Laurent展開

円周のパラメータ表示 $\zeta=a+\rho e^{i\theta}$ により $I(\rho)=\int_0^{2\pi}\Phi(\rho,\theta)\,d\theta$、$\Phi(\rho,\theta):=g(a+\rho e^{i\theta})\,i\rho e^{i\theta}$ である。$g$ は正則だから $g'$ が存在して連続（Cauchyの積分公式 の記事の定理（導関数の積分表示）により $g'$ は正則、特に連続）であり、$\Phi$ は $(r,R)\times\mathbb{R}$ 上で $C^1$ 級である。偏導関数を計算すると
$$\frac{\partial\Phi}{\partial\rho}=g'(a+\rho e^{i\theta})\,e^{i\theta}\cdot i\rho e^{i\theta}+g(a+\rho e^{i\theta})\,ie^{i\theta},\qquad\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl[g(a+\rho e^{i\theta})\,e^{i\theta}\Bigr]=g'(a+\rho e^{i\theta})\,i\rho e^{i\theta}\cdot e^{i\theta}+g(a+\rho e^{i\theta})\,ie^{i\theta}$$
であり、両者は一致する。$r<\rho_1<\rho_2< R$ をとると $\partial\Phi/\partial\rho$ は コンパクト空間 $[\rho_1,\rho_2]\times[0,2\pi]$ 上で一様連続である。したがって差分商 $(\Phi(\rho+h,\theta)-\Phi(\rho,\theta))/h$ は $h\to0$ のとき $\partial\Phi/\partial\rho$ へ $\theta$ について一様に収束し、積分と極限を交換できる。よって$\rho\in(\rho_1,\rho_2)$ で
$$I'(\rho)=\int_0^{2\pi}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl[g(a+\rho e^{i\theta})\,e^{i\theta}\Bigr]d\theta=\Bigl[g(a+\rho e^{i\theta})\,e^{i\theta}\Bigr]_{\theta=0}^{\theta=2\pi}=0$$
である。$\rho_1,\rho_2$ は任意だから $I$ は区間 $(r,R)$ 上で微分可能で導関数が $0$ であり、実部・虚部に実変数の 平均値の定理 を用いれば定数である。

各 $n\in\mathbb{Z}$ について $\zeta\mapsto f(\zeta)(\zeta-a)^{-n-1}$ は $A(a;r,R)$ 上で正則だから、lem-laurent-expansion-circle-independence により $a_n$ は $\rho$ によらない。
$z\in A(a;r,R)$ を固定し、$r<\rho_1<|z-a|<\rho_2< R$ をとる。$A(a;r,R)$ 上の関数 $g$ を $g(\zeta):=\dfrac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}$（$\zeta\neq z$）、$g(z):=f'(z)$ で定める。$g$ は $\zeta\neq z$ で正則であり、$z$ の近傍では $f$ の $z$ を中心とする Taylor 展開 $f(\zeta)=\sum_{k\geq0}c_k(\zeta-z)^k$（Taylor展開(複素解析) の記事の定理（正則関数の冪級数展開））により $g(\zeta)=\sum_{k\geq1}c_k(\zeta-z)^{k-1}$ と収束冪級数で表されるので、$z$ の近傍でも正則である（正則関数 の記事の定理（冪級数の正則性））。ゆえに $g$ は $A(a;r,R)$ 上の正則関数で、lem-laurent-expansion-circle-independence により
$$\oint_{|\zeta-a|=\rho_2}g(\zeta)\,d\zeta=\oint_{|\zeta-a|=\rho_1}g(\zeta)\,d\zeta$$
である。どちらの円周上でも $\zeta\neq z$ だから、$\oint_{|\zeta-a|=\rho}g\,d\zeta=\oint_{|\zeta-a|=\rho}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta-2\pi i\,n(C_\rho,z)f(z)$ であり、ここで回転数は $n(C_{\rho_2},z)=1$（$z$ は円周 $C_{\rho_2}$ の内部）、$n(C_{\rho_1},z)=0$（外部）である（Cauchyの積分公式 の記事の命題（回転数の性質））。したがって
$$2\pi i\,f(z)=\oint_{|\zeta-a|=\rho_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta-\oint_{|\zeta-a|=\rho_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta$$
である。
第 1 の積分では $|\zeta-a|=\rho_2>|z-a|$ だから
$$\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{(\zeta-a)\bigl(1-\frac{z-a}{\zeta-a}\bigr)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}}$$
であり、$n$ 番目の項の絶対値は $(|z-a|/\rho_2)^n/\rho_2$ 以下なので、この級数は円周上で $\zeta$ について一様収束する。第 2 の積分では $|\zeta-a|=\rho_1<|z-a|$ だから
$$-\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{(z-a)\bigl(1-\frac{\zeta-a}{z-a}\bigr)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\zeta-a)^n}{(z-a)^{n+1}}$$
であり、同様に円周上で一様収束する。$f$ は各円周上で有界だから、$f(\zeta)$ を掛けても一様収束は保たれ、Cauchyの積分定理 の記事の命題（複素線積分の基本性質）により項別に積分できる。その結果
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=\rho_2}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\,d\zeta\Bigr)(z-a)^n+\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=\rho_1}f(\zeta)(\zeta-a)^n\,d\zeta\Bigr)(z-a)^{-n-1}$$
であり、第 1 の和の係数は $a_n$（$n\geq0$）、第 2 の和の係数は $a_{-n-1}$（$n\geq0$）である（$(\zeta-a)^n=(\zeta-a)^{-(-n-1)-1}$）。両方の級数が収束することもこの計算に含まれている。ゆえに $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_n(z-a)^n$ である。

$r<\rho< R$ とし、$M(\rho):=\max_{|\zeta-a|=\rho}|f(\zeta)|$ とおく。係数の積分表示（def-laurent-expansion-expansion、半径 $\rho$ の円周でとる）を Cauchyの積分定理 の記事の命題（複素線積分の基本性質）で評価すると、すべての $n\in\mathbb{Z}$ で
$$|a_n|\leq\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{M(\rho)}{\rho^{n+1}}\cdot2\pi\rho=\frac{M(\rho)}{\rho^n}$$
である。$n\geq0$ についてこれは $(a_n\rho^n)_n$ が有界であることを意味するので、Taylor展開(複素解析) の記事の命題（収束半径の性質）により正則部の収束半径は $\rho$ 以上であり、$\rho< R$ は任意だから $R$ 以上である。$n=-m<0$ については $|a_{-m}|\leq M(\rho)\rho^m$、すなわち $(a_{-m}(1/\rho)^m)_m$ が有界なので、同じ命題により $\sum_{m\geq1}a_{-m}w^m$ の収束半径は $1/\rho$ 以上であり、$\rho>r$ は任意だから $1/r$ 以上である。
$K\subset A(a;r,R)$ をコンパクトとすると、$K$ 上の連続関数 $|z-a|$ の最小値と最大値をとって $r<\rho_1\leq|z-a|\leq\rho_2< R$（$z\in K$）とできる。正則部は閉円板 $|z-a|\leq\rho_2$ 上で、主要部は $|w|\leq1/\rho_1$ 上で、それぞれ同じ命題の 1 により絶対かつ一様に収束する。

正則部 $\sum_{n\geq0}c_n(z-a)^n$ は $A(a;r,R)$ の各点で収束するので、その収束半径は $R$ 以上である（収束半径 $R_0< R$ なら $R_0<|z-a|< R$ の点で発散するはずである。Taylor展開(複素解析) の記事の命題（収束半径の性質））。主要部 $\sum_{n\geq1}c_{-n}w^n$（$w=1/(z-a)$）は $1/R<|w|<1/r$ の各点で収束するので、その収束半径は $1/r$ 以上である。したがって $r<\rho< R$ をとると、両方の級数は円周 $|\zeta-a|=\rho$ 上で一様収束する。$m\in\mathbb{Z}$ を固定し、$(\zeta-a)^{-m-1}$（円周上で有界）を掛けて項別に積分すると（Cauchyの積分定理 の記事の命題（複素線積分の基本性質））
$$a_m=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=\rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{m+1}}\,d\zeta=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n\cdot\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=\rho}(\zeta-a)^{n-m-1}\,d\zeta=c_m$$
である。最後の等号は、$\oint_{|\zeta-a|=\rho}(\zeta-a)^k\,d\zeta$ が $k=-1$ のとき $2\pi i$、$k\neq-1$ のとき $0$ であること（Cauchyの積分定理 の記事の例（円周に沿う冪の積分））による。

def-laurent-expansion-expansion の係数の定義で $n=-1$ とおいたものである。除去可能なら $a_{-1}=0$ である。