Eisenstein多項式

段 1：自由加群であること。 $E$ はモニックなので、$\mathcal{O}_K[X]$ の任意の元は $E$ で割った余りとして次数 $n$ 未満の多項式にただ 1 通りに書ける。よって $B=\bigoplus_{i=0}^{n-1}\mathcal{O}_K\alpha^i$ である。とくに $\mathcal{O}_K\to B$ は単射で、$0$ でない $c\in\mathcal{O}_K$ について $c\cdot1\ne0$ である。
段 2：$\alpha B$ は剰余体 $k$ の極大イデアル。
$$ B/\alpha B\cong\mathcal{O}_K[X]/(E,X)=\mathcal{O}_K/(a_0)=\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_K=k $$
である（$E\equiv a_0\pmod X$、$v_K(a_0)=1$ より $(a_0)=\mathfrak{m}_K$）。体なので $\alpha B$ は極大イデアルである。
段 3：$B$ は局所環。 $B$ はモニック多項式 $E$ の根 $\alpha$ で $\mathcal{O}_K$ 上生成されるので、$\mathcal{O}_K\subset B$ は整拡大である。$M$ を $B$ の任意の極大イデアルとすると、整拡大 の記事の系「極大イデアルの縮約」により $M\cap\mathcal{O}_K$ は $\mathcal{O}_K$ の極大イデアル $\mathfrak{m}_K$ である。よって $a_0,\dots,a_{n-1}\in M$ で、$\alpha^n=-\sum_{i< n}a_i\alpha^i\in M$ となり、$M$ は素イデアルなので $\alpha\in M$ である。段 2 より $\alpha B$ は極大なので $M=\alpha B$ である。したがって $B$ は $\alpha B$ をただ 1 つの極大イデアルとする局所環であり、$\alpha B$ に属さない元はすべて単元である。
段 4：$\alpha^n$ は $\pi_K$ の単元倍。 $a_0=\pi_Ku_0$（$u_0\in\mathcal{O}_K^\times$）、$1\le i\le n-1$ について $a_i=\pi_Kb_i$（$b_i\in\mathcal{O}_K$）と書くと
$$ \alpha^n=\pi_K\,\varepsilon,\qquad \varepsilon:=-\Bigl(u_0+\sum_{i=1}^{n-1}b_i\alpha^i\Bigr) $$
である。$\varepsilon\equiv-u_0\pmod{\alpha B}$ で、$-u_0$ の像は $k^\times$ に属するので $\varepsilon\notin\alpha B$、段 3 より $\varepsilon\in B^\times$ である。
段 5：$\bigcap_m\alpha^mB=0$。 段 4 より $\alpha^{nm}B=\pi_K^mB=\bigoplus_i\pi_K^m\mathcal{O}_K\alpha^i$ である。すべての $m$ についてこれに属する元の係数は $\bigcap_m\mathfrak{m}_K^m$ に属し、これは 離散付値環 の記事の命題「離散付値環の基本構造」の 4 により $0$ である。
段 6：$B$ は離散付値環。 $0$ でない $b\in B$ をとる。段 5 により $b\in\alpha^mB$ となる最大の $m\ge0$ があり、$b=\alpha^mw$ と書くと $w\notin\alpha B$ なので $w\in B^\times$ である。また $\alpha$ は冪零でない：$\alpha^{nm}=\pi_K^m\varepsilon^m$ で $\varepsilon^m$ は単元、段 1 より $\pi_K^m\cdot1\ne0$ だからである。したがって $0$ でない 2 元 $b=\alpha^mw$、$c=\alpha^lw'$ の積 $\alpha^{m+l}ww'$ は $0$ でなく、$B$ は整域である。$0$ でないイデアル $I$ は、その元の上の表示に現れる $m$ の最小値を $m_0$ とすると $I=\alpha^{m_0}B$ である。よって $B$ は局所環である単項イデアル整域で、$\alpha$ は単元でないので体でない。離散付値環 の記事の定理「離散付値環の特徴づけ」（2 ⇒ 1）により $B$ は離散付値環で、極大イデアルの生成元 $\alpha$ が一意化元である。
段 7：既約性と商体。 $S:=\mathcal{O}_K\setminus\{0\}$ で局所化すると、段 1 から $S^{-1}B=K[X]/(E)$ であり、これは整域 $B$ の局所化なので整域である。$K$ 上 $n$ 次元の整域は体である（$0$ でない元を掛ける写像は単射な $K$ 線形写像なので全射）。よって $K[X]/(E)$ は体で、$E$ は $K$ 上既約であり、$B$ の商体は $L=K[X]/(E)$、$[L:K]=n$ である。
段 8：整閉包と完全分岐。 離散付値環は整閉整域である（離散付値環 の記事の定理「離散付値環の特徴づけ」の 5）。$B$ は $\mathcal{O}_K$ 上整で商体が $L$ なので、$L$ の元で $\mathcal{O}_K$ 上整なものは $B$ 上整、したがって $B$ に属する。よって $B$ は $\mathcal{O}_K$ の $L$ における整閉包である。段 4 から $\pi_K=\alpha^n\varepsilon^{-1}$、$v_L(\pi_K)=n=[L:K]$ である。$\square$

$v_L$ は $K^\times$ 上で $n\,v_K$ に等しい（定義「離散付値環上の完全分岐」の後の注意）。
$L=K(\Pi)$。 $c_0,\dots,c_{n-1}\in K$ が全部は $0$ でないとき、$0$ でない項 $c_i\Pi^i$ の付値 $n\,v_K(c_i)+i$ は $n$ を法として互いに異なる。最小の付値をとる項がただ 1 つなので、$\sum c_i\Pi^i$ の付値はその最小値に等しく、とくに $0$ でない。よって $1,\Pi,\dots,\Pi^{n-1}$ は $K$ 上 1 次独立で、$[K(\Pi):K]\ge n=[L:K]$ から $L=K(\Pi)$、$\deg g=n$ である。
$g$ の係数は $\mathcal{O}_K$ に属する。 $\Pi\in\mathcal{O}_L$ は $\mathcal{O}_K$ 係数のあるモニック多項式 $h$ の根で、$g$ は $h$ を割り切る。$g$ の分解体の中で $g$ の根はすべて $h$ の根なので $\mathcal{O}_K$ 上整である。$g$ の係数は根の基本対称式の $\pm1$ 倍なので $\mathcal{O}_K$ 上整であり（整拡大 の記事の命題「整な元の和と積」）、しかも $K$ の元である。$\mathcal{O}_K$ は整閉整域なので、係数は $\mathcal{O}_K$ に属する。
$g$ は Eisenstein。 $g=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\dots+c_0$ とする。$g(\Pi)=0$ を $n+1$ 個の項 $c_i\Pi^i$（$0\le i\le n$、$c_n:=1$）の和とみると、$c_i\ne0$ の項の付値は $n\,v_K(c_i)+i$ で、$i=n$ の項の付値は $n$ である。$0$ になる和では、最小の付値をとる項が 2 つ以上ある（ただ 1 つなら和の付値がその値になり $0$ でない）。付値が等しい 2 項は $n$ を法として同じ類に属するので、その 2 項は $i=0$ と $i=n$ の項に限る。したがって最小値は $n$ で、$v_L(c_0)=n$、すなわち $v_K(c_0)=1$ である。$1\le i\le n-1$ の項は付値が $n$ 以上で $n$ と異なるので $n\,v_K(c_i)+i>n$、すなわち $v_K(c_i)\ge1$（$c_i=0$ も含めて $c_i\in\mathfrak{m}_K$）である。
$\mathcal{O}_L=\mathcal{O}_K[\Pi]$。 thm-eis-main の 4 を $g$ に使うと、$\mathcal{O}_K[\Pi]$ は $\mathcal{O}_K$ の $K(\Pi)=L$ における整閉包、すなわち $\mathcal{O}_L$ である。$\square$

$K$ が完備なので、$\mathcal{O}_L$ は離散付値環で $v_L(\pi_K)=e(L/K)$ である（Ser79 Chapter II, §2, Proposition 3、p. 28。この記事では証明しない）。よって 1 は「$L/K$ が $\mathcal{O}_K$ 上完全分岐する」と同じである。1 ⇒ 2 は thm-eis-converse、2 ⇒ 1 と最後の主張は thm-eis-main の 3・4 である。$\square$

1。 thm-eis-main の 3 を $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}_{(p)}$ に使えばよい。
2。 $S:=\mathbb{Z}\setminus p\mathbb{Z}$ とする。thm-eis-main の 4 により、$\mathbb{Z}_{(p)}[\alpha]=S^{-1}\mathbb{Z}[\alpha]$ は $\mathbb{Z}_{(p)}=S^{-1}\mathbb{Z}$ の $F$ における整閉包である。一方 整閉包 の記事の命題「整閉包と局所化」により、その整閉包は $S^{-1}\mathcal{O}_F$ である。よって $S^{-1}\mathcal{O}_F=S^{-1}\mathbb{Z}[\alpha]$ であり、各 $x\in\mathcal{O}_F$ について $s\,x\in\mathbb{Z}[\alpha]$ となる $s\in S$ がある。指数 $m:=[\mathcal{O}_F:\mathbb{Z}[\alpha]\,]$ は有限であり（代数体の判別式 の記事の系「指数公式」）、有限アーベル群 $\mathcal{O}_F/\mathbb{Z}[\alpha]$ のすべての元が $p$ と互いに素な整数で消えるので、その位数 $m$ は $p$ で割り切れない。
3。 $um+vp=1$（$u,v\in\mathbb{Z}$）とすると、$x\in\mathcal{O}_F$ について $x=u\,(mx)+v\,(px)\in\mathbb{Z}[\alpha]+p\mathcal{O}_F$ である（$m\mathcal{O}_F\subset\mathbb{Z}[\alpha]$）。これは 代数体における素イデアルの分解 の記事の定理「Kummer–Dedekindの定理」の条件 (KD) である。$E$ を法 $p$ で還元すると $X^n$ なので、その定理から $\mathfrak{p}=p\mathcal{O}_F+\alpha\mathcal{O}_F$ は剰余次数 $1$ の素イデアルで、$p\mathcal{O}_F=\mathfrak{p}^n$ である。$\square$