非Euclid幾何学

1. $x\in H^2$ なら $x_3^2=1+|\bar x|^2>|\bar x|^2$ なので $|\beta(x)|<1$ である。$w\in K$ について $y=(w,1)/\sqrt{1-|w|^2}$ とおくと、$\langle y,y\rangle=\dfrac{|w|^2-1}{1-|w|^2}=-1$、$y_3>0$ で、$\beta(y)=w$ である。逆に $\beta(x)=w$ なら $x=x_3(w,1)$ で、$\langle x,x\rangle=-1$ から $x_3=1/\sqrt{1-|w|^2}$ と決まる。
2. 段 1（測地線は平面と $H^2$ の交わり）。測地線 $\gamma(t)=\cosh t\,p+\sinh t\,v$ は 2 次元部分空間 $\Pi=\operatorname{span}\{p,v\}$ に含まれる。逆に $x=ap+bv\in\Pi\cap H^2$ なら、$\langle p,p\rangle=-1$、$\langle p,v\rangle=0$、$\langle v,v\rangle=1$ から $-a^2+b^2=-1$ で、$a=\pm\cosh t$、$b=\sinh t$ となる $t$ がある。$a=-\cosh t$ なら $x=-\gamma(-t)$ で、$\gamma(-t)\in H^2$ の第 3 成分は正なので $x_3< 0$ となり、$x\in H^2$ に反する。よって $\Pi\cap H^2=\gamma(\mathbb R)$ である。
   段 2（像は弦）。$x\in H^2$ について、$x\in\Pi$ と $(\beta(x),1)=x/x_3\in\Pi$ は同値である。$\Pi$ は第 3 成分が正の点 $p$ を含むので平面 $x_3=0$ とは異なり、$L_\Pi=\{w\in\mathbb R^2\mid(w,1)\in\Pi\}$ は $\mathbb R^2$ の直線である。1 と段 1 から、$\beta(\gamma(\mathbb R))=\beta(\Pi\cap H^2)=L_\Pi\cap K$ で、これは $\beta(p)$ を含む開いた弦である。
   段 3（どの弦も現れる）。直線 $L$ が $K$ と交わるとき、$\{(w,1)\mid w\in L\}$ が張る 2 次元部分空間を $\Pi$ とし、$w_0\in L\cap K$ をとって $p=\beta^{-1}(w_0)\in\Pi\cap H^2$ とする。$\Pi$ の上で 1 次式 $y\mapsto\langle p,y\rangle$ は $p$ で $-1\ne0$ なので、その核 $\{y\in\Pi\mid\langle p,y\rangle=0\}$ は 1 次元である。その 0 でない元は $p$ での接ベクトルなので $\langle\ ,\ \rangle$ が正で、長さ 1 に正規化したものを $v$ とすると、測地線 $\gamma(t)=\cosh t\,p+\sinh t\,v$ について段 2 から $\beta(\gamma(\mathbb R))=L\cap K$ である。
3. $x=\beta^{-1}(p)$、$y=\beta^{-1}(q)$ について
   $$ -\langle x,y\rangle=-\frac{p\cdot q-1}{\sqrt{(1-|p|^2)(1-|q|^2)}}=\frac{1-p\cdot q}{\sqrt{(1-|p|^2)(1-|q|^2)}} $$
   である。$p=0$、$|q|=r$ なら $\cosh d_K=\dfrac1{\sqrt{1-r^2}}$ で、$d=\dfrac12\log\dfrac{1+r}{1-r}$ について $e^{d}=\sqrt{\dfrac{1+r}{1-r}}$ を $\cosh d=\dfrac{e^d+e^{-d}}2$ に代入すると $\dfrac1{\sqrt{1-r^2}}$ になる。
4. $z\in D$ について $y=\dfrac{(2z,\ 1+|z|^2)}{1-|z|^2}$ とおくと、$\langle y,y\rangle=\dfrac{4|z|^2-(1+|z|^2)^2}{(1-|z|^2)^2}=-1$、$y_3>0$ で、$1+y_3=\dfrac2{1-|z|^2}$ から $\sigma(y)=z$ である。$\sigma$ は全単射なので $\sigma^{-1}(z)=y$ で、$\beta(y)=\dfrac{2z}{1+|z|^2}=\kappa(z)$ である。$\sigma$ は $H^2$ から Poincaré 円板への等長写像なので、$H^2$ の測地線を Poincaré 円板の双曲直線に移す。よって $\kappa=\beta\circ\sigma^{-1}$ は Poincaré 円板の双曲直線を、2 により $K$ の開いた弦に移す。$\square$

$\ell$ は普通の開いた線分 $ab$（両端を除く）そのもので、$K$ に含まれる。$P$ を通る直線 $L$ について、開いた弦 $L\cap K$ が $\ell$ と交わることは、$L$ が開いた線分 $ab$ と交わることと同値である（交点は $\ell\subset K$ の上にあるので、自動的に $K$ に入る）。$P$ は直線 $ab$ の上にないので $0<\angle aPb<\pi$ で、$P$ を通る直線のうち開いた線分 $ab$ と交わるのは、半直線 $Pa$ と $Pb$ にはさまれた向き（角 $\angle aPb$ の内部を通る向き）のものに限る。$P$ を通る直線の向きは $\pi$ の幅の範囲を動くので、残りの幅 $\pi-\angle aPb>0$ の向きの直線はどれも $\ell$ と交わらない。そのうち、直線 $Pa$、$Pb$ の弦だけが端点 $a$ または $b$ を $\ell$ と共有する。$\square$

$a=\theta(u,v)$、$b=\theta(v,w)$ とおく。$a+b\ge\pi$ なら $\theta(u,w)\le\pi$ から明らかなので、$a+b<\pi$ とする。$a=0$ なら $u=v$ で明らかであり、$b=0$ も同じなので、$0< a,b<\pi$ としてよい。$p=\dfrac{u-\cos a\,v}{\sin a}$、$q=\dfrac{w-\cos b\,v}{\sin b}$ とおくと、$p\cdot v=\dfrac{\cos a-\cos a}{\sin a}=0$、$|p|^2=\dfrac{1-2\cos^2a+\cos^2a}{\sin^2a}=1$ で、$q$ も同じである。$u=\cos a\,v+\sin a\,p$、$w=\cos b\,v+\sin b\,q$ から
$$ u\cdot w=\cos a\cos b+\sin a\sin b\,(p\cdot q)\ge\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b) $$
である（$\sin a,\sin b>0$、$p\cdot q\ge-1$）。$\arccos$ は減少関数で $0< a+b<\pi$ なので、$\theta(u,w)\le a+b$ である。$\square$

1. $[u]\ne[v]$ なら $u$、$v$ は 1 次独立で、両方を含む 2 次元部分空間は $\operatorname{span}\{u,v\}$ だけである。相異なる 2 次元部分空間 $\Pi_1$、$\Pi_2$ については $\Pi_1+\Pi_2=\mathbb R^3$ なので、$\dim(\Pi_1\cap\Pi_2)=2+2-3=1$ で、共有点はちょうど 1 つである（射影平面 の定理「体の上の射影平面は公理をみたす」と同じ議論）。
2. $|u\cdot v|$ は $u$、$v$ の符号の選び方によらず、Cauchy–Schwarz の不等式により $0$ 以上 $1$ 以下なので、$d$ は well-defined で $0\le d\le\frac\pi2$ である。$d([u],[v])=0$ は $|u\cdot v|=1$、つまり $u=\pm v$（Cauchy–Schwarz の等号）と同値で、これは $[u]=[v]$ のことである。対称性は明らかである。三角不等式を示す。$\arccos|c|=\min\{\arccos c,\arccos(-c)\}$ なので、$d([u],[v])=\min\{\theta(u,v),\theta(u,-v)\}$ である。3 点 $[u]$、$[v]$、$[w]$ について、必要なら $v$ を $-v$ に替えて $u\cdot v\ge0$、次に $w$ を $-w$ に替えて $v\cdot w\ge0$ とする。このとき $d([u],[v])=\theta(u,v)$、$d([v],[w])=\theta(v,w)$ で、lem-neg-sphere-triangle から
   $$ d([u],[w])\le\theta(u,w)\le\theta(u,v)+\theta(v,w)=d([u],[v])+d([v],[w]) $$
   である。
3. $\Pi$ の単位ベクトルは $e(s)$（$0\le s<2\pi$）の形で、$e(s+\pi)=-e(s)$ なので、$\Pi$ の上の点はどれも $s\in[0,\pi)$ の $[e(s)]$ と書ける。$e(s)\cdot e(t)=\cos(t-s)$ なので $d=\arccos|\cos(t-s)|$ で、$0\le t-s<\pi$ ならこれは $\min\{t-s,\pi-(t-s)\}$ に等しい。$s\ne t$ なら $d>0$ なので、写像は単射でもある。$\square$