Jensenの公式

級数による計算．$\lvert u\rvert\le\rho<1$ では $\log\lvert1-u\rvert=\operatorname{Re}\log(1-u)=-\operatorname{Re}\sum_{m\ge1}u^m/m$ であり、級数は一様に収束する。$\lvert w\rvert<1$ について $u=we^{\pm i\theta}$ を代入して項ごとに積分すると、$m\ge1$ では $\int_0^{2\pi}e^{\pm im\theta}d\theta=0$ なので
$$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert1-we^{\pm i\theta}\rvert\,d\theta=0\qquad(\lvert w\rvert<1) $$
である。
$\lvert a\rvert< r$ の場合．$\lvert re^{i\theta}-a\rvert=r\lvert1-(a/r)e^{-i\theta}\rvert$ なので、平均は $\log r$ である。
$\lvert a\rvert>r$ の場合．$\lvert re^{i\theta}-a\rvert=\lvert a\rvert\lvert1-(r/a)e^{i\theta}\rvert$ なので、平均は $\log\lvert a\rvert$ である。
$\lvert a\rvert=r$ の場合．$a=re^{i\varphi}$ とすると $\lvert re^{i\theta}-a\rvert=r\lvert1-e^{i(\varphi-\theta)}\rvert$ で、周期性から $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert1-e^{it}\rvert\,dt=0$ を示せばよい。$\frac12\le\rho<1$ とすると、$\lvert1-\rho e^{it}\rvert\le2$ であり、虚部を見て $\lvert1-\rho e^{it}\rvert\ge\rho\lvert\sin t\rvert\ge\frac12\lvert\sin t\rvert$ なので
$$ \bigl\lvert\log\lvert1-\rho e^{it}\rvert\bigr\rvert\le\log2+\bigl\lvert\log\lvert\sin t\rvert\bigr\rvert $$
である。右辺は $[0,2\pi]$ で可積分である（$\lvert\sin t\rvert$ は $t=0,\pi,2\pi$ の近くで $\frac2\pi\lvert t-t_0\rvert$ 以上で、$\log\lvert t-t_0\rvert$ は可積分）。$t\ne0,2\pi$ では $\rho\to1$ で $\log\lvert1-\rho e^{it}\rvert\to\log\lvert1-e^{it}\rvert$ なので、優収束定理 により平均は $\lim_{\rho\to1}0=0$ である。同じ評価から $\log\lvert1-e^{it}\rvert$ は可積分である。$\square$

$q(w):=g(Rw)/g(0)$ は単位円板上の正則関数で、零点をもたず $q(0)=1$ である。Koebeの1/4定理 の記事の補題「零をとらない正則関数の対数と平方根」により、単位円板上の正則関数 $L$ で $e^L=q$ となるものがある。$e^{\ell}=g(0)$ となる複素数 $\ell$ を 1 つとり、$h(z):=L(z/R)+\ell$ とおくと、$h$ は $D_R$ 上で正則で $e^h=g$ であり、$\log\lvert g\rvert=\operatorname{Re}h$ である。Cauchyの積分公式 の記事の系「平均値の性質」を $h$ と閉円板 $\overline{D_r}\subset D_R$ に当てると $h(0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}h(re^{i\theta})\,d\theta$ であり、両辺の実部をとると主張を得る。$\square$

$\overline{D_r}$ の近くの零点・極は有限個なので、$R>r$ を、$r<\lvert z\rvert< R$ に零点も極もなく、$f$ が $D_R$ を含む開集合で有理型であるようにとれる。
$$ g(z):=f(z)\,z^{-k}\,\frac{\prod_{j=1}^q(z-b_j)}{\prod_{i=1}^p(z-a_i)} $$
とおく。$g$ の $0$ と $a_i$、$b_j$ での特異点は、Laurent 展開の最初の項を見ると除去可能で（零点の位数 の記事の命題「因数分解による特徴づけ」）、除去したあとの $g$ は $D_R$ 上の正則関数で零点をもたない。$0$ での値は
$$ g(0)=c_f\,\frac{\prod_j(-b_j)}{\prod_i(-a_i)},\qquad\log\lvert g(0)\rvert=\log\lvert c_f\rvert+\sum_{j=1}^q\log\lvert b_j\rvert-\sum_{i=1}^p\log\lvert a_i\rvert $$
である。円周 $C_r$ の上で $f$ の零点・極でない点（有限個を除くすべての点）では
$$ \log\lvert f(z)\rvert=k\log r+\sum_{i=1}^p\log\lvert z-a_i\rvert-\sum_{j=1}^q\log\lvert z-b_j\rvert+\log\lvert g(z)\rvert $$
である。右辺の各項は可積分なので左辺も可積分で、平均は項ごとに求まる。$\lvert a_i\rvert,\lvert b_j\rvert\le r$ なので、lem-jf-linear により $\log\lvert z-a_i\rvert$ と $\log\lvert z-b_j\rvert$ の平均はどれも $\log r$ であり、lem-jf-zero-free により $\log\lvert g\rvert$ の平均は $\log\lvert g(0)\rvert$ である。合わせると
$$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert f(re^{i\theta})\rvert\,d\theta=k\log r+(p-q)\log r+\log\lvert c_f\rvert+\sum_j\log\lvert b_j\rvert-\sum_i\log\lvert a_i\rvert $$
で、これは主張の右辺に等しい。$f(0)\ne0,\infty$ なら $k=0$、$c_f=f(0)$ で、2 つ目の式は 1 つ目の書き直しである。$\square$

$f$ は極をもたないので $q=0$ である。$f(0)\ne0$ なら、thm-jf-main の 2 つ目の式で $\sum_i\log(r/\lvert a_i\rvert)\ge0$ であり、等号は $D_r$ の中の零点（$\lvert a_i\rvert< r$）がないことと同値である。$f(0)=0$ なら左辺は $-\infty$ で、右辺は有限なので不等号は真であり、$0$ が $D_r$ の零点なので等号の条件とも合う。$\square$

$D_r$ の零点を $a_1,\dots,a_N$ とする。$\log(r/\lvert a_i\rvert)=\int_{\lvert a_i\rvert}^rdt/t$ であり、$\mathbf{1}_i(t)$ を $t>\lvert a_i\rvert$ で $1$、それ以外で $0$ とすると $n(t)=\sum_i\mathbf{1}_i(t)$ なので、$\sum_i\log(r/\lvert a_i\rvert)=\int_0^r\sum_i\mathbf{1}_i(t)\,dt/t=\int_0^rn(t)\,dt/t$ である。thm-jf-main の 2 つ目の式に代入すればよい。$\square$

$n(t)$ は単調に増えるので $\int_0^{2r}n(t)\,dt/t\ge\int_r^{2r}n(t)\,dt/t\ge n(r)\log2$ である。一方、cor-jf-counting-function の左辺（半径 $2r$）は、$\log\lvert f\rvert\le\log M(2r)$ を平均して $\log M(2r)-\log\lvert f(0)\rvert$ 以下である。後半は $C:=2^\lambda A/\log2+1$ とすればよい（$r$ が大きいとき $-\log\lvert f(0)\rvert/\log 2\le r^\lambda$）。$\square$