}=\frac{84}{36}=\frac73$ である。$KF^2=\frac14+\frac{75}{36}=\frac73$ なので、$F$ はこの円の上にある。

$A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(-1,1)$ では $\angle A=135^\circ$ である。$\vec u=(1,0)$、$\vec v=\frac1{\sqrt2}(-1,1)$ で、$\lvert\vec u+\vec v\rvert^2=2+2\cdot\bigl(-\frac1{\sqrt2}\bigr)=2-\sqrt2\approx0.586\le1$ である。$f(A)=1+\sqrt2\approx2.414$ で、$f(B)=1+\sqrt5\approx3.236$、$f(C)=\sqrt2+\sqrt5\approx3.650$、重心 $G\bigl(0,\frac13\bigr)$ では $f(G)=\frac13+\frac{\sqrt{10}}3+\frac{\sqrt{13}}3\approx2.589$ である。どれも $f(A)$ より大きい。

$A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(-1,\sqrt3)$ では $AB=AC=2$、$\angle A=120^\circ$ である。prop-fer-obtuse により最小値は $f(A)=4$ である。近くの点では $f\bigl(\frac1{10},\frac1{10}\bigr)\approx4.012$、$f\bigl(\frac12,\frac12\bigr)\approx4.229$ で、たしかに大きい。この場合、頂点 $A$ そのものから $B$、$C$ への線分が $120^\circ$ をなしていて、thm-fer-main の $120^\circ$ の条件の境目にあたる。

ex-fer-first の三角形で、辺 $AB$ の正三角形を $C$ と同じ側に立てると、3 つ目の頂点は $A$ を中心に $B$ を反時計回りに $60^\circ$ 回した点 $C''=\bigl(-\frac32,-\frac{\sqrt3}2\bigr)$ である（$AC''^2=\frac{25}4+\frac34=7$、$BC''^2=\frac14+\frac{27}4=7$）。$CC''=\frac{3\sqrt3}2-\frac{\sqrt3}2=\sqrt3$ で、最小値 $6$ とは違う。lem-fer-rotation と同じ議論で $f(P)\ge CC''$ は成り立つが、等号はとれない。外した仮定：正三角形を外側に立てること。崩れる主張：$CC''$ が最小値に等しいこと。

ex-fer-first の三角形で、距離の 2 乗の和 $g(P)=PA^2+PB^2+PC^2$ を比べる。$g(F)=1+4+9=14$、重心では $g(G)=\frac{21+39+57}9=13$ で、$g$ は Fermat 点ではなく重心で最小になる（三角形の重心（高校数学） の「距離の 2 乗の和の分解」により $g(F)=g(G)+3FG^2$、$FG^2=\frac14+\frac1{12}=\frac13$）。外した仮定：距離の和を考えること。崩れる主張：最小にする点が Fermat 点であること。

正方形の頂点 $A(1,1)$、$B(-1,1)$、$C(-1,-1)$、$D(1,-1)$ について $PA+PB+PC+PD$ を最小にする。lem-fer-broken-line と同じく $PA+PC\ge AC=2\sqrt2$ で等号は $P$ が線分 $AC$ の上のとき、$PB+PD\ge BD=2\sqrt2$ で等号は $P$ が線分 $BD$ の上のときである。よって最小値は $4\sqrt2$ で、最小にする点は対角線の交点 $(0,0)$ だけである。そこで 4 本の線分は $90^\circ$ で出会い、$120^\circ$ ではない。外した仮定：点が 3 つであること。崩れる主張：線分どうしが $120^\circ$ で出会うこと。

ex-fer-first では $\vec e_A=(1,0)$、$\vec e_B=\bigl(-\frac12,\frac{\sqrt3}2\bigr)$、$\vec e_C=\bigl(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2\bigr)$ で、和は $\vec0$ である。重心 $G\bigl(-\frac12,-\frac{\sqrt3}6\bigr)$ では、$G$ から頂点へ向かう単位ベクトルは $\frac3{\sqrt{21}}\bigl(\frac32,\frac{\sqrt3}6\bigr)$、$\frac3{\sqrt{39}}\bigl(-\frac12,\frac{7\sqrt3}6\bigr)$、$\frac3{\sqrt{57}}\bigl(-1,-\frac{4\sqrt3}3\bigr)$ で、和の $x$ 成分は $\frac{4.5}{\sqrt{21}}-\frac{1.5}{\sqrt{39}}-\frac3{\sqrt{57}}\approx0.344\ne0$ である。重心では和が $\vec0$ にならない。