順位相関係数（高校数学）

同義語：Spearmanの順位相関係数（高校数学）rank correlation coefficient (high school mathematics)

概要

前提知識: 相関係数（高校数学）, 数列の和と差分

高校での出発点：2 人の審査員の順位

5 人の演技を 2 人の審査員が見て、それぞれ 1 位から 5 位まで順位をつけた。点数ではなく順位しかないとき、2 人の評価がどのくらい似ているかを、1 つの数で表したい。
高校では、2 つの変量 $x,y$ の関係の強さを 相関係数 で表すことを学ぶ。$n$ 組のデータ $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ の平均を $\bar x,\bar y$、標準偏差を $s_x,s_y$ とし、共分散を $s_{xy}=\dfrac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ とすると、相関係数は $r=\dfrac{s_{xy}}{s_xs_y}$ である（$s_x>0$、$s_y>0$ のとき。相関係数（高校数学））。分散と標準偏差は、偏差の 2 乗の平均（個数 $n$ で割る）で定める。
順位も数なので、順位をそのまま変量とみて相関係数を計算できる。

2 人の審査員の順位の相関係数

演技 1〜5 に、審査員 1 は順位 $r=(1,2,3,4,5)$、審査員 2 は順位 $s=(2,1,4,3,5)$ をつけた。
(1) 平均はどちらも $\dfrac{1+2+3+4+5}5=3$ である。偏差は、審査員 1 が $-2,-1,0,1,2$、審査員 2 が $-1,-2,1,0,2$ である。
(2) 分散はどちらも $\dfrac{4+1+0+1+4}5=2$ である（審査員 2 の偏差の 2 乗も $1,4,1,0,4$ で、和は $10$）。
(3) 偏差の積は $2,2,0,0,4$ で、共分散は $\dfrac{2+2+0+0+4}5=\dfrac85$ である。
(4) 相関係数は $\dfrac{8/5}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac{8/5}2=\dfrac45=0.8$ である。
同じ値を、もっと簡単に求める方法がある。各演技の順位の差 $d=r-s$ は $-1,1,-1,1,0$ で、その 2 乗の和は $\sum d^2=4$ である。これを
$$ 1-\frac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot4}{5\cdot24}=1-\frac{24}{120}=0.8 $$
に入れると、同じ $0.8$ が出る。

順位の差の 2 乗の和だけで相関係数が求まるのは偶然ではない。順位はどれも $1,2,\dots,n$ の並べ替えなので、平均と分散が $n$ だけで決まるからである。もう 1 つ、もとの値で計算した相関係数と、順位に直して計算した相関係数が大きく違う例を見ておく。

指数関数のデータ

$x=1,2,3,4,5$ と $y=e^x$ の 5 組を考える。$y$ の値は $2.72,\ 7.39,\ 20.09,\ 54.60,\ 148.41$（小数第 3 位を四捨五入）である。
(1) もとの値の相関係数を計算すると $r=0.886\ldots$ である（計算機で計算した）。$y$ は $x$ が増えると必ず増えるのに、$r$ は $1$ にならない。相関係数は直線的な関係の強さを測るので、曲がった関係では $1$ より小さくなる。
(2) 順位に直すと、$x$ の順位も $y$ の順位も $1,2,3,4,5$ で、完全に一致する。順位の相関係数は、ex-rnk-judges と同じ計算で $\sum d^2=0$ から $1-0=1$ である。

この記事では次の問いに答える。

順位の相関係数は、順位の差 $d$ だけでどう表せるか。→ thm-rnk-formula
その値はどの範囲にあり、端の値 $1$、$-1$ になるのはどんなときか。→ thm-rnk-range
相関係数と比べて、どんな関係を捉え、どんな関係を捉えないか。→ cor-rnk-monotone、ex-rnk-outlier、ex-rnk-cx-nonmonotone

同じ値（同じ順位）があるときはどうなるか。→ ex-rnk-cx-ties

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
相関係数 $r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}$	順位に直して計算した相関係数 $\rho$	Spearman の順位相関係数
$\sum k=\frac{n(n+1)}2$、$\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$	順位の平均 $\frac{n+1}2$、分散 $\frac{n^2-1}{12}$	並べ替えの不変量
増加関数で値を変換する	順位は変わらない	単調変換で不変な統計量
外れ値に引っぱられる平均	外れ値の影響が小さい	頑健な指標

順位と順位相関係数

順位

$n$ 個の値 $x_1,\dots,x_n$ がすべて異なるとする。小さい順に並べたとき $x_i$ が $k$ 番目にくるならば、$x_i$ の順位を $k$ と定める。このとき $x_1,\dots,x_n$ の順位は、$1,2,\dots,n$ を 1 回ずつ並べ替えたものになる。

値がすべて異なるという仮定は、順位がちょうど $1,\dots,n$ の並べ替えになるために置いている。同じ値があるときの扱いは、例と反例の節で述べる（ex-rnk-cx-ties）。審査員の順位のように「大きい方（よい方）から 1 位」と数える場合もある。2 つの変量で数える向きをそろえれば、以下の結果は変わらない（rem-rnk-direction）。

順位相関係数

$n\ge2$ とし、$n$ 組のデータ $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ で、$x_1,\dots,x_n$ がすべて異なり、$y_1,\dots,y_n$ もすべて異なるとする。$x_i$ の順位を $r_i$、$y_i$ の順位を $s_i$ とする。$n$ 組の順位 $(r_1,s_1),\dots,(r_n,s_n)$ の相関係数を、データの 順位相関係数 といい、$\rho$ で表す。

$\rho$ はギリシャ文字のロー（$r$ にあたる文字）である。$n\ge2$ なら順位は少なくとも 2 種類の値をとるので、順位の標準偏差は正で、相関係数が定義できる。

数学と英語の得点

5 人の数学と英語の得点が次のとおりだった。

生徒	A	B	C	D	E
数学 $x$	$72$	$58$	$90$	$65$	$81$
英語 $y$	$68$	$70$	$95$	$60$	$77$
数学の順位 $r$	$3$	$1$	$5$	$2$	$4$
英語の順位 $s$	$2$	$3$	$5$	$1$	$4$
$d=r-s$	$1$	$-2$	$0$	$1$	$0$

数学の得点を小さい順に並べると $58,65,72,81,90$ なので、B が 1、D が 2、A が 3、E が 4、C が 5 である。英語も同じように順位をつけた。$\sum d^2=1+4+0+1+0=6$ である。次の節の thm-rnk-formula を使うと $\rho=1-\dfrac{6\cdot6}{5\cdot24}=1-\dfrac{36}{120}=0.7$ になる。もとの得点の相関係数は $r=0.834\ldots$ である（計算機で計算した）。

順位の平均と分散

順位相関係数の式を導く鍵は、順位の平均と分散が $n$ だけで決まることである。そのために、高校の数学 B で学ぶ和の公式を使う。
$$ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2,\qquad\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 $$
2 つ目の公式の導き方は次のとおりである。

$\sum k^2$ の公式の導き方を開く

恒等式 $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ を $k=1,\dots,n$ について足す。左辺は隣どうしが打ち消し合って $(n+1)^3-1$ になる。右辺は $3\sum k^2+3\cdot\dfrac{n(n+1)}2+n$ である。よって $3\sum k^2=(n+1)^3-1-\dfrac{3n(n+1)}2-n=\dfrac{(n+1)\bigl(2(n+1)^2-3n-2\bigr)}{2}=\dfrac{(n+1)(2n^2+n)}{2}$ で、$\sum k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$ である。

一般の $\sum k^m$ の公式は数列の和と差分の定理「べき和の公式」で扱う。

順位の平均と分散

$r_1,\dots,r_n$ が $1,2,\dots,n$ の並べ替えならば、その平均は $\dfrac{n+1}2$、分散は $\dfrac{n^2-1}{12}$ である。

段 1（並べ替えても和は変わらない）。$r_1,\dots,r_n$ は $1,\dots,n$ を 1 回ずつ並べたものなので、$\sum_ir_i=\sum_{k=1}^nk$、$\sum_ir_i^2=\sum_{k=1}^nk^2$ である。
段 2（平均）。平均は $\dfrac1n\cdot\dfrac{n(n+1)}2=\dfrac{n+1}2$ である。
段 3（分散）。分散の公式「2 乗の平均 − 平均の 2 乗」（平均値と二乗誤差の系「分散の公式」）を使う。2 乗の平均は $\dfrac1n\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6=\dfrac{(n+1)(2n+1)}6$ なので、分散は
$$ \frac{(n+1)(2n+1)}6-\frac{(n+1)^2}4=\frac{(n+1)\bigl(2(2n+1)-3(n+1)\bigr)}{12}=\frac{(n+1)(n-1)}{12}=\frac{n^2-1}{12} $$
である。$\square$

$n=5$ と $n=4$

$n=5$：平均 $\dfrac62=3$、分散 $\dfrac{24}{12}=2$。ex-rnk-judges で直接計算した値と一致する。
$n=4$：順位 $1,2,3,4$ の平均は $\dfrac{10}4=\dfrac52$、偏差は $-\dfrac32,-\dfrac12,\dfrac12,\dfrac32$ で、分散は $\dfrac{\frac94+\frac14+\frac14+\frac94}{4}=\dfrac{5}{4}$ である。補題の式でも $\dfrac{16-1}{12}=\dfrac{15}{12}=\dfrac54$ である。

主定理 1：順位の差による式

順位相関係数の式

def-rnk-rho の記号で、$d_i=r_i-s_i$ とおくと
$$ \rho=1-\frac{6\sum_{i=1}^nd_i^2}{n(n^2-1)} $$
が成り立つ。

方針：相関係数 $\rho=\dfrac{s_{rs}}{s_rs_s}$ の分母は lem-rnk-mean-var で $n$ だけの式になる。分子の共分散 $s_{rs}$ を、$\sum d_i^2$ を展開した式から求める。
段 1（分母）。$r_1,\dots,r_n$ も $s_1,\dots,s_n$ も $1,\dots,n$ の並べ替えなので、lem-rnk-mean-var より平均はどちらも $m=\dfrac{n+1}2$、分散はどちらも $v=\dfrac{n^2-1}{12}$ である。$n\ge2$ なので $v>0$ で、$s_rs_s=\sqrt v\cdot\sqrt v=v$ である。
段 2（共分散を積の和で書く）。偏差の積を展開すると $(r_i-m)(s_i-m)=r_is_i-m(r_i+s_i)+m^2$ である。$i$ について足して $n$ で割ると、$\sum r_i=\sum s_i=nm$ なので
$$ s_{rs}=\frac1n\sum_{i=1}^nr_is_i-m\cdot\frac{nm+nm}{n}+m^2=\frac1n\sum_{i=1}^nr_is_i-m^2 $$
である。
段 3（積の和を $\sum d_i^2$ で書く）。$d_i^2=(r_i-s_i)^2=r_i^2+s_i^2-2r_is_i$ を $i$ について足す。$\sum r_i^2=\sum s_i^2=\sum_{k=1}^nk^2$（段 1 と同じく並べ替えだから）なので
$$ \sum_{i=1}^nd_i^2=2\sum_{k=1}^nk^2-2\sum_{i=1}^nr_is_i,\qquad\text{すなわち}\qquad\sum_{i=1}^nr_is_i=\sum_{k=1}^nk^2-\frac12\sum_{i=1}^nd_i^2 $$
である。
段 4（共分散を求める）。段 3 を段 2 に代入すると
$$ s_{rs}=\Bigl(\frac1n\sum_{k=1}^nk^2-m^2\Bigr)-\frac1{2n}\sum_{i=1}^nd_i^2 $$
である。かっこの中は「順位の 2 乗の平均 − 順位の平均の 2 乗」で、分散の公式によりこれは順位の分散 $v$ に等しい。よって $s_{rs}=v-\dfrac1{2n}\sum d_i^2$ である。
段 5（まとめる）。段 1 と段 4 から
$$ \rho=\frac{s_{rs}}{v}=1-\frac{\sum d_i^2}{2nv}=1-\frac{\sum d_i^2}{2n\cdot\frac{n^2-1}{12}}=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)} $$
である。$\square$

証明で大事だったのは、順位がどちらも $1,\dots,n$ の並べ替えなので、2 つの変量の平均・分散・2 乗の和がすべて等しいことである。もとの値の相関係数には、このような簡単な式はない。
審査員 1 の順位を横軸、審査員 2 の順位を縦軸にとった 5 個の点。破線は 2 人の順位が一致する直線で、赤い線分の長さが順位の差の大きさ。差の 2 乗の和は 4
図 1 は ex-rnk-judges の順位の散布図である。点が破線（$s=r$）に近いほど $\sum d^2$ は小さく、$\rho$ は $1$ に近い。

式を使って計算する

ex-rnk-judges：$n=5$、$\sum d^2=4$ で $\rho=1-\dfrac{24}{120}=0.8$。相関係数の定義から計算した $0.8$ と一致する。
6 人の 2 種目の順位が $r=(1,2,3,4,5,6)$、$s=(2,1,4,3,6,5)$ のとき、$d=(-1,1,-1,1,-1,1)$、$\sum d^2=6$ で
$$ \rho=1-\frac{6\cdot6}{6\cdot35}=1-\frac{36}{210}=1-\frac6{35}=\frac{29}{35}=0.828\ldots $$
である。
5 人の順位が完全に逆の $r=(1,2,3,4,5)$、$s=(5,4,3,2,1)$ のとき、$d=(-4,-2,0,2,4)$、$\sum d^2=16+4+0+4+16=40$ で、$\rho=1-\dfrac{240}{120}=-1$ である。

大きい方から 1 位と数えても同じ

2 つの変量の両方で、大きい方から 1 位と数えると、順位は $r_i$、$s_i$ の代わりに $n+1-r_i$、$n+1-s_i$ になる。差は $(n+1-r_i)-(n+1-s_i)=-(r_i-s_i)=-d_i$ で、2 乗すると $d_i^2$ のままなので、thm-rnk-formula より $\rho$ は変わらない。一方の変量だけで数える向きを変えると、$\rho$ の符号が変わる（lem-rnk-reverse）。

主定理 2：値の範囲と端の値

一方の順位を逆にする

def-rnk-rho の記号で、$s_i'=n+1-s_i$ とおく。順位 $(r_i,s_i')$ の相関係数は $-\rho$ である。

$s_1',\dots,s_n'$ も $1,\dots,n$ の並べ替えなので、平均は $m=\dfrac{n+1}2$、分散は $v$ で、$s_i$ と同じである。偏差は $s_i'-m=(n+1-s_i)-\dfrac{n+1}2=\dfrac{n+1}2-s_i=-(s_i-m)$ なので、偏差の積 $(r_i-m)(s_i'-m)$ は $(r_i-m)(s_i-m)$ の $-1$ 倍になる。共分散は $-1$ 倍、標準偏差は変わらないので、相関係数は $-\rho$ である。$\square$

順位相関係数の範囲

def-rnk-rho の記号で、$-1\le\rho\le1$ である。さらに
(R1) $\rho=1$ となるのは、すべての $i$ で $r_i=s_i$（順位が完全に一致する）ときに限る。
(R2) $\rho=-1$ となるのは、すべての $i$ で $s_i=n+1-r_i$（順位が完全に逆になる）ときに限る。

方針：上からの評価と $\rho=1$ の条件は thm-rnk-formula から直接分かる。下からの評価と $\rho=-1$ の条件は、lem-rnk-reverse で一方の順位を逆にして、上からの評価に帰着させる。
段 1（$\rho\le1$ と条件 (i)）。thm-rnk-formula で $\sum d_i^2\ge0$、$n(n^2-1)>0$ なので $\rho\le1$ である。$\rho=1$ は $\sum d_i^2=0$ と同じで、$0$ 以上の数の和が $0$ になるのは各 $d_i$ が $0$ のとき、つまりすべての $i$ で $r_i=s_i$ のときに限る。
段 2（$\rho\ge-1$）。$s_i'=n+1-s_i$ とおく。順位 $(r_i,s_i')$ の相関係数を $\rho'$ とすると、lem-rnk-reverse より $\rho'=-\rho$ である。$(r_i,s_i')$ も 2 つの並べ替えの組なので、段 1 を当てはめて $\rho'\le1$、すなわち $\rho\ge-1$ である。
段 3（条件 (ii)）。$\rho=-1$ は $\rho'=1$ と同じで、段 1 より、これはすべての $i$ で $r_i=s_i'=n+1-s_i$ となること、すなわち $s_i=n+1-r_i$ となることと同じである。$\square$

$-1\le\rho\le1$ は、$\rho$ が順位の相関係数であることから、相関係数（高校数学）の系「相関係数の範囲」からも分かる。ここでは順位に特有の thm-rnk-formula を使って、Cauchy–Schwarz の不等式を使わずに示した。系「相関係数の範囲」の「1 次式の関係」の条件は、順位どうしでは「完全に一致」か「完全に逆」に当たる。

順位の差の 2 乗の和の範囲

$0\le\sum_{i=1}^nd_i^2\le\dfrac{n(n^2-1)}3$ である。最小値 $0$ は順位が完全に一致するとき、最大値は順位が完全に逆のときにとる。

thm-rnk-formula を $\sum d_i^2=\dfrac{n(n^2-1)}6(1-\rho)$ と書き直す。thm-rnk-range より $0\le1-\rho\le2$ なので、$0\le\sum d_i^2\le\dfrac{n(n^2-1)}3$ である。等号の場合は thm-rnk-range の条件 (i)・(ii) による。$\square$

最大値を確かめる

$n=5$ では最大値は $\dfrac{5\cdot24}3=40$ で、ex-rnk-formula (3) の完全に逆の順位の $\sum d^2=40$ と一致する。$n=4$ では最大値は $\dfrac{4\cdot15}3=20$ で、$r=(1,2,3,4)$、$s=(4,3,2,1)$ のとき $d=(-3,-1,1,3)$、$\sum d^2=9+1+1+9=20$ である。

単調な関係を捉える

順位はもとの値の大小の順だけで決まる。このことから、順位相関係数の大事な性質が出る。

単調な関係と順位相関係数

def-rnk-rho のデータについて、次が成り立つ。
(R1) ある関数 $f$ が単調増加（$a< b$ なら $f(a)< f(b)$）で、すべての $i$ で $y_i=f(x_i)$ ならば、$\rho=1$ である。
(R2) $f$ が単調減少（$a< b$ なら $f(a)> f(b)$）で、すべての $i$ で $y_i=f(x_i)$ ならば、$\rho=-1$ である。
(R3) 単調増加な関数 $g$ で $x_i$ を $g(x_i)$ に置き換えても、$\rho$ は変わらない。

段 1（条件 (i)）。$f$ が単調増加なら、$x_i< x_j$ と $y_i< y_j$ が同値である（$x_i< x_j$ なら $f(x_i)< f(x_j)$。逆に $x_i> x_j$ なら $y_i> y_j$ で、値はすべて異なるので $x_i=x_j$ は起こらない）。$x_i$ の順位 $r_i$ は「$x_j< x_i$ となる $j$ の個数 $+1$」で、$s_i$ も同じく「$y_j< y_i$ となる $j$ の個数 $+1$」である。2 つの個数は等しいので $r_i=s_i$ がすべての $i$ で成り立ち、thm-rnk-range より $\rho=1$ である。
段 2（条件 (ii)）。$f$ が単調減少なら、$x_j< x_i$ と $y_j> y_i$ が同値である。$y_i$ より大きい $y_j$ の個数は $n-s_i$ なので、$r_i-1=n-s_i$、すなわち $s_i=n+1-r_i$ で、thm-rnk-range より $\rho=-1$ である。
段 3（条件 (iii)）。段 1 と同じ理由で、$g(x_1),\dots,g(x_n)$ の順位は $x_1,\dots,x_n$ の順位 $r_1,\dots,r_n$ と等しい。$\rho$ は順位だけで決まるので変わらない。$\square$

ex-rnk-exp-first は条件 (i) の例である（$f(x)=e^x$）。もとの値の相関係数は直線的な関係しか $1$ と判定しないが、順位相関係数は「一方が増えれば他方も必ず増える」という関係を $1$ と判定する（図 2）。条件 (iii) から、たとえば $x$ の代わりに $x^3$ や $\log x$（$x>0$ のとき）を使っても $\rho$ は変わらない。もとの値の相関係数が変わらないと保証されるのは、1 次式 $\alpha+\beta x$（$\beta>0$）で変換したときである（相関係数（高校数学）の例「変量の変換と標準化」）。
左は x = 1, …, 5 と y = eˣ の散布図で、点は曲線の上に並び、相関係数は 0.886。右は同じデータを順位に直した散布図で、点は一直線に並び、順位相関係数は 1
順位相関係数は、外れ値の影響も受けにくい。

外れ値があるデータ

$x=1,2,3,4,5,6$、$y=2,3,5,4,6,60$ の 6 組を考える。最後の $y=60$ だけが極端に大きい。
(1) もとの値の相関係数は $r=0.695\ldots$ である（計算機で計算した）。最後の 1 組を除いた 5 組では $r=0.9$ なので、1 つの外れ値で相関係数が大きく変わっている。
(2) 順位に直すと、$x$ の順位は $1,2,3,4,5,6$、$y$ の順位は $1,2,4,3,5,6$ である（$60$ は最大なので順位 6）。$d=(0,0,-1,1,0,0)$、$\sum d^2=2$ で
$$ \rho=1-\frac{6\cdot2}{6\cdot35}=1-\frac{2}{35}=\frac{33}{35}=0.942\ldots $$
である。$60$ がどれほど大きくても、順位は 6 のままなので、$\rho$ は変わらない（図 3）。

左は外れ値 (6, 60) を含む 6 組の散布図で、相関係数は 0.695。右は順位に直した散布図で、順位相関係数は 33/35 = 0.943
外れ値に強いまとめ方としては、平均の代わりに中央値や四分位数を使う方法もある（中央値と絶対誤差、四分位数と箱ひげ図）。順位相関係数は、相関係数について同じ考え方をとったものとみることができる。

例と反例

thm-rnk-formula の前提や、順位相関係数の読み方を変えると何が崩れるかを表にする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
値がすべて異なる（同じ値があり、平均の順位を使う。順位が $1,\dots,n$ の並べ替えという前提も一緒に破れる）	ex-rnk-cx-ties	$\rho=1-\frac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$
関係が単調である	ex-rnk-cx-nonmonotone	$y$ が $x$ で決まるなら $\lvert\rho\rvert$ は $1$ に近い
相関係数 $r$（もとの値）で測る	ex-rnk-cx-linear	値が $1$ なら $y$ は $x$ の 1 次式

反例：同じ値がある場合

$x$ の順位が $1,2,3,4$ で、$y$ の値のうち 2 つが等しく、最も小さいとする。この 2 つは 1 位と 2 位を分け合うので、平均をとって順位 $1.5$ を両方に与えるのがふつうである。$y$ の順位は $1.5,\ 1.5,\ 3,\ 4$ となる。
(1) 順位の相関係数を定義どおり計算する。$x$ の順位の平均は $2.5$、偏差は $-1.5,-0.5,0.5,1.5$、分散は $\dfrac54$ である。$y$ の順位の平均も $\dfrac{1.5+1.5+3+4}4=2.5$ で、偏差は $-1,-1,0.5,1.5$、分散は $\dfrac{1+1+0.25+2.25}4=\dfrac{4.5}4=1.125$ である。偏差の積の和は $1.5+0.5+0.25+2.25=4.5$ で、共分散は $\dfrac{4.5}4=1.125$ である。相関係数は
$$ \frac{1.125}{\sqrt{1.25}\cdot\sqrt{1.125}}=\sqrt{\frac{1.125}{1.25}}=\sqrt{0.9}=0.948\ldots $$
である。
(2) thm-rnk-formula の式を当てはめると、$d=(-0.5,0.5,0,0)$、$\sum d^2=0.5$ で、$1-\dfrac{6\cdot0.5}{4\cdot15}=1-\dfrac3{60}=0.95$ になり、(1) と一致しない。$y$ の順位 $1.5,1.5,3,4$ は $1,\dots,4$ の並べ替えではなく、分散が $\dfrac54$ でなく $1.125$ に減っている。thm-rnk-formula の証明の段 1 と段 3 で使った「2 つの変量の分散・2 乗の和が等しい」が成り立たないためである。同じ値があるときは、平均の順位を使って相関係数の定義どおりに計算する。

反例：単調でない関係

$x=1,2,3,4,5$、$y=4.1,\ 1,\ 0,\ 1.1,\ 4$ とする。$y$ はおよそ $(x-3)^2$ で、$x=3$ を境に減ってから増える。値がすべて異なるようにわずかにずらしてある。$y$ は $x$ が決まれば決まるが、単調ではない。
$y$ を小さい順に並べると $0,1,1.1,4,4.1$ なので、$y$ の順位は $5,2,1,3,4$ である。$x$ の順位は $1,2,3,4,5$ で、$d=(-4,0,2,1,1)$、$\sum d^2=16+0+4+1+1=22$ だから
$$ \rho=1-\frac{6\cdot22}{5\cdot24}=1-\frac{132}{120}=-0.1 $$
である。$\rho$ は $0$ に近く、$y$ が $x$ で決まっているという強い関係を表さない。もとの値の相関係数も $-0.008\ldots$ でほぼ $0$ である（計算機で計算した）。順位相関係数が捉えるのは単調な関係であって、どんな関係でも捉えるわけではない（相関係数（高校数学）の例「反例：無相関でも無関係とは限らない」と同じ現象）。

反例：$\rho=1$ でも 1 次式とは限らない

相関係数（高校数学）の系「相関係数の範囲」により、もとの値の相関係数 $r$ が $1$ なら、$y$ は $x$ の 1 次式（傾きが正）である。順位相関係数ではこれが成り立たない。ex-rnk-exp-first の $y=e^x$ では $\rho=1$ だが、$y$ は $x$ の 1 次式ではない（$x=1,2,3$ での値 $e,e^2,e^3$ の差 $e^2-e$ と $e^3-e^2=e(e^2-e)$ は等しくない）。$\rho=1$ から言えるのは、順位が完全に一致すること、つまり $x$ が大きいほど $y$ も大きいことだけである。

大学数学で見る：Spearman の順位相関係数

def-rnk-rho の $\rho$ は、大学の統計学では Spearman の順位相関係数 と呼ばれる。Wei26 は、この係数が 1904 年に Spearman によって提案された、分布の形を仮定しない（ノンパラメトリックな）順位の統計量であることを述べ、順位の相関係数としての定義と、同じ値がないときの式（thm-rnk-formula の式）を挙げている。

同じ値がある場合と、検定についてを開く

Wei26 は、同じ値があるときは順位の相関係数を定義として使い続け、簡単な式は補正した形に替える必要があると述べている。この記事の ex-rnk-cx-ties はその必要を示す例である。補正した式そのものは、この記事では扱わない。

2 つの変量に関係がないとき、$\rho$ がどのくらいの大きさになりやすいかを調べると、観測した $\rho$ が偶然で説明できるかを判断できる（検定）。たとえば $n=4$ では、順位の並べ替え $24$ 通りのうち $\rho=1$ となるのは 1 通りだけで、関係がないなら確率 $\dfrac1{24}$ でしか起こらない。検定の考え方は仮説検定の考え方で扱う。順位相関係数の検定そのものは、この記事では扱わない。

演習

6 人の順位

6 人の 2 つの競技の順位が $r=(1,2,3,4,5,6)$、$s=(3,1,2,6,4,5)$ のとき、順位相関係数を求めよ。

解答を開く

$d=(-2,1,1,-2,1,1)$、$\sum d^2=4+1+1+4+1+1=12$。thm-rnk-formula より $\rho=1-\dfrac{6\cdot12}{6\cdot35}=1-\dfrac{12}{35}=\dfrac{23}{35}=0.657\ldots$。定義どおり計算すると、平均は $3.5$、分散は $\dfrac{35}{12}$、$\sum r_is_i=3+2+6+24+20+30=85$ から共分散は $\dfrac{85}6-\dfrac{49}4=\dfrac{170-147}{12}=\dfrac{23}{12}$ で、$\rho=\dfrac{23/12}{35/12}=\dfrac{23}{35}$ と一致する。

順位の差の 2 乗の和は偶数

def-rnk-rho の記号で、$\sum_{i=1}^nd_i^2$ はつねに偶数であることを示せ。また、$n=5$ のとき $\rho$ がとりうる値は $1-\dfrac{m}{10}$（$m$ は $0$ から $20$ までの整数）の形の数に限られることを示せ。

解答を開く

整数 $d$ について $d^2-d=d(d-1)$ は連続する 2 整数の積なので偶数であり、$d_i^2$ と $d_i$ の偶奇は一致する。よって $\sum d_i^2$ と $\sum d_i$ の偶奇は一致する。$\sum d_i=\sum r_i-\sum s_i=\dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{n(n+1)}2=0$ は偶数なので、$\sum d_i^2$ も偶数である。$n=5$ では $\sum d_i^2=2m$（$m$ は整数）とおけて、cor-rnk-sum-range より $0\le2m\le40$、すなわち $0\le m\le20$ である。thm-rnk-formula より $\rho=1-\dfrac{6\cdot2m}{120}=1-\dfrac{m}{10}$ である。

さらに先へ

順位相関係数が $1$ に近くても、一方が他方の原因であるとは限らない。相関と因果の区別は相関と因果で扱う。
データ全体を順位に置き換えると、平均・分散のような値の大きさに頼るまとめ方が、大小の順だけに頼るまとめ方に変わる。中央値・四分位数（中央値と絶対誤差、四分位数と箱ひげ図）も同じ考え方のまとめ方である。
順位の平均と分散を lem-rnk-mean-var で求めた計算は、データの分散の公式（平均値と二乗誤差）と和の公式の組み合わせである。平均から遠い順位の個数を Chebyshevの不等式（高校数学）で押さえることもできる。
大学向けの相関係数の記事は相関係数である。