Lürothの定理

同義語：Lüroth's theoremLurothの定理

概要

前提知識: 有理関数体, 超越次数, 体の拡大

Lürothの定理（Lüroth's theorem）とは、体 $k$ 上の 1 変数の有理関数体 $k(t)$ の部分体 $L$ で $k\subsetneq L$ を満たすものは、ある有理関数 $u\in L\setminus k$ によって $L=k(u)$ と書ける、という定理である。$u$ は $k$ 上超越的なので、$L$ はふたたび $k$ 上の 1 変数の有理関数体と同型になる。体 $k$ には何の条件も要らない。
たとえば $k(t^4,t^6)$ は 2 つの元で生成されているが、$t^6/t^4=t^2$ なので $k(t^4,t^6)=k(t^2)$ であり、1 つの元で生成される。定理は、こうしたことが $k(t)$ のどの部分体でも起こることを主張する。部分体を具体的に与えられても生成元がすぐには見えないことは多いが、定理の証明は生成元の候補を明示する。$t$ の $L$ 上の最小多項式の係数のうち $k$ に属さないものなら、どれでも生成元になる。
幾何学の言葉では、射影直線から支配的な有理写像を受ける代数曲線はふたたび有理曲線である、という意味をもつ。媒介変数の有理式で表示できる曲線は、点と媒介変数の値がほとんど 1 対 1 に対応する表示ももつ、と言い換えてもよい。この記事では定理を体の計算だけで証明し、生成元の取り替えの自由度を決め、例と反例を挙げる。変数が 2 つ以上になると、対応する主張は一般には成り立たない。

記号と準備

以下、$k$ は任意の体、$t$ は $k$ 上超越的な元とし、$k(t)$ を $k$ 上の 1 変数の有理関数体とする。$k(t)$ の元 $u$ は、互いに素な多項式 $g,h\in k[t]$（$h\ne0$）によって $u=g(t)/h(t)$ と書ける（有理関数体の命題「既約分数表示」）。$g,h$ は $u$ によって $0$ でない定数倍を除いて決まる。

有理関数の次数

$u\in k(t)$ を互いに素な $g,h\in k[t]$ によって $u=g/h$ と書くとき、
$$ \deg u:=\max(\deg g,\deg h) $$
を $u$ の次数という。$u\notin k$ であることと $\deg u\ge1$ であることは同値である。

たとえば $\deg(t^2+t^{-2})=\deg\dfrac{t^4+1}{t^2}=4$、$\deg\dfrac{at+b}{ct+d}=1$（$ad-bc\ne0$）である。次の補題は、次数が部分体 $k(u)$ の上の拡大次数そのものであることを述べる。

部分体 $k(u)$ の上の次数

$u\in k(t)\setminus k$ を互いに素な $g,h\in k[t]$ で $u=g/h$ と書く。このとき次が成り立つ。

$u$ は $k$ 上超越的である。
$Y$ の多項式 $g(Y)-u\,h(Y)\in k(u)[Y]$ は $k(u)[Y]$ で既約で、$Y=t$ を根にもち、次数は $\deg u$ である。
$[k(t):k(u)]=\deg u$ である。

これは有理関数体の命題「有理関数による部分体上の次数」である。この記事で何度も使うので、証明の筋を書いておく。

2 変数の多項式の既約性に帰着する

$g=\sum_ig_iY^i$、$h=\sum_ih_iY^i$ とし、$r:=\deg u$ とする。$g(Y)-u\,h(Y)=\sum_i(g_i-uh_i)Y^i$ の係数 $g_i-uh_i$ は、$g_i,h_i$ の少なくとも一方が $0$ でなければ $0$ でない（$h_i\ne0$ なら $u\notin k$ による）。よってこの多項式は $Y$ について $r$ 次で、$t$ を根にもつ。
1：$t$ は $k(u)$ 上代数的である。$u$ が $k$ 上代数的なら $t$ も $k$ 上代数的になり、仮定に反する。
2：1 により、$T\mapsto u$ は体の同型 $k(T)\cong k(u)$ を与える。$\Phi(T,Y):=g(Y)-Th(Y)$ が $k[T,Y]$ の既約元であることを示す。$\Phi=AB$ とすると、$T$ についての次数は $1$ なので、たとえば $A\in k[Y]$ である。$B=B_0+B_1T$（$B_0,B_1\in k[Y]$）と書いて比べると $g=AB_0$、$-h=AB_1$ となり、$A$ は $g,h$ の公約元だから定数である。$\Phi$ は $Y$ について正の次数をもつ $k[T][Y]$ の既約元なので、Gaussの補題(多項式) により $k(T)[Y]$ でも既約であり、同型で送れば $g(Y)-u\,h(Y)$ は $k(u)[Y]$ で既約である。
3：2 により、$g(Y)-u\,h(Y)$ を最高次の係数で割ったものは $t$ の $k(u)$ 上の最小多項式であり、$[k(t):k(u)]=r$ である。$\square$

とくに、$K:=k(t)$ と $k\subsetneq L\subset K$ を満たす体 $L$ について、$w\in L\setminus k$ を 1 つとれば $k(w)\subset L$ なので
$$ [K:L]\le[K:k(w)]=\deg w< \infty $$
であり、$K/L$ は有限次拡大である。$\operatorname{trdeg}_kL=1$ もわかる（超越次数の系「有理関数体の中間体」）。

主定理

Lürothの定理

$k$ を体、$t$ を $k$ 上超越的な元とし、$L$ を $k\subsetneq L\subset k(t)$ を満たす体とする。$n:=[k(t):L]$ とし、$t$ の $L$ 上の最小多項式を
$$ m(Y)=Y^n+c_{n-1}Y^{n-1}+\dots+c_1Y+c_0\qquad(c_i\in L) $$
とする。このとき係数 $c_0,\dots,c_{n-1}$ のうち少なくとも 1 つは $k$ に属さず、$k$ に属さない係数 $c_j$ のどれについても
$$ L=k(c_j) $$
が成り立つ。とくに $L$ は $k$ 上の 1 変数の有理関数体と同型であり、$[k(t):L]=\deg c_j$ である。

最小多項式の係数を生成元にとる

$n$ が有限であることは前節で見た。
段 1：$k$ に属さない係数がある。 すべての $c_i$ が $k$ に属すると、$m(Y)\in k[Y]$ は $t$ を根にもつ $0$ でない多項式なので、$t$ が $k$ 上代数的になり、仮定に反する。
段 2：示すべき不等式。 $c_j\notin k$ を 1 つ選び、$u:=c_j$ とおく。互いに素な $g,h\in k[t]$ で $u=g/h$ と書き、$r:=\deg u$ とおく。$k(u)\subset L$ なので、lem-lur-degree の 3 と拡大次数の乗法性により
$$ r=[k(t):k(u)]=[k(t):L]\,[L:k(u)]\ge[k(t):L]=n $$
である。$r\le n$ を示せば $[L:k(u)]=1$、すなわち $L=k(u)$ となる。
段 3：分母を払った最小多項式。 $m(Y)$ に $k(t)$ の $0$ でない元を掛けて、係数が $k[t]$ に属し、係数の最大公約数が $1$ であるもの
$$ A(t,Y)=a_n(t)Y^n+a_{n-1}(t)Y^{n-1}+\dots+a_0(t)\in k[t][Y] $$
を作る（$a_i/a_n=c_i$）。$a_jh=a_ng$ で $g,h$ は互いに素なので、$h$ は $a_n$ を割り切り、$g$ は $a_j$ を割り切る。よって $A$ の $t$ についての次数 $\deg_tA:=\max_i\deg a_i$ は $\max(\deg g,\deg h)=r$ 以上である。
段 4：$A$ は $B$ を割り切る。 2 変数の多項式
$$ B(t,Y):=g(Y)h(t)-g(t)h(Y)\in k[t,Y] $$
を考える。$L[Y]$ の中で $B=h(t)\bigl(g(Y)-u\,h(Y)\bigr)$ であり、$g(Y)-u\,h(Y)$ は $L$ 係数で $Y=t$ を根にもつので、$t$ の $L$ 上の最小多項式 $m(Y)$ で割り切れる。$A$ は $m$ の $k(t)^\times$ 倍なので、$k(t)[Y]$ の中で $B=A\,Q$ となる $Q\in k(t)[Y]$ がある。$A$ の係数の最大公約数は $1$ だから、Gaussの補題(多項式) により $Q\in k[t][Y]$ である。実際、$Q=(\gamma/\delta)Q_0$（$\gamma,\delta\in k[t]$ は互いに素、$Q_0\in k[t][Y]$ は係数の最大公約数が $1$）と書くと $\delta B=\gamma AQ_0$ で、$AQ_0$ の係数の最大公約数は $1$ なので、両辺の係数の最大公約数を比べて $\delta$ は $\gamma$ を割り切り、$\delta$ は定数である。
段 5：$t$ についての次数の比較。 $u\notin k$ なので $g$ と $h$ は比例せず（比例すれば $u$ は定数）、$B\ne0$ である。$B$ の $t$ についての次数は $\max(\deg h,\deg g)=r$ 以下で、$\deg_tB=\deg_tA+\deg_tQ\ge r+\deg_tQ$ だから、$\deg_tQ=0$ かつ $\deg_tA=\deg_tB=r$ である。したがって $Q=q(Y)\in k[Y]$ である。
段 6：$q$ は定数。 $B=\sum_i\bigl(h_ig(Y)-g_ih(Y)\bigr)t^i$（$g=\sum_ig_it^i$、$h=\sum_ih_it^i$）と書くと、$q(Y)$ は $t^i$ の係数 $h_ig(Y)-g_ih(Y)$ をすべて割り切る。$g$ と $h$ は比例しないので、係数の組 $(g_i,h_i)$ と $(g_l,h_l)$ が 1 次独立になる添字 $i,l$ がある。$\Delta:=h_ig_l-g_ih_l\ne0$ とおくと
$$ g_l\bigl(h_ig-g_ih\bigr)-g_i\bigl(h_lg-g_lh\bigr)=\Delta\,g,\qquad h_l\bigl(h_ig-g_ih\bigr)-h_i\bigl(h_lg-g_lh\bigr)=\Delta\,h $$
なので、$q$ は $g(Y)$ と $h(Y)$ の両方を割り切る。$g,h$ は互いに素だから $q$ は $0$ でない定数である。
段 7：結論。 $B=q\,A$（$q\in k^\times$）なので、$Y$ についての次数も等しく、$\deg_YB=\deg_YA=n$ である。一方、$B(Y,t)=-B(t,Y)$ なので $\deg_YB=\deg_tB=r$ である。よって $r=n$ であり、段 2 から $L=k(u)$ が従う。$L=k(u)$ は $u$ が超越的なので $k$ 上の 1 変数の有理関数体と同型で、$[k(t):L]=n=r=\deg u$ である。$\square$

証明の要は段 4〜段 7 である。$t$ と $Y$ を入れ替えると符号だけが変わる多項式 $B$ が $A$ の定数倍になるので、$A$ の $t$ についての次数（生成元の候補の次数 $r$）と $Y$ についての次数（拡大次数 $n$）が一致する。この証明は代数閉体を使わないので、有限体や $\mathbb{Q}$ の上でもそのまま成り立つ。

生成元の取り替え

定理の生成元は一意ではない。どこまで自由に取り替えられるかは、$k(t)$ の自己同型の形から決まる。

同じ部分体を生成する元

$u\in k(t)\setminus k$ とし、$u'\in k(t)$ とする。$k(u')=k(u)$ であるための必要十分条件は
$$ u'=\frac{au+b}{cu+d}\qquad(a,b,c,d\in k,\ ad-bc\ne0) $$
と書けることである。

1 次分数変換で書けることを自己同型に読み替える

lem-lur-degree の 1 により $u$ は $k$ 上超越的なので、$X$ を不定元として $X\mapsto u$ は $k$ 上の体の同型 $\phi\colon k(X)\to k(u)$ を与える。$u'\in k(u)$ なら $u'=\phi(v)$ となる $v\in k(X)$ がただ 1 つある。
$k(u')=k(u)$ とする。すると $k(\phi(v))=k(u)=\phi(k(X))$、すなわち $k(v)=k(X)$ であり、$X\mapsto v$ は $k(X)$ の $k$ 上の自己同型を定める。有理関数体の系「有理関数体の $K$ 上の自己同型」により $v=(aX+b)/(cX+d)$、$ad-bc\ne0$ と書ける。$\phi$ で送れば $u'=(au+b)/(cu+d)$ である。
逆に $u'=(au+b)/(cu+d)$、$ad-bc\ne0$ なら $u'\in k(u)$ で、$u=(du'-b)/(-cu'+a)$ と解けるので $u\in k(u')$ である。よって $k(u')=k(u)$ である。$\square$

したがって $L=k(u)$ を満たす $u$ は、1 つ見つければ残りはすべて 1 次分数変換で得られ、どれも同じ次数 $\deg u=[k(t):L]$ をもつ。thm-lur-main の $k$ に属さない係数 $c_j$ が複数あるときは、それらは互いに 1 次分数変換で移り合う。

例

2 つの元で生成された部分体

$L=k(t^4,t^6)$ とする。$t^2=t^6/t^4\in L$ なので $k(t^2)\subset L$ であり、逆に $t^4=(t^2)^2$、$t^6=(t^2)^3$ なので $L=k(t^2)$ である。定理の手順でも同じ生成元が出る。$[k(t):k(t^2)]=\deg t^2=2$ なので $[k(t):L]=2$ で、$t$ の $L$ 上の最小多項式は $Y^2-t^2$ である。$k$ に属さない係数は $c_0=-t^2$ で、$L=k(-t^2)=k(t^2)$ となる。
$L=k(t^3+t,\ t^2)$ とする。$t^3+t=t(t^2+1)$ なので $t=(t^3+t)/(t^2+1)\in L$ であり、$L=k(t)$ である。この場合は $n=1$ で、最小多項式は $Y-t$、生成元は $c_0=-t$ である。

自己同型で動かない元のなす体

$\sigma$ を $t\mapsto1/t$ で定まる $k(t)$ の $k$ 上の自己同型とする（$\sigma^2=\mathrm{id}$、$\sigma\ne\mathrm{id}$）。$G=\{\mathrm{id},\sigma\}$ で動かない元のなす体（固定体）$k(t)^G$ を求める。
$u:=t+1/t=(t^2+1)/t$ は $\sigma(u)=u$ を満たすので $k(u)\subset k(t)^G$ である。Galois拡大の定理「Artinの定理」により $[k(t):k(t)^G]=|G|=2$ であり、lem-lur-degree により $[k(t):k(u)]=\deg u=2$ である。よって $k(t)^G=k(u)$ である。$t$ の $k(u)$ 上の最小多項式は $Y^2-uY+1$ で、thm-lur-main の手順で選べる生成元は $c_1=-u$ である。
この $u$ で、媒介変数表示 $t\mapsto(x,y)=(t+t^{-1},\ t^2+t^{-2})$ を見直すことができる。$x,y$ の生成する体は $k(x,y)=k(u,u^2-2)=k(u)$ で、$t$ と $1/t$ は同じ点に写るので、この表示はほとんどの点を 2 回ずつ表す。生成元 $u$ をとり直すと、同じ曲線（放物線 $y=x^2-2$）が $u\mapsto(u,u^2-2)$ と 1 対 1 に表示される。

位数 6 の群で動かない元のなす体

$k(t)$ の $k$ 上の 6 つの自己同型
$$ t\mapsto t,\quad 1-t,\quad \frac1t,\quad \frac1{1-t},\quad \frac{t-1}{t},\quad \frac{t}{t-1} $$
は合成について群 $G$ をなす（射影直線の 3 点 $0,1,\infty$ の置換に対応し、対称群 $S_3$ と同型）。これらは $k$ の標数によらず相異なる。
$$ j:=\frac{(t^2-t+1)^3}{t^2(t-1)^2} $$
は 6 つの置き換えのどれでも変わらない（たとえば $t\mapsto1/t$ では分子と分母がともに $t^{-6}$ 倍になる。$t\mapsto1-t$ では $t^2-t+1$ と $t^2(t-1)^2$ がどちらも変わらない。この 2 つが $G$ を生成する）。分子と分母は互いに素（分子の因子 $t^2-t+1$ は $t=0$、$t=1$ で $1$）なので $\deg j=6$ である。Artin の定理により $[k(t):k(t)^G]=6$、補題により $[k(t):k(j)]=6$ で、$k(j)\subset k(t)^G$ だから $k(t)^G=k(j)$ である。
Lüroth の定理は、有限群に限らず、$k(t)$ のどの部分体についてもこのような 1 つの生成元があることを保証する。

幾何的な意味

体 $k$ 上の曲線 $C$ の関数体 $K(C)$ は、$k$ 上の超越次数が $1$ の有限生成拡大である。$C$ が有理曲線であるとは、$K(C)$ が $k$ 上の 1 変数の有理関数体と同型であることだった。曲線 $D$ への支配的な有理写像 $\mathbb{P}^1_k\dashrightarrow D$ は、体の $k$ 上の埋め込み $K(D)\to k(t)$ を与え、その像は $k$ と異なる（超越次数が $1$）。thm-lur-main をこの像に当てると、$K(D)$ は $k$ 上の 1 変数の有理関数体と同型になる。こうして、射影直線から支配的な有理写像を受ける曲線（単有理な曲線）は有理曲線である。双有理写像と関数体の対応を含む詳しい議論は有理曲線の系「有理曲線の像と単有理な曲線」にある。
代数閉体の上では、同じ結論を曲線の種数を使って示すこともできる。射影直線から非特異な射影曲線 $D$ への定値でない射があると、Hurwitz の公式を使った種数の比較から $D$ の種数は $0$ になり、$D$ は射影直線と同型になる（Har77 IV 例 2.5.4・2.5.5、p. 303。Mil22 Theorem 9.19 の後の概略、p. 117）。この記事の証明は種数を使わず、任意の体で成り立つ。

反例：条件を外すと崩れること

外す条件	反例	成り立たなくなること
$k\subsetneq L$	$L=k$	$L=k(u)$ となる $u\in L\setminus k$ がある
$t$ が $k$ 上超越的	$k=\mathbb{Q}$、$t=\sqrt2$、$L=\mathbb{Q}(\sqrt2)$	$L$ が $k$ 上の 1 変数の有理関数体と同型
$L\subset k(t)$	$k=\mathbb{R}$、$L=\mathbb{R}(t)(s)$、$s^2=-1-t^2$（$L$ は $\mathbb{R}(t)$ の 2 次拡大）	$L$ が $k$ 上の 1 変数の有理関数体と同型
変数が 1 つ	標数 $p>0$ の代数閉体 $k$ と、$k(X^p,Y^p)\subset M\subset k(X,Y)$ を満たすある $M$	$M$ が $k$ 上の純超越拡大

表の反例の確かめ

要点：各行の対象が、外した条件以外を満たし、結論を満たさないことを確かめる。

詳しい確かめを開く

1 行目：$L=k$ には $k$ に属さない元がないので、$L=k(u)$ となる $u\in L\setminus k$ は存在しない。$L=k\subset k(t)$ で $t$ は超越的である。

2 行目：$t=\sqrt2$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的で、$\mathbb{Q}(t)=\mathbb{Q}(\sqrt2)$ は $\mathbb{Q}$ 上 2 次の拡大である。$L=\mathbb{Q}(\sqrt2)$ は $\mathbb{Q}\subsetneq L\subset\mathbb{Q}(t)$ を満たすが、$L$ のすべての元は $\mathbb{Q}$ 上代数的なので、$\mathbb{Q}$ 上超越的な元を含まない。1 変数の有理関数体 $\mathbb{Q}(X)$ は超越的な元 $X$ を含むので、$L$ はそれと同型でない。

3 行目：$-1-t^2$ は $\mathbb{R}(t)$ の平方でない（$f^2=(-1-t^2)g^2$ を満たす $0$ でない $f,g\in\mathbb{R}[t]$ があれば、最高次の係数を比べて、正の数と負の数が等しくなる）。よって $Y^2+1+t^2$ は $\mathbb{R}(t)$ 上既約で、$L$ は $\mathbb{R}(t)$ の 2 次拡大体であり、$\mathbb{R}\subsetneq L$、$\operatorname{trdeg}_{\mathbb{R}}L=1$ である。$L$ の中では $s^2+t^2=-1$ なので、$-1$ は $L$ の 2 つの元の平方の和である。一方、$\mathbb{R}(w)$ で $a^2+b^2=-1$ となる $a,b$ はない。$a,b$ の分母が $0$ にならない実数 $w_0$ で値をとると $a(w_0)^2+b(w_0)^2=-1$ となり、左辺は $0$ 以上だからである。よって $L$ は $\mathbb{R}(w)$ と同型でない。$L$ は $\mathbb{R}(t)$ に含まれず、$\mathbb{R}(t)$ の有限次拡大に含まれている。

4 行目：この記事では証明しない。Zariski は、標数 $p>0$ の代数閉体 $k$ について、$k(X^p,Y^p)\subset M\subset k(X,Y)$ を満たし、$k$ 上の純超越拡大でない（$k(X,Y)$ と同型でない）体 $M$ があることを示した（Mil22 Example 5.5 の脚注 2、p. 63、Remark 9.26、p. 120）。$k(X,Y)$ は $M$ の上で有限次なので、1 変数の場合の仮定にあたる条件は満たされている。

補足

2 変数以上の場合：$k(t_1,\dots,t_n)$ の部分体 $L$ で、$k(t_1,\dots,t_n)$ が $L$ の上で有限次であるものが純超越拡大かを問うのが、Lüroth の問題である（有理性問題）。$n=2$ で $k$ が標数 $0$ の代数閉体なら肯定的である（Zariski の定理。Mil22 Remark 9.26、p. 120。複素数体の上では、曲面の言葉で Castelnuovoの有理性判定法から従う）。標数 $p$ では上の表の 4 行目のとおり一般には成り立たない。$n=3$ では複素数体の上でも成り立たない。単有理だが有理でない 3 次元の多様体があるからである（Har77 IV 例 2.5.5 の後の注意、p. 304）。
証明の筋の出典：段 3〜段 7 の議論は Mil22 Theorem 9.19 の証明（pp. 119–120）と同じ骨組みである。そこでは Lemma 9.24（p. 118）が lem-lur-degree にあたる。