p進複素数体

$F:=K(\beta)$ とし、$L$ を $F(\alpha)$ を含む $F$ の有限次 Galois 拡大とする（標数 $0$ なので分離的）。$F$ と $L$ は $\mathbb Q_p$ の有限次拡大である。
まず、$\sigma\in\operatorname{Gal}(L/F)$ と $x\in L$ について $|\sigma(x)|=|x|$ を示す。$w_L$ を $L$ の正規化された離散付値とすると、$w_L\circ\sigma$ も $L^\times\to\mathbb Z$ の全射な離散付値で、$\sigma$ は $F$ を動かさないので $F^\times$ 上では $w_L$ と一致する。局所体 の定理「標数0の局所体と有限次拡大」の 1 の一意性（$F$ を基礎の局所体として使う）により $w_L\circ\sigma=w_L$ であり、$|\sigma(x)|=|x|$ を得る。
$\sigma\in\operatorname{Gal}(L/F)$ とする。$\sigma(\beta)=\beta$ なので
$$ |\beta-\sigma(\alpha)|=|\sigma(\beta-\alpha)|=|\beta-\alpha| $$
である。強三角不等式により
$$ |\sigma(\alpha)-\alpha|\le\max\{|\sigma(\alpha)-\beta|,\ |\beta-\alpha|\}=|\beta-\alpha| $$
となる。$\sigma(\alpha)$ は $\alpha$ の $F$ 上の共役であり、とくに $K$ 上の共役である。$\sigma(\alpha)\ne\alpha$ なら仮定により $|\beta-\alpha|<|\sigma(\alpha)-\alpha|$ となって上の不等式に反するので、$\sigma(\alpha)=\alpha$ である。よって $\alpha$ は $\operatorname{Gal}(L/F)$ の固定体 $F$ に属し、$K(\alpha)\subset F=K(\beta)$ である。$\square$

$n=1$ なら $\alpha\in\mathbb Q_p$ で、$\mathbb Q$ は $\mathbb Q_p$ で稠密なので $\beta\in\mathbb Q$ をとればよい。$n\ge2$ とし、$f(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0\in\mathbb Q_p[X]$ を $\alpha$ の最小多項式、$\delta:=\min\{|\alpha'-\alpha|\mid \alpha'\ne\alpha\text{ は }\alpha\text{ の共役}\}>0$、$M:=\max\{1,|\alpha|\}$ とする。
$0< \eta<1$ をとり、$\mathbb Q$ の $\mathbb Q_p$ での稠密性から、各 $i$ について $|c_i-a_i|< \eta$ となる $c_i\in\mathbb Q$ を選んで $g(X):=X^n+\sum_{i< n}c_iX^i\in\mathbb Q[X]$ とおく。$f(\alpha)=0$ なので
$$ |g(\alpha)|=|g(\alpha)-f(\alpha)|=\Bigl|\sum_{i< n}(c_i-a_i)\alpha^i\Bigr|< \eta M^{n}. $$
$g=\prod_{j=1}^n(X-\beta_j)$（$\beta_j\in\overline{\mathbb Q_p}$）と分解すると $|g(\alpha)|=\prod_j|\alpha-\beta_j|$ なので、ある $j$ で $|\alpha-\beta_j|<(\eta M^n)^{1/n}=\eta^{1/n}M$ となる。$\eta$ を $\eta^{1/n}M< \min\{\delta,\varepsilon\}$ となるように小さくとり、$\beta:=\beta_j$ とする。$\beta$ は有理数係数の $n$ 次多項式 $g$ の根なので $\beta\in\overline{\mathbb Q}$ である。$|\beta-\alpha|< \delta$ なので、thm-cp-krasner（$K=\mathbb Q_p$）により $\mathbb Q_p(\alpha)\subset\mathbb Q_p(\beta)$ である。$[\mathbb Q_p(\beta):\mathbb Q_p]\le\deg g=n$ なので両辺の次数が等しく、$\mathbb Q_p(\alpha)=\mathbb Q_p(\beta)$ である。
1：$\varepsilon$ は任意なので $\overline{\mathbb Q}$ は $\overline{\mathbb Q_p}$ で稠密であり、$\overline{\mathbb Q_p}$ は $\mathbb C_p$ で稠密なので $\overline{\mathbb Q}$ も $\mathbb C_p$ で稠密である。
2：$L$ は $\mathbb Q_p$ 上有限次で標数 $0$ なので、原始元 $\alpha$ により $L=\mathbb Q_p(\alpha)$ と書ける。上により $L=\mathbb Q_p(\beta)$、$\beta\in\overline{\mathbb Q}$ である。$F:=\mathbb Q(\beta)$ は代数体で $F\subset L$ である。$F$ の閉包 $\overline F$ は（加減乗除が連続なので）$L$ の部分体で、$\mathbb Q$ の閉包 $\mathbb Q_p$ と $\beta$ を含むので $\mathbb Q_p(\beta)=L$ を含む。よって $\overline F=L$ である。$L$ は完備なので（局所体）、$L$ は $F$ の完備化である。$\square$

$|\zeta|^m=1$ から $|\zeta|=1$ なので、$\xi:=\zeta'/\zeta\ne1$ について $|1-\xi|=1$ を示せばよい。$X^m-1=\prod_{\eta^m=1}(X-\eta)$ を $X-1$ で割って $X=1$ を代入すると $\prod_{\eta^m=1,\ \eta\ne1}(1-\eta)=m$ を得る。各因子は $|1-\eta|\le\max\{1,|\eta|\}=1$ を満たし、積の絶対値は $|m|=1$ である（$p\nmid m$）。よってすべての因子で $|1-\eta|=1$ であり、とくに $|1-\xi|=1$ である。$\square$

$p$ と素な各 $m\ge1$ について、1 の原始 $m$ 乗根 $\zeta_m\in\overline{\mathbb Q_p}$ を 1 つずつ固定する（$\zeta_1=1$）。$n\ge1$ について、$n$ が $p$ と素なら $n':=n$、そうでなければ $n':=1$ とおき、
$$ s_N:=\sum_{n=1}^{N}\zeta_{n'}\,p^n\in\overline{\mathbb Q_p} $$
とする。$|\zeta_{n'}p^n|=p^{-n}$ なので $N< N'$ のとき $|s_{N'}-s_N|\le p^{-N-1}$ であり、$(s_N)$ は Cauchy 列である。
$\overline{\mathbb Q_p}$ が完備だと仮定し、極限を $\alpha\in\overline{\mathbb Q_p}$ とする。$\alpha$ はある有限次拡大 $L:=\mathbb Q_p(\alpha)$ に属し、$L$ は完備なので閉集合である。$p$ と素なすべての $m$ について $\zeta_m\in L$ であることを、$m$ についての帰納法で示す。$m=1$ は明らかである。$m>1$ を $p$ と素とし、$n< m$ のすべての $n$ について $\zeta_{n'}\in L$ と仮定する。
$$ \beta:=p^{-m}\Bigl(\alpha-\sum_{n< m}\zeta_{n'}p^n\Bigr)\in L $$
とおくと、$\beta=\zeta_m+\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m+1}^{N}\zeta_{n'}p^{n-m}$ なので $|\beta-\zeta_m|\le p^{-1}$ である。$\zeta_m$ の $\mathbb Q_p$ 上の共役 $\zeta'\ne\zeta_m$ はまた 1 の $m$ 乗根なので、lem-cp-roots-of-unity により $|\zeta'-\zeta_m|=1>|\beta-\zeta_m|$ である。thm-cp-krasner（$K=\mathbb Q_p$）により $\zeta_m\in\mathbb Q_p(\beta)\subset L$ である。
こうして $L$ は、$p$ と素なすべての $m$ について $\zeta_m$ を含む。これらは無限個あり、lem-cp-roots-of-unity により互いの距離は $1$ なので、$L$ の剰余体での像は互いに異なる。ところが $L$ は局所体で剰余体は有限体である（局所体 の定理「標数0の局所体と有限次拡大」の 1）。矛盾である。$\square$

要点：$x$ に十分近い代数的な元 $y$ は、$x$ と同じ絶対値と同じ剰余類をもつので、値群と剰余体は $\overline{\mathbb Q_p}$ のものと同じである。

平行移動 $x\mapsto x+a$ は等長写像なので、$a=0$ で示せば十分である。$0$ の近傍は、ある $k\ge0$ について $D(0,p^{-k})$ を含む。$p$ と素な $m$ について $x_m:=p^k\zeta_m\in D(0,p^{-k})$ とすると、lem-cp-roots-of-unity により $m\ne m'$ なら $|x_m-x_{m'}|=p^{-k}|\zeta_m-\zeta_{m'}|=p^{-k}$ である（$\zeta_m\ne\zeta_{m'}$ は位数が異なるため）。よって列 $(x_m)$ は収束する部分列をもたず、$D(0,p^{-k})$ はコンパクトでない。$0$ のコンパクトな近傍があればその閉部分集合 $D(0,p^{-k})$ もコンパクトになるので、矛盾である。$\square$

$r_n:=p^{-1+2^{-n}}$（$n\ge0$）とおく。$r_0=1$ で、$r_n$ は狭義減少して $p^{-1}$ に収束し、各 $r_n$ は $p^{\mathbb Q}$ に属する。prop-cp-value-group の 1 により、$|c_n|=r_n$ となる $c_n\in\mathbb C_p$ がある。
長さ $n$ の $0,1$ の列 $s$ ごとに中心 $a_s$ を帰納的に定める。空列には $a_\emptyset:=0$、長さ $n$ の $s$ について $a_{s0}:=a_s$、$a_{s1}:=a_s+c_n$ とし、$D_s:=D(a_s,r_n)$ とおく。

• $D_{si}\subset D_s$（$i=0,1$）：$|a_{si}-a_s|\le r_n$ なので $a_{si}\in D_s$ で、$r_{n+1}< r_n$ と強三角不等式から $D(a_{si},r_{n+1})\subset D(a_{si},r_n)=D_s$ である。
• $D_{s0}\cap D_{s1}=\emptyset$：共通の点 $z$ があれば $|a_{s1}-a_{s0}|\le\max\{|a_{s1}-z|,|z-a_{s0}|\}\le r_{n+1}$ となるが、左辺は $|c_n|=r_n>r_{n+1}$ である。
  無限列 $\omega\in\{0,1\}^{\mathbb N}$ ごとに、$\omega$ の最初の $n$ 項を $\omega|_n$ として、減少列 $D_{\omega|_0}\supset D_{\omega|_1}\supset\cdots$ の共通部分を $E_\omega$ とする。すべての $\omega$ で $E_\omega\ne\emptyset$ と仮定して矛盾を導く。各 $\omega$ について $x_\omega\in E_\omega$ を選ぶ。
  $\omega\ne\omega'$ とし、最初に異なる項の位置を $n$ とする（$\omega|_n=\omega'|_n=:s$）。$x_\omega$ と $x_{\omega'}$ は $D_{s0},D_{s1}$ に 1 つずつ属し、$|x_\omega-a_{s\omega_n}|\le r_{n+1}< r_n$ などから、強三角不等式の等号の場合により $|x_\omega-x_{\omega'}|=|a_{s1}-a_{s0}|=r_n>p^{-1}$ である。
  thm-cp-number-field-completion の 1 により、各 $\omega$ について $|q_\omega-x_\omega|\le p^{-2}$ となる $q_\omega\in\overline{\mathbb Q}$ がとれる。$\omega\ne\omega'$ なら $|q_\omega-q_{\omega'}|=|x_\omega-x_{\omega'}|>p^{-1}$（ここでも等号の場合を使う）なので $q_\omega\ne q_{\omega'}$ である。よって $\omega\mapsto q_\omega$ は非可算集合 $\{0,1\}^{\mathbb N}$ から可算集合 $\overline{\mathbb Q}$ への単射になり、矛盾する。したがってある $\omega$ で $E_\omega=\emptyset$ であり、$D(a_{\omega|_n},r_n)$（$n\ge1$）が求める列である。$\square$