Reedy圏とReedyモデル構造

前提知識: モデル圏、単体的対象、極限(圏論)、余極限(圏論)

次数に沿って図式を作る

単体的対象には面写像と退化写像があり、一つの次数の対象を選ぶだけでは図式にならない。低い次数から既に決まっている入力を貼り合わせ、低い次数へ出ていく出力との整合性も保つ必要がある。Reedy圏は、この二方向を分離し、図式の構成や持ち上げを次数についての帰納法へ帰着するための添字圏である。
本稿では小さい通常の Reedy 圏と、非負整数値の次数関数を扱う。図式は共変関手 $X\colon R\to\mathcal M$ とする。単体的対象は $R=\Delta^{\mathrm{op}}$、余単体的対象は $R=\Delta$ の場合である。値を取る圏 $\mathcal M$ には小極限・小余極限があるとし、モデル構造を論じる箇所ではモデル圏とする。コファイブレーションとファイブレーションを、それぞれ余ファイブレーションとファイブレーションとも呼ぶ。

Reedy圏の定義

次数関数自体を構造に含める流儀もある。ここでは二つの部分圏を固定し、帰納法のために次数関数を一つ選ぶ。後で定めるラッチング対象とマッチング対象は二つの部分圏だけで定まる。同じ次数の対象の間にも、負方向の後に正方向へ進む非恒等射はあり得る。「非恒等射はすべて次数を変える」という定義ではない。
次数 $n$ 以下の対象からなる充満部分圏を $R_{\le n}$ と書く。射の分解の中間対象は始域・終域のどちらよりも高い次数を持たないので、$R_{\le n}$ も Reedy 圏である。特に $R_{\le0}$ の射は恒等射だけである。恒等射の唯一の分解は恒等射二つであり、次数を下げてから上げて恒等射になるような別分解は許されない。

ラッチング対象とマッチング対象

入口を全部余積にすると、同じ低次数のデータが異なる経路で到達することを忘れてしまう。ラッチング対象は、その経路間の関係も課した余極限である。同様に、マッチング対象は出口の値をただ並べる積ではなく、出口どうしの整合条件を課した極限である。いずれも添字圏の射まで必要になる。
次数 $0$ では $L_rX$ は初期対象、$M_rX$ は終対象である。$\Delta^{\mathrm{op}}$ 上では $L_1X=X_0$ で、射 $L_1X\to X_1$ は退化写像であり、$M_1X=X_0\times X_0$ で、$X_1\to M_1X$ は二つの面写像の組である。$\Delta$ 上では逆に $L_1X=X^0\sqcup X^0$、$M_1X=X^0$ となる。同じ「次数1」でも、共変と反変を交換すると入口と出口の内容が変わる。

延長が一つの分解になる理由

$d(r)=n$ とし、$R_{\le n-1}$ 上だけで図式 $X$ が与えられているとする。非恒等正方向射 $s\to r$ と非恒等負方向射 $r\to t$ の合成は、低次数の対象どうしの射である。この合成に $X$ を適用し、余極限と極限の普遍性を使うと、正準射 $L_rX\to M_rX$ が定まる。

この補題は、次数 $n$ の対象の間に射がないという主張ではない。それらの射の値が低次数のデータから強制されるという主張である。次数ごとの独立な選択が可能になるのは、この違いによる。自然変換を延長する場合にも、入口・出口の二つの可換条件だけを課せばよい。

相対ラッチング射と相対マッチング射

相対ラッチング射の始域には、$X_r$ に既にある部分と、$Y$ の低次数から新たに入る部分が、$L_rX$ に沿って貼り合わされている。相対マッチング射の終域には、$Y_r$ で指定された値と、$X$ の低次数への出口が、$M_rY$ 上で整合するという条件が入っている。
$$ \xymatrix{ L_rX\ar[r]\ar[d]&X_r\ar[d]\ar@/^/[ddr]^{f_r}&\\ L_rY\ar[r]\ar@/_/[drr]&P_r(f)\ar@{.>}[dr]^{\ell_r(f)}&\\ &&Y_r } $$
ここで $\ell_r(f)$ と $X_r\to P_r(f)$ の合成は $f_r$、$\ell_r(f)$ と $L_rY\to P_r(f)$ の合成は $Y$ のラッチング射である。この二等式が押し出しからの射を一意に定める。

Reedyモデル構造

初期図式から $X$ への射にこの定義を適用すると、$X$ が Reedy コファイブラントであることは、全 $L_rX\to X_r$ が余ファイブレーションであることに等しい。終図式への射では、Reedy ファイブラント性は全 $X_r\to M_rX$ がファイブレーションであることになる。次数 $0$ は通常のコファイブラント性・ファイブラント性で始まるが、次数が上がるごとに整合条件が増えていく。

この存在定理に余ファイブラント生成や固有性の仮定は要らない。一般の図式圏ではモデル構造の構成に生成集合や小ささの条件を使うことがあるが、ここでは射の分解と次数帰納がその役割を果たす。以下では自明な相対射の判定を先に証明し、それを用いて持ち上げと二種類の分解を構成する。

ラッチング対象へ持ち上げ性質を運ぶ

射 $a$ が射 $p$ に対して左持ち上げ性質を持つとは、$a$ を左辺、$p$ を右辺に置く任意の可換正方形に対角射があることをいう。固定した射のクラスに対する左持ち上げ性質は、押し出しと合成で保たれる。これは押し出しの普遍性による正方形の移し替えと、二回続けて対角射を選ぶ操作から従う。右持ち上げ性質では引き戻しと合成が対応する。

モデル圏では余ファイブレーションは自明ファイブレーションすべてに対する左持ち上げ性質で、自明余ファイブレーションはファイブレーションすべてに対する左持ち上げ性質で特徴づけられる。この特徴づけと補題を合わせると、Reedy 余ファイブレーションは成分ごとの余ファイブレーションであり、Reedy ファイブレーションは成分ごとのファイブレーションである。しかし逆向きには相対射の条件が欠けている。

ここでは「弱同値の押し出しは弱同値」と一般に仮定したわけではない。押し出した射は自明余ファイブレーションなので、モデル圏の持ち上げ性質からそのクラスが保たれる。したがって左固有性は不要である。双対の議論にも右固有性は不要である。この区別が存在定理の仮定を軽くしている。

持ち上げを次数帰納で構成する

二種類の分解を構成する

残るモデル公理

モデル構造を特徴づける二つの弱分解系も、この証明から直接読める。左側に Reedy 余ファイブレーション、右側に自明 Reedy ファイブレーションを置く組と、その自明性を左右で交換した組である。どちらも、各成分の持ち上げ問題をそのまま独立に解くのではなく、相対射に変換してから解く点が共通している。

条件を計算する例と反例

成分の条件との比較

負方向が恒等射だけならマッチング対象は終対象であり、Reedy ファイブレーションはちょうど成分ごとのファイブレーションである。正方向が恒等射だけなら、Reedy 余ファイブレーションはちょうど成分ごとの余ファイブレーションである。この二つの極端な場合は、どちら側に整合条件が残るかを確認するのに役立つ。離散圏なら両条件とも成分ごとになる。

最後の行は自己同型を許す一般化の場合の注意であり、通常の Reedy 圏の存在定理の反例ではない。具体的な一点作用の反例は Eilenberg–Zilber圏 の「亜群と非骨格の例」にある。反例が破るのは自由性の追加条件であって、ラッチング射を退化部分の包含と同定することではない。

単体的空間への適用

単体的単体的集合 $X\colon\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{sSet}$、すなわち単体的空間を考える。Reedy ファイブラント性は、各 $X_n\to M_nX$ が Kan ファイブレーションであるという条件である。次数 $1$ では $X_1\to X_0\times X_0$ が必要になる。従って、各 $X_n$ が Kan 複体であることだけを検査しても、辺とその二端点の同時持ち上げまでは保証されない。
完備Segal空間 で使う Reedy ファイブラント性はこの条件である。Segal 条件はさらに高次数の合成に関する条件を課し、完全性は同値と対象の関係に関する条件を課す。Reedy モデル構造の弱同値は各次数の弱同値であり、局所化後のモデル構造の弱同値と無条件に同一ではない。この二段階は Bousfield局所化 と区別して使う。

他の構造との両立

単体の圏と積の添字

単体的集合 $K$ の単体の圏 $\Delta K$ の対象は $\sigma\colon\Delta[n]\to K$、射 $\sigma\to\tau$ は $\sigma=\tau a$ を満たす単調写像 $a\colon[n]\to[m]$ である。次数を $n$、正負を $a$ が単射・全射であることにより定めると Reedy 圏になる。$a$ の一意な像分解を使えば、中間の単体も $\tau$ の制限として一意に決まる。
この添字圏は、$K$ を標準単体から再構成する図式を与える。具体的には $\sigma\colon\Delta[n]\to K$ に $\Delta[n]$ を対応させた図式の余極限が $K$ になる。次数 $k$ の元の代表は対 $(\sigma,a)$、$a\colon[k]\to[n]$ であり、$K$ への像は $\sigma a$ である。任意の $x\in K_k$ は $(x,\mathrm{id}_{[k]})$ から得られるので全射である。二代表の像が同じ $x$ なら、単体の圏における射 $x\xrightarrow a\sigma$ と $x\xrightarrow b\tau$ により、両代表とも $(x,\mathrm{id}_{[k]})$ と同一視されるので単射である。前合成とも整合し、単体的集合の自然な同型を得る（Hir03 Proposition 15.1.20）。
積圏 $R\times S$ の正方向射は二成分とも正方向で、少なくとも一方が非恒等である。そのため積のラッチング対象は
$$ L_{(r,s)}X\cong L_r(X_{-,s})\sqcup_{L_rL_sX}L_s(X_{r,-}) $$
となる。右辺は $R$ 方向から入る部分と $S$ 方向から入る部分を、両方向から入る部分で貼り合わせる押し出しである。実際、左辺から任意の対象への射を指定する余錐は、$R$ 成分が非恒等な射への余錐と $S$ 成分が非恒等な射への余錐を、共通部分で一致させたものに等しい。これは右辺の普遍性そのものである。マッチング対象では双対の引き戻し表示が得られる。
相対ラッチング射にもこの押し出しの組み替えを適用すると、積圏についての Reedy モデル構造と、$R$、$S$ の順で二度 Reedy モデル構造を作る構成は一致する。順序を逆にしても同じである。弱同値はいずれも全成分での弱同値であり、余ファイブレーションの一致から自明ファイブレーションとファイブレーションも持ち上げ性質で一致する（Hir03 Lemma 15.5.1, Theorem 15.5.2）。
ただし、二重単体的集合を「単体的集合に値を取る単体的対象」と見る場合、値の圏は集合の圏でなく Kan–Quillen モデル構造を持つ単体的集合の圏である。水平と垂直を入れ替えた二つの各次数弱同値は、同じものとは限らない。積 Reedy 構造の一致を、この別の比較へ流用しない。
二重単体的集合で外側の次数を一つ固定してラッチング対象を計算すると、内側の各次数では、外側方向の退化単体の集合になる。これは単体的集合の退化表示、または Eilenberg–Zilber圏 の「ラッチング射は退化部分の包含である」を $R=\Delta$ に適用して得られる。単射 $X\to Y$ は退化を反映するので、相対ラッチング射は $Y_n$ 内の $X_n$ と退化部分の和集合の包含となる。従って各次数の単射は Reedy 余ファイブレーションであり、逆は lem-reedy-propagation から従う。単体的集合の余ファイブレーションが単射であることを前提として、二重単体的集合では Reedy 余ファイブレーションと単射が一致する（Hir03 Theorem 15.8.7）。余単体的な定値図式の反例との違いは、ラッチング射が退化部分の包含であるという入力の有無にある。

単体的モデル圏の場合

$\mathcal M$ が単体的モデル圏なら、図式への単体的集合のテンソルを $(X\otimes K)_r=X_r\otimes K$ で定める。コテンソルも成分ごとに定め、写像単体的集合は各成分の写像のうち自然性を満たすものを集める極限で定める。テンソル・コテンソルの随伴は成分ごとの随伴とこの自然性条件から従う。
この場合の Reedy モデル構造は単体的モデル圏になる。核心は、Reedy 余ファイブレーション $i\colon A\to B$ と単体的集合の余ファイブレーション $j\colon K\to L$ の押し出し積 $i\mathbin\square j$ を調べることにある。$r$ におけるその相対ラッチング射は
$$ \ell_r(i\mathbin\square j)\cong\ell_r(i)\mathbin\square j $$
である。実際、ラッチング対象は余極限で、各テンソルは余極限を保つ。左辺の始域を押し出しとテンソルで展開すると、$P_r(i)=A_r\sqcup_{L_rA}L_rB$ を用いて
$$ (B_r\otimes K)\sqcup_{P_r(i)\otimes K}(P_r(i)\otimes L) $$
となり、右辺の始域と同じ普遍性を持つ。終域はともに $B_r\otimes L$ で、そこへの射も同じ構造射から誘導される。従ってこの同型は終域への射まで含めて整合する。
$\mathcal M$ の押し出し積公理によりこれは余ファイブレーションであり、$i$ または $j$ が弱同値なら自明余ファイブレーションになる。$i$ が弱同値の場合に $\ell_r(i)$ の自明性を得るには prop-reedy-trivial を使う。再び同命題を図式側に適用すると、単体的モデル圏の公理 SM7 が得られる（Hir03 Theorem 15.3.4(3), §15.3.16）。値の圏に単体的モデル圏の構造があることが、この節の明示的な前提である。

Quillen関手と射影構造との比較

Quillen随伴 $F\colon\mathcal M\rightleftarrows\mathcal N\colon U$ を成分ごとに適用すると、Reedy モデル構造の間の Quillen 随伴になる。$F$ は左随伴なので余極限と押し出しを保ち、$\ell_r(Ff)\cong F\ell_r(f)$ となる。$F$ が余ファイブレーションと自明余ファイブレーションを保つことから従う。元の随伴が Quillen 同値なら図式側もそうである。Reedy コファイブラントな $X$ と Reedy ファイブラントな $Y$ はそれぞれ成分ごとにもコファイブラント・ファイブラントなので、$FX\to Y$ と $X\to UY$ の弱同値の同値性を全成分で適用できるためである（Hir03 Proposition 15.4.1）。
同じ $\mathcal M^R$ に、弱同値とファイブレーションを成分ごとに定める 射影モデル構造が存在していると仮定する。この仮定の下では、恒等随伴
$$ \mathrm{id}\colon(\mathcal M^R)_{\mathrm{proj}} \rightleftarrows(\mathcal M^R)_{\mathrm{Reedy}}\colon\mathrm{id} $$
は左から右への左 Quillen 関手を持つ Quillen 同値である。Reedy ファイブレーションは成分ごとのファイブレーションなので、右随伴の恒等関手はファイブレーションを保つ。弱同値は両方で同じであるため、自明ファイブレーションも保つ。さらに随伴で対応する射は同じ射そのものであり、弱同値かどうかの判定も同じだから Quillen 同値の判定を満たす。
ここで示したのは、射影モデル構造の存在を入力した比較である。通常 Reedy モデル構造の存在証明から、任意の添字圏での射影モデル構造の存在を導いたわけではない。また、Quillen 同値であることから両方の余ファイブレーション・ファイブレーションのクラスが一致するとは限らない。
余ファイブラント生成や胞体性についても、Reedy モデル構造が存在することとは別に条件を検査する。生成射を作る場合には、表現可能図式とその境界を使った射の集合だけでなく、その始域の小ささを証明する必要がある。胞体性にはさらにコンパクト性などの条件がある。これらの存在・保存定理は本稿では証明しない。小ささの仮定を含む生成性は Hir03 Theorem 15.6.27、胞体性は同 Theorem 15.7.6 を参照されたい。

自己同型を許す場合の境界

通常の Reedy 圏では非恒等な同型射は存在しない。例えば同型 $f=gh$ を負・正に分解し、$hf^{-1}=g'h'$ と同様に分解すると、$\mathrm{id}=(gg')h'$ になる。一意性から $h'=\mathrm{id}$、$gg'=\mathrm{id}$ であり、正方向で次数を上げて戻ることはできないので $g=g'=\mathrm{id}$ となる。従って $f$ は負方向にある。$f^{-1}$ も同様であり、次数を下げて戻れないので $f$ も恒等射である。
一方、一般化Reedy圏 は同型による次数保存と、同型を除いた負・正分解を許す。正負の共通部分は同型射全体であり、負方向射 $f$ と同型 $\theta$ が $\theta f=f$ を満たせば $\theta=\mathrm{id}$ という条件を課す。双対化可能な場合には正方向射について $f\theta=f$ から $\theta=\mathrm{id}$ となる条件も課す。定義と通常版との比較は BM08 Definition 1.1, Remark 1.4 による。
ここでは相対ラッチング射は自己同型群 $\operatorname{Aut}(r)$ の作用を持つ射となる。群作用を忘れて余ファイブレーションかどうかを見るだけでは十分でない。例えば群作用の圏に射影モデル構造を使う一般化では、その群作用の圏における余ファイブレーションを検査する。各群作用の圏で射影モデル構造が存在するという条件自体も必要になる（BM08 Remark 1.5 に続く定義）。以下では存在定理を一般化せず、集合値前層の相対ラッチング射について何が分かるかを区切って述べる。

単射が与える範囲と自由作用の追加条件

$R$ を Eilenberg–Zilber圏 とし、$X,Y$ を集合値前層、$f\colon X\to Y$ を成分ごとに単射な自然変換とする。この段落のラッチング対象は $R^{\mathrm{op}}$ 上の前層図式に対するものである。$D_rX$ を非可逆な分裂全射 $\rho\colon r\to s$ による退化要素 $\rho^*x$ の集合と書く。同記事の「ラッチング射は退化部分の包含である」により、ラッチング射そのものを $D_rX\subset X_r$ と同定できる。この同定と自己同型に関する自然性を入力として用いる。

この命題は、集合の単射から自動的に群作用の自由性を得るという主張ではない。また、非退化要素の自由性を得ても、任意の値域モデル圏における一般化 Reedy モデル構造の存在まで証明したことにはならない。通常版の存在定理、EZ前層の退化表示、群作用を持つ相対射という三つの役割を分けることで、どの仮定をどこで使っているかが見える。

関連項目

• 前提: モデル圏、単体的対象、極限(圏論)、余極限(圏論)
• 比較: Quillen随伴、組合せ的モデル圏
• 応用: 完備Segal空間、Bousfield局所化
• 発展: Eilenberg–Zilber圏