Fubini–Study計量

同義語：Fubini-Study計量フビニ・スタディ計量Fubini–Study形式Fubini–Study metric

概要

前提知識: 射影空間, Kähler形式, エルミート計量, 正則ベクトル束

Fubini–Study計量（Fubini–Study metric）とは、複素射影空間 $\mathbb P^n$ 上の Kähler 計量で、射影 $\pi\colon\mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}\to\mathbb P^n$ による引き戻しが
$$ \pi^*\omega_{\mathrm{FS}}=\frac i2\,\partial\bar\partial\log|x|^2\qquad(|x|^2=|x_0|^2+\cdots+|x_n|^2) $$
となる Kähler 形式 $\omega_{\mathrm{FS}}$ をもつもののことである。アフィン座標 $z=(z_1,\dots,z_n)$（$[x]=[1:z_1:\dots:z_n]$）では
$$ \omega_{\mathrm{FS}}=\frac i2\,\partial\bar\partial\log(1+|z|^2),\qquad h_{\mathrm{FS}}=\sum_{j,k}\frac{(1+|z|^2)\,\delta_{jk}-\bar z_jz_k}{(1+|z|^2)^2}\,dz_j\otimes d\bar z_k $$
である。$\omega_{\mathrm{FS}}$ を Fubini–Study 形式という。
$\mathbb P^n$ は最も基本的なコンパクト Kähler 多様体であり、その Kähler 形式として Fubini–Study 形式がある。射影空間の複素部分多様体（非特異射影多様体）はこれを制限して Kähler 多様体になり（Kähler多様体の命題「滑らかな射影多様体はKähler」）、コンパクト Kähler 多様体の Hodge 理論の結果が射影多様体に使えるのはこのためである。また $\omega_{\mathrm{FS}}$ は直線束 $\mathcal O(1)$ の Chern 曲率の定数倍であり（Chern接続）、そのコホモロジー類の $\frac1\pi$ 倍は $H^2(\mathbb P^n;\mathbb Z)$ の生成元を表す。
この記事では次を証明する。

$\omega_{\mathrm{FS}}$ が $\mathbb P^n$ 上の形式として矛盾なく定まり、閉じた正の実 $(1,1)$ 形式であること（主定理）。
$\omega_{\mathrm{FS}}$ はユニタリ群 $U(n+1)$ の作用で不変であり、$U(n+1)$ で不変な Hermite 計量は Fubini–Study 計量の正の定数倍に限ること。
体積が $\int_{\mathbb P^n}\omega_{\mathrm{FS}}^n/n!=\pi^n/n!$ であること。
$\mathbb P^1$ では半径 $\frac12$ の球面の計量になること。
規格化はこの記事では $\frac i2$ にとる。これは $\mathbb C^n$ の標準形式を $\frac i2\sum dz_j\wedge d\bar z_j=\sum dx_j\wedge dy_j$ とする Kähler多様体・Kähler形式・エルミート計量の記事の規格化と同じで、Wel08 Ch. V Example 4.5（pp. 189–190）とも一致する。

定義と主定理

$\mathbb P^n$ を $\mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}$ の複素直線の全体とし、$\pi(x)=[x]$、$U_i:=\{[x]\mid x_i\neq0\}$ とする（射影空間）。$U_i$ のアフィン座標は $z_j=x_j/x_i$（$j\neq i$）であり、$s_i([x]):=x/x_i$ は $\pi\circ s_i=\mathrm{id}_{U_i}$ をみたす正則写像（$\pi$ の局所的な切断）である。

Fubini–Study 形式

$\mathbb P^n$ 上の 2 形式 $\omega$ で $\pi^*\omega=\Omega:=\frac i2\partial\bar\partial\log|x|^2$ をみたすものがただ 1 つある。これを $\omega_{\mathrm{FS}}$ と書く。
$U_i$ のアフィン座標 $z$ では $\omega_{\mathrm{FS}}=\frac i2\partial\bar\partial\log(1+|z|^2)$ であり、
$$ \omega_{\mathrm{FS}}=\frac i2\sum_{j,k}g_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k,\qquad g_{j\bar k}=\frac{\partial^2\log(1+|z|^2)}{\partial z_j\partial\bar z_k}=\frac{(1+|z|^2)\,\delta_{jk}-\bar z_jz_k}{(1+|z|^2)^2} $$
と書ける。
$\omega_{\mathrm{FS}}$ は閉じた実 $(1,1)$ 形式で、正である（行列 $(g_{j\bar k})$ はどの点でも正定値）。したがって $\omega_{\mathrm{FS}}$ は Kähler 形式であり、$\mathbb P^n$ は Kähler 多様体である。

$\pi^*$ の単射性．$U_i$ 上の形式 $\alpha$ について $s_i^*\pi^*\alpha=(\pi\circ s_i)^*\alpha=\alpha$ なので、$\pi^*\alpha=0$ なら $\alpha=0$ である。よって $\pi^*$ は形式の上で単射であり、1 の一意性が従う。
局所的な構成．$\pi^{-1}(U_i)=\{x_i\neq0\}$ の上で
$$ \log|x|^2=\log|x_i|^2+\log\frac{|x|^2}{|x_i|^2}=\log|x_i|^2+\pi^*u_i,\qquad u_i:=\log(1+|z|^2) $$
である（$|x|^2/|x_i|^2=1+\sum_{j\neq i}|x_j/x_i|^2$ は $[x]$ だけで決まる）。$\{x_i\neq0\}$ の各点の近くで対数の正則な枝をとると $\log|x_i|^2=\log x_i+\overline{\log x_i}$ であり、$\bar\partial\log x_i=0$、$\partial\,\overline{\log x_i}=0$ から $\partial\bar\partial\log|x_i|^2=0$ となる。$\pi$ は正則なので $\partial$、$\bar\partial$ は $\pi^*$ と可換であり、
$$ \Omega=\frac i2\partial\bar\partial\pi^*u_i=\pi^*\Bigl(\frac i2\partial\bar\partial u_i\Bigr)\qquad(\pi^{-1}(U_i)\text{ 上}) $$
を得る。$\omega_i:=\frac i2\partial\bar\partial u_i$ とおくと $\pi^*\omega_i=\Omega$ である。$U_i\cap U_j$ 上では $\pi^*\omega_i=\Omega=\pi^*\omega_j$ なので、単射性から $\omega_i=\omega_j$ である。よって $\omega_i$ たちは $\mathbb P^n$ 上の 1 つの形式 $\omega_{\mathrm{FS}}$ に貼り合い、1 と 2 の最初の式が成り立つ。
係数．$\rho:=1+|z|^2$ とすると $\partial\rho/\partial\bar z_k=z_k$ なので
$$ \frac{\partial^2\log\rho}{\partial z_j\partial\bar z_k}=\frac{\partial}{\partial z_j}\Bigl(\frac{z_k}{\rho}\Bigr)=\frac{\delta_{jk}}{\rho}-\frac{z_k\bar z_j}{\rho^2} $$
であり、$\partial\bar\partial u=\sum_{j,k}\frac{\partial^2u}{\partial z_j\partial\bar z_k}dz_j\wedge d\bar z_k$ から 2 の式を得る。
閉・実・正．局所的に $\partial\bar\partial u_i=-\bar\partial\partial u_i=-d(\partial u_i)$（$\partial\partial=0$ による）なので $d\omega_{\mathrm{FS}}=0$ である。$u_i$ は実数値なので $\overline{\frac i2\partial\bar\partial u_i}=-\frac i2\bar\partial\partial u_i=\frac i2\partial\bar\partial u_i$ で、$\omega_{\mathrm{FS}}$ は実である。型は定義から $(1,1)$ である。正値性：$v\in\mathbb C^n$ について、Cauchy–Schwarz の不等式 $|\sum_j\bar z_jv_j|^2\le|z|^2|v|^2$ により
$$ \sum_{j,k}g_{j\bar k}v_j\bar v_k=\frac{\rho|v|^2-|\sum_j\bar z_jv_j|^2}{\rho^2}\ge\frac{(1+|z|^2)|v|^2-|z|^2|v|^2}{\rho^2}=\frac{|v|^2}{\rho^2} $$
なので $(g_{j\bar k})$ は正定値である。正の実 $(1,1)$ 形式で閉じたものは Kähler 形式である（Kähler形式の定義「正の $(1,1)$ 形式と Kähler 形式」）。$\square$

エルミート計量の定理「3 つの構造の対応」により、$\omega_{\mathrm{FS}}$ に対応する Hermite 計量が $h_{\mathrm{FS}}=\sum g_{j\bar k}\,dz_j\otimes d\bar z_k$、Riemann 計量が $g_{\mathrm{FS}}=\operatorname{Re}h_{\mathrm{FS}}$ で、これらを Fubini–Study 計量という。原点 $z=0$ では $g_{j\bar k}=\delta_{jk}$ なので、$h_{\mathrm{FS}}$ は $\mathbb C^n$ の標準的な計量に一致する。Wel08 Ch. V Example 4.5（pp. 189–190）は同じ形式を斉次座標の式で与えて正値性を示し、Dem12 Ch. VI Example (4.4)（p. 297）は $\frac{i}{2\pi}$ で規格化した形式（この記事の $\frac1\pi\omega_{\mathrm{FS}}$）を使う。Kob87 (3.4.4)（p. 71）の計量 $\sum g_{j\bar k}\,dz_jd\bar z_k$ はこの記事の $h_{\mathrm{FS}}$ と同じである。

$\mathbb P^1$ と半径 $\frac12$ の球面

$n=1$ では $\omega_{\mathrm{FS}}=\frac{dx\wedge dy}{(1+|z|^2)^2}$、$g_{\mathrm{FS}}=\frac{dx^2+dy^2}{(1+|z|^2)^2}$（$z=x+iy$）である。$\mathbb R^3$ の原点を中心とする半径 $R$ の球面の北極を除いた部分を、立体射影の逆写像
$$ \Phi_R(z)=\frac{R}{1+|z|^2}\bigl(2x,\ 2y,\ |z|^2-1\bigr) $$
でパラメータ付けると、誘導される計量は $\frac{4R^2(dx^2+dy^2)}{(1+|z|^2)^2}$ である。

計算を開く

$R=\frac12$ とすると $g_{\mathrm{FS}}$ に一致する。$\Phi_R$ は $\infty$ を北極に写す微分同相 $\mathbb P^1\to S^2$ に延び、稠密な開集合の上で 2 つの計量が一致するので、連続性により全体で等長である。したがって $(\mathbb P^1,g_{\mathrm{FS}})$ は半径 $\frac12$ の球面と等長であり、Gauss 曲率は一定値 $4$、面積は $4\pi(\frac12)^2=\pi$ である。面積 $\pi$ は Kähler多様体の節「射影空間とFubini–Study形式」の積分と一致する。

対称性

$U\in U(n+1)$（ユニタリ行列）は $\mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}$ の複素直線を複素直線に写すので、$f_U([x]):=[Ux]$ は $\mathbb P^n$ の双正則写像である。

ユニタリ群による不変性と一意性

すべての $U\in U(n+1)$ について $f_U^*\omega_{\mathrm{FS}}=\omega_{\mathrm{FS}}$ である。
$U(n+1)$ は $\mathbb P^n$ に推移的に作用する。
$\mathbb P^n$ の Hermite 計量 $k$ が、すべての $U\in U(n+1)$ について $f_U^*k=k$ をみたすなら、ある定数 $c>0$ について $k=c\,h_{\mathrm{FS}}$ である。

1．$\pi\circ U=f_U\circ\pi$ である。$U$ は正則な線形写像で $|Ux|=|x|$ なので $U^*\Omega=\frac i2\partial\bar\partial\log|Ux|^2=\Omega$ である。よって $\pi^*(f_U^*\omega_{\mathrm{FS}})=U^*\pi^*\omega_{\mathrm{FS}}=U^*\Omega=\Omega=\pi^*\omega_{\mathrm{FS}}$ であり、prf-fs-main の $\pi^*$ の単射性から $f_U^*\omega_{\mathrm{FS}}=\omega_{\mathrm{FS}}$ である。
2．$e_0,\dots,e_n$ を標準基底、$o:=[e_0]$ とする。任意の $[x]$ について、単位ベクトル $x/|x|$ を最初の元とする正規直交基底を並べた行列 $U$ はユニタリで $Ue_0=x/|x|$ なので、$f_U(o)=[x]$ である。
3．$B\in U(n)$ について $U_B:=\begin{pmatrix}1&0\\0&B\end{pmatrix}\in U(n+1)$ とする。$U_0$ のアフィン座標で $f_{U_B}(z)=Bz$ であり、$f_{U_B}(o)=o$ である。よって $o$ での正則接空間 $T^{1,0}_o\mathbb P^n\cong\mathbb C^n$（基底 $\partial/\partial z_j$）の上で、$df_{U_B}$ は行列 $B$ として働き、不変性から $k_o(Bv,Bw)=k_o(v,w)$ がすべての $B\in U(n)$ について成り立つ。$|v|=|w|=1$ なら $Bv=w$ となる $B\in U(n)$ があるので $k_o(v,v)=k_o(w,w)$ であり、この共通の値を $c>0$ とすると $k_o(v,v)=c|v|^2$ がすべての $v$ で成り立つ。Hermite 形式は分極公式
$$ k_o(v,w)=\frac14\sum_{m=0}^{3}i^m\,k_o(v+i^mw,\ v+i^mw) $$
で 2 乗の値から決まるので、$k_o=c\,(\text{標準の Hermite 内積})=c\,h_{\mathrm{FS},o}$ である。任意の点 $p$ は 2 により $p=f_U(o)$ と書け、$k$ と $h_{\mathrm{FS}}$ はともに $f_U$ で不変なので、$k_p=c\,h_{\mathrm{FS},p}$ である。$\square$

不変性は Wel08 Ch. V Example 4.5（p. 190）でも注意されている。$\mathbb P^n$ は球面 $S^{2n+1}$ を円周 $S^1$ の作用で割った空間でもある（Dem12 Ch. V §15.A、p. 277）。

体積とコホモロジー類

体積

アフィン座標で $\frac{\omega_{\mathrm{FS}}^n}{n!}=\frac{1}{(1+|z|^2)^{n+1}}\,dx_1\wedge dy_1\wedge\cdots\wedge dx_n\wedge dy_n$ であり、
$$ \int_{\mathbb P^n}\frac{\omega_{\mathrm{FS}}^n}{n!}=\frac{\pi^n}{n!},\qquad\int_{\mathbb P^n}\Bigl(\frac{\omega_{\mathrm{FS}}}{\pi}\Bigr)^n=1 $$
である。

体積形式．エルミート計量の節「多様体の Hermite 計量」の式により $\frac{\omega^n}{n!}=\det(g_{j\bar k})\,dx_1\wedge dy_1\wedge\cdots\wedge dx_n\wedge dy_n$ である。thm-fs-main の 2 から $(g_{j\bar k})=\rho^{-2}(\rho I-ww^*)$（$\rho=1+|z|^2$、$w$ は成分 $\bar z_j$ の列ベクトル）である。$ww^*$ は $w$ の上で $|w|^2=|z|^2$ 倍、$w$ に直交する $n-1$ 次元の部分空間の上で $0$ なので、$\det(\rho I-ww^*)=\rho^{n-1}(\rho-|z|^2)=\rho^{n-1}$ であり、$\det(g_{j\bar k})=\rho^{n-1}/\rho^{2n}=\rho^{-(n+1)}$ である。
積分．$\mathbb P^n\setminus U_0=\{x_0=0\}$ は実余次元 $2$ の閉部分多様体なので測度 $0$ であり、積分は $U_0\cong\mathbb C^n$ の上で計算すればよい。半径 $r$ の球の体積が $\pi^nr^{2n}/n!$ であることから、$u=|z|^2$ として $\int_{\mathbb C^n}f(|z|^2)\,d\lambda=\frac{\pi^n}{(n-1)!}\int_0^\infty u^{n-1}f(u)\,du$ である。$f(u)=(1+u)^{-n-1}$ に当て、$t=u/(1+u)$（$dt=du/(1+u)^2$）と置換すると
$$ \int_0^\infty\frac{u^{n-1}}{(1+u)^{n+1}}\,du=\int_0^1t^{n-1}\,dt=\frac1n $$
なので、体積は $\frac{\pi^n}{(n-1)!}\cdot\frac1n=\frac{\pi^n}{n!}$ である。2 つ目の式はこれに $n!/\pi^n$ を掛けたものである。$\square$

$n=1$ では面積 $\pi$ で、ex-fs-p1 と一致する。Chern接続の命題「射影空間の $\mathcal O(-1)$ と $\mathcal O(1)$ の曲率」により、$\mathcal O(1)$ に $\mathbb C^{n+1}$ の標準計量から誘導される計量を入れると
$$ \frac{i}{2\pi}\Theta(\mathcal O(1))=\frac1\pi\,\omega_{\mathrm{FS}} $$
である。したがって $\frac1\pi[\omega_{\mathrm{FS}}]$ は第 1 Chern 類 $c_1(\mathcal O(1))$ の実係数の像であり（第1Chern類の定理「3つの定義の一致」）、$H^*(\mathbb P^n;\mathbb Z)=\mathbb Z[h]/(h^{n+1})$ の生成元 $h=c_1(\mathcal O(1))$ を表す（Dem12 Ch. V Theorem (15.10)、p. 280。Ch. VI Example (4.4)、p. 297）。prop-fs-volume の 2 つ目の式は $h^n$ が基本類と対 $1$ をもつことの微分形式による確認である。

反標準束の曲率

正則接束 $T^{1,0}\mathbb P^n$ に $h_{\mathrm{FS}}$ を入れると、行列式束 $\det T^{1,0}\mathbb P^n=K^{-1}$（標準束 $K$ の双対）は枠 $\partial/\partial z_1\wedge\cdots\wedge\partial/\partial z_n$ をもち、その長さの 2 乗は $\det(g_{j\bar k})=\rho^{-(n+1)}$ である（prf-fs-volume）。Chern接続の系「直線束の Chern 曲率」により
$$ \Theta(K^{-1})=-\partial\bar\partial\log\rho^{-(n+1)}=(n+1)\,\partial\bar\partial\log\rho,\qquad i\Theta(K^{-1})=2(n+1)\,\omega_{\mathrm{FS}} $$
である。これは $\mathcal O(n+1)$ に誘導される計量の曲率 $(n+1)\partial\bar\partial\log\rho$（Chern接続の節「例」）と同じ形式である。$i\Theta(K^{-1})$ は Kähler 計量の Ricci 形式にあたり（Kob87 (1.7.15)、p. 25 は $\rho=\sqrt{-1}\,d''d'\log\det(g_{i\bar j})$ と書く）、それが Kähler 形式の定数倍であることは、Fubini–Study 計量が Kähler–Einstein 計量であることを意味する。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
複素スカラー倍での不変性	$\mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の $\frac i2\partial\bar\partial\lvert x\rvert^2$	$\pi^*\omega=\Omega$ となる $\mathbb P^n$ 上の形式 $\omega$ がある
商をとること	$\mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の $\Omega=\frac i2\partial\bar\partial\log\lvert x\rvert^2$	$\Omega$ は正（非退化）
複素部分多様体であること	$\mathbb{RP}^n\subset\mathbb P^n$（$n\ge1$）	制限した 2 形式が非退化
局所的なポテンシャル（大域では）	$\mathbb P^n$ 上の $\omega_{\mathrm{FS}}$	$\omega_{\mathrm{FS}}=\frac i2\partial\bar\partial f$ となる大域的な関数 $f$ がある

1 行目：$\Omega_0:=\frac i2\partial\bar\partial|x|^2=\frac i2\sum dx_j\wedge d\bar x_j$ は、スカラー倍 $m_\lambda(x)=\lambda x$ で $m_\lambda^*\Omega_0=|\lambda|^2\Omega_0$ となる。$\pi\circ m_\lambda=\pi$ なので、$\Omega_0=\pi^*\omega$ なら $m_\lambda^*\Omega_0=\Omega_0$ でなければならないが、$|\lambda|\neq1$ で成り立たない。$\log$ をとることで $\log|\lambda x|^2=\log|x|^2+\log|\lambda|^2$ となり、差が定数になるので $\partial\bar\partial$ で消える。これが $\log|x|^2$ を使う理由である。
2 行目：$\Omega=\pi^*\omega_{\mathrm{FS}}$ で、$d\pi_x$ は直線の方向 $x$ を $0$ に写すので、$\Omega(x,\cdot)=0$ である。$\Omega$ は閉じた半正の $(1,1)$ 形式だが、ファイバーの方向に退化していて Kähler 形式でない。正値性は商 $\mathbb P^n$ に降りてはじめて成り立つ。
3 行目：複素共役 $\sigma([x])=[\bar x]$ は反正則で、$\log(1+|z|^2)$ を保つ。反正則写像の引き戻しは $\partial$ と $\bar\partial$ を入れ替えるので $\sigma^*\omega_{\mathrm{FS}}=\frac i2\bar\partial\partial\log(1+|z|^2)=-\omega_{\mathrm{FS}}$ である（$n=1$ なら $\sigma^*(dz\wedge d\bar z)=d\bar z\wedge dz$）。$\sigma$ は実射影空間 $\mathbb{RP}^n=\{[x]\mid x\in\mathbb R^{n+1}\}$ の各点を固定するので、包含 $\iota$ について $\iota^*\omega_{\mathrm{FS}}=\iota^*\sigma^*\omega_{\mathrm{FS}}=-\iota^*\omega_{\mathrm{FS}}$、すなわち $\iota^*\omega_{\mathrm{FS}}=0$ である。Riemann 計量 $g_{\mathrm{FS}}$ の制限は $\mathbb{RP}^n$ の Riemann 計量だが、2 形式の制限は $0$ になる。複素部分多様体なら制限は Kähler 形式である（Kähler多様体の命題「積と複素部分多様体への保存」）ので、破る含意は「部分多様体に制限した $\omega_{\mathrm{FS}}$ は非退化」で、そのためには接空間が $J$ で閉じていることが要る。
4 行目：大域的な $f$ があれば $\omega_{\mathrm{FS}}=d\bigl(\frac i2\bar\partial f\bigr)$ は完全で、$\omega_{\mathrm{FS}}^n=d\bigl(\frac i2\bar\partial f\wedge\omega_{\mathrm{FS}}^{n-1}\bigr)$ も完全になる。Stokes の定理（Stokesの定理）により $\int_{\mathbb P^n}\omega_{\mathrm{FS}}^n=0$ となるが、prop-fs-volume によりこの積分は $\pi^n\neq0$ である。局所的なポテンシャル $\log(1+|z|^2)$ はアフィン座標ごとに違い、差 $\log|x_j/x_i|^2$ は多重調和関数である（Kähler形式の節「局所 Kähler ポテンシャル」）。
注意を 2 つ挙げる。

規格化の流儀．$\frac i2\partial\bar\partial\log|x|^2$（この記事、Wel08）のほか、$\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log|x|^2$（Dem12、体積 $1/n!$、類が整数類 $c_1(\mathcal O(1))$）や $i\partial\bar\partial\log|x|^2$ も使われる。いずれも正の定数倍の違いで、Kähler 性や $U(n+1)$ 不変性は変わらないが、体積や曲率の値は変わる。prop-fs-unitary の 3 により、$U(n+1)$ 不変な Kähler 計量はこれらの定数倍しかない。
射影多様体への制限．非特異射影多様体 $Z\subset\mathbb P^N$ には $\omega_{\mathrm{FS}}|_Z$ で Kähler 計量が入り、$\frac1\pi[\omega_{\mathrm{FS}}|_Z]$ は整数類 $c_1(\mathcal O(1)|_Z)$ の像である。逆に、整数類を代表する Kähler 形式をもつコンパクト Kähler 多様体は射影空間に埋め込める、というのが小平の埋め込み定理（小平の埋め込み定理）である。