確率の定義と条件付き確率

同義語：有限確率空間乗法定理(確率)finite probability space

概要

高校での出発点：「同様に確からしい」

高校では、確率を次のように定める。起こりうる結果が有限個で、どの結果も同様に確からしいとき、事象 $A$ の確率は
$$ P(A)=\frac{A\text{ に含まれる結果の個数}}{\text{すべての結果の個数}} $$
である。

2 個のさいころの目の和

さいころを 2 個投げて目の和が $7$ になる確率は、目の組 $(a,b)$ の $36$ 通りのうち $(1,6),(2,5),\dots,(6,1)$ の $6$ 通りなので $\frac6{36}=\frac16$ である。

この定義は分かりやすいが、3 つの弱点がある。

1. 何が同様に確からしいかは、定義の外から決めている（ex-pcp-dalembert）。
1. 同様に確からしくない実験を扱えない（→ ex-pcp-loaded-die）。
1. 結果が無限個あると使えない（→ ex-pcp-bertrand）。

結果の書き方で変わる「同様に確からしい」

2 個のさいころを区別せず、結果を目の組 $\{a,b\}$（順序を問わない）とすると、結果は $21$ 通りになる。この $21$ 通りを同様に確からしいとすると $\{1,1\}$ の確率は $\frac1{21}$ になるが、実際のさいころでは $\frac1{36}$ である（$\{1,2\}$ は $(1,2)$ と $(2,1)$ の 2 通りから生じ、$\frac2{36}$ である）。同じ実験でも、結果の書き方によって「同様に確からしい」が成り立ったり成り立たなかったりする。18 世紀の数学者 d'Alembert は、硬貨を 2 回投げたときの表の回数 $0,1,2$ を同様に確からしいとし、それぞれに確率 $\frac13$ を割り当てたという（GS06 §1.2 の Historical Remarks、pp. 30–31）。結果を $(\text{表},\text{表}),(\text{表},\text{裏}),(\text{裏},\text{表}),(\text{裏},\text{裏})$ の 4 通りとすれば、表の回数が $0,1,2$ である確率は $\frac14,\frac12,\frac14$ であり、硬貨を実際に投げた頻度もこちらに合う。玉を区別するか・しないかで数え方が変わるという場合の数の問題が、そのまま確率の問題になっている。

弱点 (2) について。表の出る確率が $0.3$ の硬貨や、出る目に偏りのあるさいころは、そのままでは扱えない。$0.3=\frac3{10}$ なら 10 通りの架空の結果を考える工夫もできるが、表の確率が $\frac1{\sqrt2}$ のような無理数なら、どんな有限個の同様に確からしい結果の個数の比にもならない。
弱点 (3) について。「正の整数を 1 つ無作為に選ぶ」「円の弦を無作為に引く」では、分母の「すべての結果の個数」が無限大になる。
本記事では、(2) を解決し（→ prop-pcp-weights、ex-pcp-loaded-die）(1) を「モデルの選び方」の問題として切り分ける有限確率空間の公理（→ def-pcp-finite-space）を述べ、その上で条件付き確率・乗法定理・全確率の公式・Bayes の定理・独立性を定義と証明つきで展開する。(3) の無限の場合は、Bertrand の逆説（→ ex-pcp-bertrand）を例に、何が問題になるかの紹介にとどめる。
高校の計算と大学の概念は次のように対応する。

高校	大学	ボックス
同様に確からしい	一様な確率 $p(\omega)=\frac1N$	prop-pcp-weights
余事象・和事象の公式	公理から導く基本性質	prop-pcp-basic
$B$ を全体とみて数える	$P(A\cap B)/P(B)$	def-pcp-conditional
確率の乗法定理	条件付き確率の積	thm-pcp-multiplication
原因の確率	Bayes の定理	thm-pcp-bayes
独立な試行	確率空間の積	prop-pcp-product

取り出すべき構造：有限確率空間

「同様に確からしい」から取り出すべき性質は、確率が $0$ 以上であること、全体の確率が $1$ であること、互いに交わらない事象の確率は足し算になること、の 3 つである。これを定義にする。

有限確率空間

$\Omega$ を空でない有限集合とする。$\Omega$ の部分集合を事象、$\Omega$ の元を根元事象（結果）という。$\Omega$ の部分集合全体の上で定義された実数値関数 $P$ が次の 3 条件を満たすとき、組 $(\Omega,P)$ を有限確率空間、$P(A)$ を事象 $A$ の確率という。

すべての事象 $A$ について $P(A)\ge0$。
$P(\Omega)=1$。
$A\cap B=\emptyset$ ならば $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$（加法性）。

根元事象の確率 $p(\omega):=P(\{\omega\})$ を与えれば、確率はすべて決まる。

根元事象の確率による表示

$(\Omega,P)$ を有限確率空間とすると、$p(\omega):=P(\{\omega\})$ は $p(\omega)\ge0$、$\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1$ を満たし、すべての事象 $A$ について $P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)$ である。逆に、$p(\omega)\ge0$、$\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1$ を満たす関数 $p\colon\Omega\to\mathbb{R}$ が与えられると、$P(A):=\sum_{\omega\in A}p(\omega)$ は 3 条件を満たす。

1 点ずつに分ける

加法性を繰り返し使うと（帰納法）、互いに交わらない事象 $A_1,\dots,A_m$ について $P(A_1\cup\cdots\cup A_m)=P(A_1)+\cdots+P(A_m)$ である。空集合については $P(\emptyset)=P(\emptyset\cup\emptyset)=2P(\emptyset)$ から $P(\emptyset)=0$ である。$A\ne\emptyset$ は 1 点集合 $\{\omega\}$（$\omega\in A$）の互いに交わらない和なので $P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)$ であり、$A=\Omega$ として $\sum_\omega p(\omega)=1$ を得る。$p(\omega)\ge0$ は条件 1 である。逆は、項が $0$ 以上であることから条件 1、$\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1$ から条件 2、$A\cap B=\emptyset$ なら $A\cup B$ 上の和が $A$ 上の和と $B$ 上の和に分かれることから条件 3 が従う。$\square$

高校の「同様に確からしい」は、$\Omega$ が $N$ 個の元をもち、すべての $\omega$ で $p(\omega)=\frac1N$ とした特別な場合（一様な確率）で、このとき $P(A)=\frac{|A|}N$ である。

偏った硬貨とさいころ

表の確率が $0.3$ の硬貨は $\Omega=\{\text{表},\text{裏}\}$、$p(\text{表})=0.3$、$p(\text{裏})=0.7$ で表せる。6 の目が出やすいさいころを $p(6)=\frac14$、$p(1)=\cdots=p(5)=\frac3{20}$ とすると $\frac14+5\cdot\frac3{20}=1$ であり、prop-pcp-weights により偶数の目の確率は $\frac3{20}+\frac3{20}+\frac14=\frac{11}{20}$ である。

弱点 (1) については、公理は「どの $p$ が現実の実験に合うか」を決めない、という答えになる。$\Omega$ と $p$ の選び方はモデル化の問題で、2 個のさいころなら 36 通りの目の組に一様な確率を置くのが実験とよく合う。
高校で使う計算規則は、公理から導かれる。

確率の基本性質

有限確率空間の事象 $A,B$ について、次が成り立つ。$A^c:=\Omega\setminus A$ は $A$ の補事象である。

$P(\emptyset)=0$、$P(A^c)=1-P(A)$。
$A\subset B$ ならば $P(A)\le P(B)$。特に $0\le P(A)\le1$。
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。

互いに交わらない事象に分ける

$P(\emptyset)=0$ は prop-pcp-weights の証明の中で示した。$A$ と $A^c$ は交わらず和が $\Omega$ なので $P(A)+P(A^c)=1$ である。2. $B=A\cup(B\setminus A)$ は交わらない和なので $P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\ge P(A)$ である。$B=\Omega$ として $P(A)\le1$ を得る。3. $A\cup B=A\cup(B\setminus A)$、$B=(A\cap B)\cup(B\setminus A)$ はどちらも交わらない和なので、$P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ である。$\square$

事象の包含・補集合と de Morgan の法則は集合と論理：必要条件・十分条件で扱う。

条件付き確率と乗法定理

高校では、「$B$ が起こったときに $A$ が起こる確率」を、$B$ を新しい全体とみて $\frac{|A\cap B|}{|B|}$ と計算する。分母・分子を $|\Omega|$ で割れば $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ であり、この形なら一様でない確率にも使える。

条件付き確率の定義

有限確率空間 $(\Omega,P)$ の事象 $A,B$ について、$P(B)>0$ のとき
$$ P(A\mid B):=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} $$
を、$B$ が起こったという条件のもとでの $A$ の条件付き確率という。$P(B)=0$ のときは定義しない。

一様な確率では $P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}$ となり、高校の計算と一致する。条件付き確率は、「$B$ の外の結果の確率を $0$ にし、$B$ の中の結果の確率を、比を保ったまま合計 $1$ になるよう拡大する」操作である。実際、$\omega\in B$ なら $P(\{\omega\}\mid B)=\frac{p(\omega)}{P(B)}$、$\omega\notin B$ なら $0$ である。

目の和が 7 と分かったとき

2 個のさいころで、$B$ を「目の和が $7$」、$A$ を「少なくとも一方が $1$」とする。$A\cap B=\{(1,6),(6,1)\}$ なので $P(A\mid B)=\frac{2/36}{6/36}=\frac13$ である。条件をつけない $P(A)=\frac{11}{36}$ とは異なる。

条件付き確率は確率である

$P(B)>0$ のとき、$A\mapsto P(A\mid B)$ は $\Omega$ 上の確率（def-pcp-finite-space の 3 条件を満たす関数）である。

公理を確かめる

$P(A\cap B)\ge0$ なので $P(A\mid B)\ge0$ である。$P(\Omega\mid B)=\frac{P(B)}{P(B)}=1$ である。$A_1\cap A_2=\emptyset$ なら $A_1\cap B$ と $A_2\cap B$ も交わらず、$(A_1\cup A_2)\cap B=(A_1\cap B)\cup(A_2\cap B)$ なので、$P(A_1\cup A_2\mid B)=\frac{P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)}{P(B)}=P(A_1\mid B)+P(A_2\mid B)$ である。$\square$

したがって prop-pcp-basic の性質は条件付き確率にもそのまま使える。例えば $P(A^c\mid B)=1-P(A\mid B)$ である。
定義の分母を払うと、積の確率を条件付き確率の積として計算する規則が得られる。

乗法定理

事象 $A_1,\dots,A_m$（$m\ge2$）について $P(A_1\cap\cdots\cap A_{m-1})>0$ ならば
$$ P(A_1\cap\cdots\cap A_m)=P(A_1)\,P(A_2\mid A_1)\,P(A_3\mid A_1\cap A_2)\cdots P(A_m\mid A_1\cap\cdots\cap A_{m-1}) $$
である。特に $P(A)>0$ なら $P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)$ である。

定義を繰り返す

$A_1\supset A_1\cap A_2\supset\cdots\supset A_1\cap\cdots\cap A_{m-1}$ なので、prop-pcp-basic の 2 により、右辺に現れる条件の事象の確率はすべて $P(A_1\cap\cdots\cap A_{m-1})$ 以上で正であり、右辺は定義される。$m=2$ では $P(A_2\mid A_1)=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}$ の分母を払えばよい。$m-1$ 個で成り立つとすると、$C:=A_1\cap\cdots\cap A_{m-1}$ として $P(C\cap A_m)=P(C)\,P(A_m\mid C)$ であり、$P(C)$ に帰納法の仮定を使えば $m$ 個の場合を得る。$\square$

取り出した玉を戻さない

赤玉 3 個と白玉 2 個の入った袋から、戻さずに 1 個ずつ 2 回取り出す。$R_i$ を「$i$ 回目が赤」とすると、1 回目に赤を取り出した後の袋は赤 2 個・白 2 個なので $P(R_2\mid R_1)=\frac24$ であり、thm-pcp-multiplication により $P(R_1\cap R_2)=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}$ である。これは、5 個から 2 個を選ぶ $\binom52=10$ 通りのうち 2 個とも赤の $\binom32=3$ 通りという数え方と一致する。ここで「$P(R_2\mid R_1)=\frac24$」は袋の中身から判断したモデル化であり、これと $P(R_1)=\frac35$ を合わせて確率空間を作っている。

全確率の公式と Bayes の定理

$\Omega$ を互いに交わらない事象 $B_1,\dots,B_m$ の和に分けたものを、$\Omega$ の分割という。「原因」$B_i$ ごとに結果 $A$ の起こりやすさが分かっているとき、$A$ の確率と、$A$ が起こったときの原因の確率を求める。

分割による全確率の公式

$B_1,\dots,B_m$ を $\Omega$ の分割で、すべての $i$ で $P(B_i)>0$ とする。すべての事象 $A$ について
$$ P(A)=\sum_{i=1}^mP(A\mid B_i)\,P(B_i) $$
である。

A を分割に沿って分ける

$A=(A\cap B_1)\cup\cdots\cup(A\cap B_m)$ は互いに交わらない和なので、加法性により $P(A)=\sum_iP(A\cap B_i)$ である。thm-pcp-multiplication により $P(A\cap B_i)=P(B_i)\,P(A\mid B_i)$ である。$\square$

Bayes の定理（事後確率の公式）

$B_1,\dots,B_m$ を $\Omega$ の分割で、すべての $i$ で $P(B_i)>0$ とし、$P(A)>0$ とする。各 $k$ について
$$ P(B_k\mid A)=\frac{P(A\mid B_k)\,P(B_k)}{\sum_{i=1}^mP(A\mid B_i)\,P(B_i)} $$
である。

積を 2 通りに書く

thm-pcp-multiplication により $P(A\cap B_k)=P(A)\,P(B_k\mid A)=P(B_k)\,P(A\mid B_k)$ である。$P(A)>0$ で割ると $P(B_k\mid A)=\frac{P(A\mid B_k)P(B_k)}{P(A)}$ であり、分母に thm-pcp-total-probability を代入すればよい。$\square$

$P(B_k)$ を事前確率、$P(B_k\mid A)$ を事後確率という。Bayes の定理は「$A$ を観測したことで、原因 $B_k$ の確率が $P(B_k)$ から $P(B_k\mid A)$ へ更新される」ことを表す。更新の倍率は $\frac{P(A\mid B_k)}{P(A)}$ である。

検査の偽陽性

ある病気にかかっている人の割合が $1\%$ の集団で、検査を行う。病気の人が陽性になる確率は $90\%$、病気でない人が誤って陽性になる確率（偽陽性の確率）は $5\%$ とする。$D$ を「病気である」、$T$ を「陽性」とすると、$P(D)=0.01$、$P(T\mid D)=0.9$、$P(T\mid D^c)=0.05$ である。$D,D^c$ は $\Omega$ の分割なので、thm-pcp-total-probability により
$$ P(T)=0.9\times0.01+0.05\times0.99=0.009+0.0495=0.0585 $$
であり、thm-pcp-bayes により
$$ P(D\mid T)=\frac{0.009}{0.0585}=\frac2{13}=0.1538\ldots $$
である。陽性でも、病気である確率は約 $15\%$ にすぎない。
人数で言い直すと分かりやすい。$10000$ 人のうち病気の人は $100$ 人で、そのうち $90$ 人が陽性になる。病気でない $9900$ 人のうち $495$ 人も陽性になる。陽性の $585$ 人のうち病気の人は $90$ 人で、$\frac{90}{585}=\frac2{13}$ である。病気でない人が圧倒的に多いので、偽陽性の確率が $5\%$ と小さくても、陽性者の大半は病気でない人になる。
同じ検査で、病気の人の割合が $10\%$ の集団なら $P(D\mid T)=\frac{0.09}{0.09+0.045}=\frac23$ となる。事後確率は、検査の精度だけでなく事前確率にも大きく依存する。

反例：条件と結果を入れ替える

ex-pcp-false-positive では $P(T\mid D)=0.9$ だが $P(D\mid T)=\frac2{13}$ である。「$P(T\mid D)$ が大きいので $P(D\mid T)$ も大きい」という推論は正しくない。thm-pcp-bayes の $m=2$ の場合から $P(D\mid T)=P(T\mid D)\cdot\frac{P(D)}{P(T)}$ であり、両者が等しいのは $P(D)=P(T)$ のとき（または $P(T\mid D)=0$ のとき）に限る。ここでは $P(D)=0.01\ne0.0585=P(T)$ なので、両者は一致しない。

独立性

「$B$ が起こったと知っても $A$ の確率が変わらない」ことを、$P(A\mid B)=P(A)$ と書きたい。しかしこれは $P(B)>0$ のときしか意味をもたず、$A$ と $B$ について対称な形でもない。分母を払った形を定義に採る。

事象の独立性

有限確率空間の事象 $A,B$ が
$$ P(A\cap B)=P(A)\,P(B) $$
を満たすとき、$A$ と $B$ は独立であるという。事象 $A_1,\dots,A_m$ が互いに独立であるとは、$\{1,\dots,m\}$ の 2 個以上の元からなるすべての部分集合 $I$ について
$$ P\Bigl(\bigcap_{i\in I}A_i\Bigr)=\prod_{i\in I}P(A_i) $$
が成り立つことをいう。$|I|=2$ のすべての $I$ について等式が成り立つとき、$A_1,\dots,A_m$ は 2 つずつ独立であるという（互いに独立なら 2 つずつ独立である）。

1 個のさいころの独立な事象

さいころを 1 回投げ、$A=\{2,4,6\}$、$B=\{1,2,3,4\}$ とする。$P(A\cap B)=P(\{2,4\})=\frac13=\frac12\cdot\frac23=P(A)P(B)$ なので、$A$ と $B$ は独立である。独立性は「別々の試行」でなくても成り立ちうる。

独立性と条件付き確率

$P(B)>0$ のとき、$A$ と $B$ が独立であることと $P(A\mid B)=P(A)$ は同値である。また、$A$ と $B$ が独立なら $A$ と $B^c$ も独立である。

定義の書き換えと補事象

$P(A\mid B)=P(A)$ の両辺に $P(B)>0$ を掛けると $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ になり、逆も同様である。後半は、$A$ が $A\cap B$ と $A\cap B^c$ の交わらない和であることから
$$ P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\bigl(1-P(B)\bigr)=P(A)P(B^c) $$
となることによる。$\square$

高校では「独立な試行」の確率を積で計算する。これは確率空間の積として正当化される。

独立な試行

有限確率空間 $(\Omega_1,P_1)$、$(\Omega_2,P_2)$ の根元事象の確率を $p_1,p_2$ とする。$\Omega:=\Omega_1\times\Omega_2$ 上に $p(\omega_1,\omega_2):=p_1(\omega_1)\,p_2(\omega_2)$ と定めると $(\Omega,P)$ は有限確率空間であり、事象 $A_1\subset\Omega_1$、$A_2\subset\Omega_2$ について、事象 $A_1\times\Omega_2$（1 回目の結果が $A_1$ に入る）と $\Omega_1\times A_2$（2 回目の結果が $A_2$ に入る）は独立で、$P(A_1\times A_2)=P_1(A_1)\,P_2(A_2)$ である。

和を分ける

$p\ge0$ であり、$\sum_{(\omega_1,\omega_2)}p_1(\omega_1)p_2(\omega_2)=\bigl(\sum_{\omega_1}p_1(\omega_1)\bigr)\bigl(\sum_{\omega_2}p_2(\omega_2)\bigr)=1$ なので、prop-pcp-weights により $(\Omega,P)$ は有限確率空間である。同じ分け方で $P(A_1\times A_2)=\sum_{\omega_1\in A_1}\sum_{\omega_2\in A_2}p_1(\omega_1)p_2(\omega_2)=P_1(A_1)P_2(A_2)$ である。$A_2=\Omega_2$ とすると $P(A_1\times\Omega_2)=P_1(A_1)$、$A_1=\Omega_1$ とすると $P(\Omega_1\times A_2)=P_2(A_2)$ であり、2 つの事象の共通部分は $A_1\times A_2$ なので、独立性の等式が成り立つ。$\square$

2 個のさいころの 36 通りの一様な確率は、1 個のさいころの一様な確率 2 つの積である。3 個以上の試行でも同様に積を作ると、各回の結果についての事象は互いに独立になる。
独立な試行の平均が期待値に近づく大数の法則は大数の法則とさいころの平均で扱う。

反例

外した仮定	崩れる主張	ボックス
$P(D)=P(T)$	$P(T\mid D)=P(D\mid T)$	ex-pcp-inverse-fallacy
互いに独立（2 つずつ独立だけ）	3 つの積の等式	ex-pcp-pairwise-not-mutual
2 つずつの等式（3 つの積の等式だけ）	2 つずつの独立	ex-pcp-triple-only
独立（排反なだけ）	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	ex-pcp-disjoint

反例：2 つずつ独立だが互いに独立でない

公平な硬貨を 2 回投げ、4 通りの結果に一様な確率を置く。$A$ を「1 回目が表」、$B$ を「2 回目が表」、$C$ を「2 回の結果が同じ」とする。$P(A)=P(B)=P(C)=\frac12$ であり、
$$ P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=P(\{(\text{表},\text{表})\})=\frac14 $$
なので、3 つの事象は 2 つずつ独立である。しかし $P(A\cap B\cap C)=\frac14\ne\frac18=P(A)P(B)P(C)$ なので、互いに独立ではない。実際、$A$ と $B$ が両方起これば $C$ は必ず起こり、$P(C\mid A\cap B)=1\ne\frac12=P(C)$ である。「2 つずつ独立ならば互いに独立」という含意は成り立たない。

反例：3 つの積の等式だけでは独立にならない

$\Omega=\{1,2,\dots,8\}$ に一様な確率を置き、$A=B=\{1,2,3,4\}$、$C=\{1,5,6,7\}$ とする。$P(A\cap B\cap C)=P(\{1\})=\frac18=P(A)P(B)P(C)$ だが、$P(A\cap B)=\frac12\ne\frac14$、$P(A\cap C)=P(\{1\})=\frac18\ne\frac14$ なので、どの 2 つも独立でない。互いに独立の定義で、すべての部分集合 $I$ について等式を要求するのはこのためである。

反例：排反な事象は独立でない

さいころを 1 回投げ、$A$ を「1 の目」、$B$ を「2 の目」とする。$A\cap B=\emptyset$（排反）なので $P(A\cap B)=0\ne\frac1{36}=P(A)P(B)$ であり、$A$ と $B$ は独立でない。$A$ が起これば $B$ は決して起こらないので、$A$ が起こったことは $B$ について強い情報を与える。一般に $P(A)>0$、$P(B)>0$ の排反な事象は独立でない。「排反」と「独立」は別の概念である。

無限の場合：何が問題になるか（紹介）

結果が無限個ある場合は、本記事の有限確率空間の範囲を超える。ここでは問題点を 2 つ紹介するにとどめ、一般論には立ち入らない。

正の整数を一様に選ぶことはできない（可算加法性のもとで）

加法性を、互いに交わらない可算無限個の事象の和にまで拡げた性質（可算加法性）を要求するとする。正の整数全体に、どの整数も同じ確率 $c$ で選ばれる確率があったとすると、$1=P(\{1,2,3,\dots\})=c+c+c+\cdots$ となるが、右辺は $c=0$ なら $0$、$c>0$ なら発散して $1$ にならない（GS06 §1.2 の Exercise 20、p. 37）。「無作為に選んだ整数が偶数である確率は $\frac12$」のような言い方は、$1$ から $N$ までの一様な確率での値の $N\to\infty$ での極限（自然密度）として理解する必要がある。

Bertrand の逆説

無作為な弦の 3 通りの確率

半径 $1$ の円に弦を無作為に引くとき、弦の長さが内接正三角形の 1 辺 $\sqrt3$ より長い確率を求める。「無作為に」の意味の取り方で答が変わる（GS06 §2.1 の Example 2.6、pp. 47–49。問題は Bertrand の 1889 年の著書による）。

弦の両端を円周上に独立に一様に選ぶ。一方の端を固定し、2 つの端が中心に対してなす角を $\theta\in[0,2\pi)$ とすると、弦の長さは $2\sin\frac\theta2$ であり、$\sqrt3$ より長いのは $\frac{2\pi}3<\theta<\frac{4\pi}3$ のときである。確率は $\frac{2\pi/3}{2\pi}=\frac13$。
中心から弦までの距離 $d$ を $[0,1]$ から一様に選ぶ（向きは問わない）。弦の長さは $2\sqrt{1-d^2}$ で、$\sqrt3$ より長いのは $d<\frac12$ のときである。確率は $\frac12$。
弦の中点を円の内部から一様に選ぶ。長さが $\sqrt3$ より長いのは中点が半径 $\frac12$ の同心円の内部にあるときで、確率は面積比 $\frac{\pi/4}{\pi}=\frac14$。
計算機で 3 つの方法を $40$ 万回ずつ試すと、長い弦の割合はそれぞれ $0.333$、$0.499$、$0.251$ 程度になり、$\frac13,\frac12,\frac14$ に近い値が得られる。

3 つの計算はどれも正しい。違うのは確率空間（何を一様に選ぶか）であり、「無作為な弦」という言葉だけでは確率空間が 1 つに決まらない。有限の場合の弱点 (1) が、無限の場合にはさらに深刻な形で現れる。区間や円板の上の一様な確率を定義するには、長さや面積を一般の集合に拡げる必要があり、そのためにすべての部分集合ではなく特定の部分集合の族（$\sigma$-加法族）の上で確率を定める。これが測度論にもとづく一般の確率空間である。

さらに先へ

一般の確率空間：標本空間 $\Omega$、事象の族 $\mathcal{F}$（$\sigma$-加法族）、可算加法的な確率 $P$ の組 $(\Omega,\mathcal{F},P)$。本記事の 3 条件は、$\Omega$ が有限で $\mathcal{F}$ がすべての部分集合からなる場合にあたる（確率空間、測度論）。
確率 $0$ の事象での条件付け：連続な確率では、$P(B)=0$ の事象 $B$ で条件をつけたい場面（「弦の中点がこの直線上にあるとき」など）が現れる。これは条件付き期待値の理論で扱われる。素朴に計算すると、確率 $0$ の事象への近づけ方によって答が変わることがある（本記事では扱わず、証明もしない）。
Bayes 統計：事前確率を観測によって事後確率へ更新する thm-pcp-bayes を推論の原理とする統計学の流儀。
確率変数と独立性：事象の独立性は、確率変数の独立性、大数の法則・中心極限定理の前提になる。
条件付き確率・独立性・Bayes の公式は GS06 §4.1（条件付き確率の定義は p. 134、独立性の Definition 4.1・4.2 は pp. 139・141、Bayes の公式は p. 146、検査の例 Example 4.17 は p. 147）、2 つずつ独立だが互いに独立でない例と 3 つの積の等式だけが成り立つ例は同節の Exercise 7・8（p. 151）、有限の場合の公理にあたる性質は §1.2 の Definition 1.2 と Theorem 1.1（pp. 19・22）にある。