不分岐コホモロジー

前提知識: Galoisコホモロジー, エタールコホモロジー, 離散付値環, 関数体, Tate捻り

不分岐コホモロジーとは

体 $k$ 上有限生成な拡大体 $K$（たとえば $k$ 上の代数多様体の関数体）の Galois コホモロジー $H^i(K,M)$ の類のうち、$K$ の「どの境界でも分岐しない」ものだけを集めた部分群を不分岐コホモロジーという。境界とは、$k$ の上で自明な $K$ の離散付値のことであり、分岐の大きさは剰余写像で測る。
定義が $K$ と $k$ だけで決まるので、不分岐コホモロジーは $K/k$ の同型、すなわち $k$ 上の多様体の双有理同値で変わらない不変量である。1 次ではエタール基本群のアーベル化の情報、2 次では Brauer 群を与え、3 次以上は新しい双有理不変量になる。Grothendieck は Brauer 群の双有理不変性を高次へ広げる目的で、固有かつ滑らかなモデルのコホモロジーの像としてこの種の不変量を導入した（「Grothendieck による定義」の節）。

定義

以下、$k$ は体、$n$ は $k$ で可逆な正の整数、$j$ は整数、$M$ は $\operatorname{Gal}(k_s/k)$ 加群 $\mu_n^{\otimes j}=\mathbb Z/n(j)$ とする（Tate捻り）。$K$ は $k$ 上有限生成な拡大体で、$H^i(K,M)$ は $K$ の絶対 Galois 群のコホモロジー（$\operatorname{Spec}K$ のエタールコホモロジーと同じ）を表す。$M(-1):=\mathbb Z/n(j-1)$ と書く。

$K/k$ の離散付値環 $A$ の Hensel 化の商体を $K_A^h$ とし、その絶対 Galois 群を $G_A$、惰性群を $I_A$ と書くと、$G_A/I_A\cong\operatorname{Gal}(\kappa(A)_s/\kappa(A))$ である。$n$ が剰余標数と素なので、$I_A$ の $M$ への作用は自明で、次が成り立つことが知られている（GS06 第6章、CT95。本記事ではこの事実を証明せずに用いる）：
$$ H^0(I_A,M)=M,\qquad H^1(I_A,M)\cong M(-1),\qquad H^q(I_A,M)=0\ (q\geq2). $$
したがって Hochschild–Serre スペクトル系列は 2 行だけになり、長完全列
$$ \cdots\to H^i(\kappa(A),M)\xrightarrow{\ \mathrm{inf}\ }H^i(K_A^h,M)\xrightarrow{\ \ \ }H^{i-1}(\kappa(A),M(-1))\to H^{i+1}(\kappa(A),M)\to\cdots $$
を与える。

$i=0$ では剰余の値域が $H^{-1}=0$ なので $H^0_{\mathrm{nr}}(K/k,M)=H^0(K,M)$ である。$K=k$ のときは $K/k$ の離散付値環が存在しないので、$H^i_{\mathrm{nr}}(k/k,M)=H^i(k,M)$ である。

1次の剰余の意味

$i=1$、$j=0$（係数 $\mathbb Z/n$）のとき、$H^1(K,\mathbb Z/n)=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\operatorname{Gal}(K_s/K),\mathbb Z/n)$ であり、上の長完全列の中央の写像は惰性群への制限
$$ H^1(K_A^h,\mathbb Z/n)\to H^1(I_A,\mathbb Z/n)=\operatorname{Hom}(I_A,\mathbb Z/n) $$
である（Hochschild–Serre の辺準同型）。よって $\chi\in H^1(K,\mathbb Z/n)$ が $A$ で不分岐であることは、準同型 $\chi$ が $A$ の惰性群を消すこと、すなわち $\chi$ に対応する巡回拡大が $A$ で不分岐であることと同値である。たとえば $K=k(t)$、$\mu_n\subset k$ のとき、Kummer 拡大 $K(\sqrt[n]{t})/K$ は $t=0$ と $t=\infty$ に対応する離散付値環で分岐する。「不分岐」という名前はこの場合から来ている。

基本性質

分離閉性は外せない。反例の節の「$k=\mathbb Q$ の場合」を見よ。

固有なモデルによる記述

$K$ が $k$ 上の固有な整スキーム $X$ の関数体であるとき、$X$ のコホモロジーから不分岐な類が得られる。以下、$H^i(X,M)\to H^i(K,M)$ は生成点 $\operatorname{Spec}K\to X$ への引き戻しを表す。$H^i(K,M)$ は $X$ の空でない開集合 $V$ についての帰納極限 $\varinjlim_VH^i(V,M)$ と一致する（エタールコホモロジーと極限の交換。標準的な事実として用いる）。

この証明は $X$ の滑らかさを使わないが、固有性は本質的に使う。固有でない $X$ では、付値 $A$ の中心が $X$ の上に無いことがあり、主張は成り立たない（反例の節）。

1次での一致

最後の文の「種数が正なら $H^1(C,\mathbb Z/n)\neq0$」は、$H^1(C,\mu_n)\cong\operatorname{Pic}(C)[n]$ と、種数 $g$ の曲線の Jacobian の $n$ 捩れ点が $(\mathbb Z/n)^{2g}$ をなすことによる（後者は本記事では証明しない）。

2次での一致とBrauer群

2 次の不分岐コホモロジーは、Brauer 群と結びつく。ここでは $\ell$ を $k$ で可逆な素数とし、$\operatorname{Br}'(Y):=H^2(Y_{\mathrm{et}},\mathbb G_m)$ の $\ell$ 準素部分を $\operatorname{Br}'(Y)\{\ell\}$ と書く（コホモロジー的Brauer群）。

一方、現代の定義の側では、$X$ が $k$ 上固有かつ滑らかなとき
$$ H^2_{\mathrm{nr}}(K/k,\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(1))\cong\operatorname{Br}'(X)\{\ell\} $$
が成り立つことが知られている（CTS21。証明には Brauer群の純性 を使う。本記事では証明しない）。これを認めると、上の命題と合わせて、2 次では像による定義と剰余による定義が一致する。とくに $\operatorname{Br}'(X)\{\ell\}$ は $X$ の双有理不変量であり、これは Brauer群の双有理不変性 の $\ell$ 準素部分の別証明を与える。

3次以上での注意

命題「固有なモデルからの類は不分岐」により、固有かつ滑らかな $X$ について常に
$$ \operatorname{Im}\bigl(H^i(X,M)\to H^i(K,M)\bigr)\subseteq H^i_{\mathrm{nr}}(K/k,M) $$
が成り立つ。Bloch–Ogus の理論（BO74）によれば、$X$ 上の Zariski 層 $\mathcal H^i$（$V\mapsto H^i(V,M)$ の層化）の大域切断が不分岐コホモロジーと一致し、左辺は余次元のスペクトル系列の $E_\infty^{0,i}$ 項、右辺は $E_2^{0,i}$ 項として現れるとされる（引用。本記事では証明しない）。この枠組みでは $p>q$ のとき $E_2^{p,q}=0$ なので、$i\leq2$ では $E_2^{0,i}$ から出る微分がすべて $0$ になり、上の 1 次・2 次の一致と整合する。$i\geq3$ では $E_2^{0,i}\to E_2^{2,i-1}$ などの微分が消えるとは限らないので、3 次以上で二つの定義が一致するとは主張できない。3 次以上の不分岐コホモロジーを扱うときは、剰余による定義を用いる。

例

• 次数 0。$H^0_{\mathrm{nr}}(K/k,M)=H^0(K,M)$。
• $K=k$。$H^i_{\mathrm{nr}}(k/k,M)=H^i(k,M)$。とくに $k$ が分離閉なら $i\geq1$ で $0$ である。
• 有理関数体の 1 次。$k$ が代数閉なら $H^1_{\mathrm{nr}}(k(t)/k,\mathbb Z/n)=0$（上の例「有理関数体」）。
• 曲線の 1 次。$k$ 代数閉、$C$ が種数 $g$ の滑らかな射影曲線なら $H^1_{\mathrm{nr}}(k(C)/k,\mathbb Z/n)\cong H^1(C,\mathbb Z/n)$ で、これは $(\mathbb Z/n)^{2g}$ と同型である（後者の同型は Jacobian の $n$ 捩れ点の構造による。本記事では証明しない）。
• Brauer 群。$X$ が固有かつ滑らかなら、2 次の $\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(1)$ 係数の不分岐コホモロジーは $\operatorname{Br}'(X)\{\ell\}$ である（「2次での一致とBrauer群」の節。引用を含む）。

反例

Grothendieckによる定義

不分岐コホモロジーに相当する不変量は、Grothendieck の「Brauer 群 III」（Gro68）の第 9 節で、Brauer 群の双有理不変性を高次へ広げる目的で導入された。原論文は、ℓ 進コホモロジーにおける第二種微分の類似物を探すことを動機に挙げ、ℓ 進版と de Rham 版の不変量を同じ motif の二つの実現として語っている。定義は剰余写像ではなく、固有かつ滑らかなモデルのコホモロジーの像による。以下、原論文の記号ではなく現在の記号で述べる。
設定。$k$ を体、$U$ を $k$ 上有限型かつ滑らかな連結スキーム、$G$ を $U$ 上の局所定数なアーベル層で、茎が有限かつ位数が $\operatorname{char}k$ と素なものとする。$U$ を稠密開集合として含む $k$ 上固有かつ滑らかなスキーム $X$ と、$X$ 上の局所定数層 $F$ で $F|_U=G$ となるものの組 $(X,F)$ を、$(U,G)$ の良いコンパクト化と呼ぶ。

この定義が意味をもつには、次の三点が要る。原論文はいずれも短く述べるだけで、論証の一部を書いていない。

固有性は外せない。反例「固有でないモデル」の開埋め込み $\mathbb G_m\hookrightarrow\mathbb P^1_k$ は、固有性以外の仮定をすべて満たすが、結論が成り立たない。原論文の対応する主張は「固有」の語を欠いた形で印字されているが、原論文がこの主張を使う箇所では、当てる射はどれも固有なスキームの間の射なので、下の結論には影響しない。

現代の定義との関係。$G$ が $k$ 上の加群 $M=\mu_n^{\otimes j}$ から来る場合、良いコンパクト化の $X$ を一つ固定すると、Grothendieck の $H^i_{\mathrm{Gr}}(K,M)$ は $H^i(X,M)\to H^i(K,M)$ の像そのものである（像をとる操作は有向帰納極限と交換し、$H^i(K,M)=\varinjlim_VH^i(V,M)$ であるため）。したがって本記事の前半により

• 常に Grothendieck の群は剰余による群に含まれる（命題「固有なモデルからの類は不分岐」）。
• $i=1$ で係数が定数 $\mathbb Z/n$ なら両者は一致する（定理「1次ではモデルのコホモロジーと一致する」。純性を入力とする）。
• $i=2$ で係数が $\mu_{\ell^\infty}$ なら、両者はともに $\operatorname{Br}'(X)\{\ell\}$ と一致する（「2次での一致とBrauer群」の節。引用を含む）。
• $i\geq3$ では一致を主張しない。
  Grothendieck の定義は良いコンパクト化の存在を前提にする。原論文はその存在を、標数 0 では広中の特異点解消により、完全体上の次元 $2$ 以下では Abhyankar の結果により保証すると述べる（引用。本記事では証明しない）。剰余による定義はモデルを必要としないので、正標数の高次元でもそのまま使える。

原論文の他の主張。原論文は、$G_K$ が有限なら不変量は有限であり、超越次数を超える次数では $0$ であると、$k$ に仮定を置かずに述べている。反例「$k=\mathbb Q$ の場合」が示すとおり、どちらにも $k$ が分離閉であるという仮定が要る。その仮定の下では、有限性は固有スキームのコホモロジーの有限性定理（本記事では証明しない）から、消滅は命題「分離閉体上の消滅」から従う。原論文はさらに、代数閉体上で 1 次の不変量が $\mu_{\ell^\infty}$ 係数で $\operatorname{Pic}(X)$ の $\ell$ 準素捩れ部分を、$\mathbb Z_\ell(1)$ 係数で $T_\ell(\operatorname{Pic}(X))$ を、2 次の不変量が $\mu_{\ell^\infty}$ 係数で $\operatorname{Br}'(X)$ の $\ell$ 準素部分を、$\mathbb Z_\ell(1)$ 係数で $H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))$ を因子類の像で割った「超越的な部分」を与えると述べる。最後の計算はコホモロジー的な純性を入力とする。係数による答えの違いについては Tate捻り を参照。

余次元フィルトレーションとの関係

$X$ が $k$ 上固有かつ滑らかで既約なとき、$H^i(X,M)$ の類のうち、ある空でない開集合の上で $0$ になるもの全体を $N^1H^i(X,M)$ とすると、
$$ H^i(X,M)/N^1H^i(X,M)\cong\operatorname{Im}\bigl(H^i(X,M)\to H^i(K,M)\bigr) $$
である（有向帰納極限では、元が $0$ に写るのはある段で $0$ に写るときに限るため）。左辺は 余次元フィルトレーション の最初の随伴次数であり、Grothendieck の不変量はこの商として現れる。原論文はこの商を高次のフィルトレーションの最初の段として位置づけている。

補足

• その後の展開（引用）。Artin と Mumford（AM72）は、Brauer 群に相当する捩れの不変量を用いて、単有理だが有理でない 3 次元多様体の例を与えたとされる。Colliot-Thélène と Ojanguren（CTO89）は、3 次の不分岐コホモロジーを用いて、この方法を高次へ広げたとされる。剰余による定義と、純性・Gersten 予想との関係は CT95 で系統的に扱われているとされる。
• 安定双有理不変性（引用）。$H^i_{\mathrm{nr}}(K(t)/k,M)\cong H^i_{\mathrm{nr}}(K/k,M)$ が成り立ち、とくに $k$ 上安定有理な $K$ では $H^i_{\mathrm{nr}}(K/k,M)=H^i(k,M)$ になることが知られている（CT95）。この性質が有理性の問題への応用の基礎である。
• 記号。$H^i_{\mathrm{nr}}$ の添字 nr は non ramifié（不分岐）の略である。

関連項目

• 前提: Galoisコホモロジー, エタールコホモロジー, 離散付値環, 関数体, Tate捻り
• 2 次の場合: コホモロジー的Brauer群, Brauer群の純性, Brauer群の双有理不変性
• 道具: Kummer完全列, エタール基本群, Zariski–Nagataの純性定理, 局所コホモロジー
• 発展: 余次元フィルトレーション, ℓ進コホモロジー, 有理性問題