Green作用素

$u$ が滑らかなら形式的随伴の定義そのものである。一般の $u$ は、rem-green-cited の 1 により $W^m$ で $u$ に収束する滑らかな切断の列 $u_j$ で近似する。$Lu_j\to Lu$、$u_j\to u$ が $L^2$ で成り立つので、$u_j$ についての等式で極限をとればよい。$\square$

1．超関数の意味で $Lu=0$ なら、rem-green-cited の 3 によりすべての $k$ で $u\in W^{k+m}$ であり、同 1 から $u$ は滑らかである。滑らかな $u$ では $\langle\!\langle u,L^*\varphi\rangle\!\rangle=\langle\!\langle Lu,\varphi\rangle\!\rangle$ なので、$Lu=0$ が通常の意味で成り立つ。次に有限次元性を示す。$\mathcal H_L$ は超関数の意味の解の全体と一致するので $L^2$ で閉じている（$\langle\!\langle u,L^*\varphi\rangle\!\rangle=0$ は $u$ について $L^2$ 連続な条件である）。$u\in\mathcal H_L$ には同 3 の評価が $\|u\|_m\le C_0\|u\|_0$ の形で当てはまる。したがって $\mathcal H_L$ の $L^2$ の閉単位球は $W^m$ で有界であり、包含 $W^m\hookrightarrow W^0$ はコンパクト（同 2 のコンパクトな包含 $W^m\hookrightarrow W^{m-1}$ と連続な包含の合成）なので、閉単位球は $L^2$ で相対コンパクトかつ閉、すなわちコンパクトである。閉単位球がコンパクトな Hilbert 空間は有限次元である（コンパクト作用素 の例「無限次元の恒等作用素」）。
2．成り立たないとすると、$\mathcal H_L$ に直交する $u_j\in W^m$ で $\|u_j\|_m=1$、$\|Lu_j\|\to0$ となるものがある。包含 $W^m\hookrightarrow L^2$ はコンパクトなので、部分列に取り替えて $u_j$ は $L^2$ で収束するとしてよい。rem-green-cited の 3 を $k=0$ で $u_j-u_l$ に当てると（lem-green-parts により超関数の意味の $L(u_j-u_l)$ は $L^2$ に入る）
$$ \|u_j-u_l\|_m\le C_0\bigl(\|Lu_j-Lu_l\|_0+\|u_j-u_l\|_0\bigr)\longrightarrow0 $$
なので $u_j$ は $W^m$ の Cauchy 列で、極限 $u\in W^m$ は $\|u\|_m=1$ を満たす。$L\colon W^m\to L^2$ は有界なので $Lu=\lim Lu_j=0$ であり、lem-green-parts から $u$ は超関数の意味でも $Lu=0$ を満たす。1 により $u\in\mathcal H_L$ である。一方 $\mathcal H_L^\perp$ は $L^2$ で閉じていて $u_j\to u$ は $L^2$ でも成り立つので $u\perp\mathcal H_L$ であり、$u=0$ となって $\|u\|_m=1$ に反する。$\square$

像が閉じていること．$\mathcal H_L$ に直交する $u_j\in W^m$ について $Lu_j\to f$（$L^2$）とすると、lem-green-estimate の 2 により $\|u_j-u_l\|_m\le C\|Lu_j-Lu_l\|\to0$ なので、$u_j$ は $W^m$ で収束し、極限 $u$ は $Lu=f$ を満たす。任意の $v\in W^m$ について $Lv=L(v-Hv)$（$Hv\in\mathcal H_L$）なので、$L(W^m)$ は $\mathcal H_L$ に直交する元の像の全体と同じであり、$L^2$ で閉じている。
像の直交補空間．$w\in L^2$ が $L(W^m)$ に直交するとする。$C^\infty\subset W^m$ と $L^*=L$ から、すべての $\varphi$ で $\langle\!\langle w,L^*\varphi\rangle\!\rangle=\langle\!\langle w,L\varphi\rangle\!\rangle=0$ なので、$w$ は超関数の意味で $Lw=0$ を満たし、lem-green-estimate の 1 により $w\in\mathcal H_L$ である。逆に $h\in\mathcal H_L$、$v\in W^m$ なら、lem-green-parts により $\langle\!\langle Lv,h\rangle\!\rangle=\langle\!\langle v,Lh\rangle\!\rangle=0$ である。よって $L(W^m)^\perp=\mathcal H_L$ であり、閉部分空間 $L(W^m)$ とその直交補空間 $\mathcal H_L$ の直和として 1 の前半が成り立つ。
2．$f-Hf\perp\mathcal H_L$ なので $f-Hf\in L(W^m)$ であり、$Lv=f-Hf$ となる $v\in W^m$ がある。$u:=v-Hv$ も $Lu=f-Hf$ を満たし、$u\perp\mathcal H_L$ である。$u,u'$ がともに条件を満たせば $L(u-u')=0$ なので $u-u'\in\mathcal H_L$ であり、$u-u'\perp\mathcal H_L$ と合わせて $u=u'$ となる。一意性から $G$ は線形である。評価は、まず lem-green-estimate の 2 から $\|Gf\|_m\le C\|f-Hf\|\le C\|f\|$ である。$f\in W^k$ なら $LGf=f-Hf\in W^k$（$Hf$ は滑らか）なので、rem-green-cited の 3 により $Gf\in W^{k+m}$ で
$$ \|Gf\|_{k+m}\le C_k\bigl(\|f-Hf\|_k+\|Gf\|_0\bigr) $$
である。$\|Hf\|_k\le\sum_i\|f\|\,\|h_i\|_k$ と $\|Gf\|_0\le c\|Gf\|_m\le cC\|f\|$ により右辺は $\|f\|_k$ の定数倍で抑えられる（$\|f\|\le c'\|f\|_k$）。$f$ が滑らかならすべての $k$ で $Gf\in W^{k+m}$ なので、rem-green-cited の 1 により $Gf$ は滑らかである。これで 1 の後半も分かる：滑らかな $f$ は $f=Hf+L(Gf)$ と書け、$L(C^\infty)\subset L(W^m)$ は $\mathcal H_L$ に直交する。
3．$LG=I-H$ と $HG=0$ は定義である。$h\in\mathcal H_L$ なら $h-Hh=0$ なので $Gh$ は $Lu=0$、$u\perp\mathcal H_L$ の解、すなわち $0$ であり、$GH=0$ である。$u\in C^\infty$ について $Lu\perp\mathcal H_L$ だから $H(Lu)=0$ であり、$u-Hu$ は $\mathcal H_L$ に直交して $L(u-Hu)=Lu=Lu-H(Lu)$ を満たすので、一意性から $G(Lu)=u-Hu$ である。
4．$Gf,Gg\in W^m$ は $\mathcal H_L$ に直交するので、$g=Hg+LGg$ を使って
$$ \langle\!\langle Gf,g\rangle\!\rangle=\langle\!\langle Gf,LGg\rangle\!\rangle=\langle\!\langle LGf,Gg\rangle\!\rangle=\langle\!\langle f-Hf,Gg\rangle\!\rangle=\langle\!\langle f,Gg\rangle\!\rangle $$
である。2 番目の等号は、$v,w\in W^m$ について $\langle\!\langle Lv,w\rangle\!\rangle=\langle\!\langle v,Lw\rangle\!\rangle$ が成り立つことによる（$w$ を滑らかな切断で $W^m$ 近似し、lem-green-parts と $L^*=L$ を使って極限をとる）。$\square$

thm-green-main の 1 により $C^\infty(M,E)=\mathcal H_L\oplus L(C^\infty(M,E))$ であり、$H$ はこの分解の第 1 成分への射影である。$h\in\mathcal H_L$ なら $L(Th)=T(Lh)=0$ なので $Th\in\mathcal H_L$ であり、$T(Lu)=L(Tu)\in L(C^\infty(M,E))$ である。$T$ は 2 つの成分をそれぞれ保つので、射影 $H$ と可換である。次に $f\in C^\infty(M,E)$ について $u:=TGf$ とおくと
$$ Lu=T(LGf)=T(f-Hf)=Tf-H(Tf),\qquad Hu=T(HGf)=0 $$
であり、thm-green-main の 2 の一意性から $u=G(Tf)$ である。$\square$

要点：$G$ は $L^2\to W^m$ で有界なので、Rellich の定理により $L^2$ 上のコンパクトな自己随伴作用素であり、スペクトル定理 の定理「コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理」を当てる。$G$ の固有値 $\mu\neq0$ の固有ベクトルは、$G$ が滑らかさを上げることから滑らかで、$L$ の固有値 $\mu^{-1}$ の固有切断になる。