Newton法

$f'$ は連続で $f'(x^*)\ne0$ なので、$\delta_0>0$ を、閉区間 $J_0:=[x^*-\delta_0,x^*+\delta_0]$ が $I$ に含まれ、$J_0$ 上で $|f'(x)|\ge m:=|f'(x^*)|/2>0$ となるようにとれる。$f''$ は連続だから、最大値の定理により $M:=\max_{x\in J_0}|f''(x)|<\infty$ である。$C:=M/(2m)$ とおき、$\delta>0$ を $\delta\le\delta_0$ かつ $C\delta<1$ となるようにとる（$C=0$ のときは $\delta=\delta_0$ でよい）。$J:=[x^*-\delta,x^*+\delta]$ とおく。
$x\in J$ とし、$e:=x-x^*$ とおく。$f'(x)\ne0$ なので $N(x)$ が定まる。Taylor の定理を $a=x$、点 $x^*$ に適用すると、$x$ と $x^*$ の間の $\xi$ が存在して
$$ 0=f(x^*)=f(x)+f'(x)(x^*-x)+\frac{f''(\xi)}{2}(x^*-x)^2 $$
であるから、$f(x)=f'(x)e-\dfrac{f''(\xi)}{2}e^2$ である。したがって
$$ N(x)-x^*=e-\frac{f(x)}{f'(x)}=e-\frac{f'(x)e-\frac12f''(\xi)e^2}{f'(x)}=\frac{f''(\xi)}{2f'(x)}\,e^2 $$
となり、$\xi\in J\subset J_0$ から $|N(x)-x^*|\le\dfrac{M}{2m}|e|^2=C|x-x^*|^2$ を得る。$x\ne x^*$ のときは $|x-x^*|\le\delta$ と $C\delta<1$ から
$$ |N(x)-x^*|\le C|x-x^*|^2\le C\delta\cdot|x-x^*|<|x-x^*|\le\delta $$
であり、$x=x^*$ のときは $e=0$ より $N(x^*)-x^*=\dfrac{f''(\xi)}{2f'(x^*)}\cdot0^2=0$、すなわち $N(x^*)=x^*$ である。いずれの場合も $N(x)\in J$ であるから $N(J)\subset J$ である。
$x_0\in J$ とすると、上の議論を繰り返して、すべての $n$ について $x_n\in J$、$f'(x_n)\ne0$、$x_{n+1}=N(x_n)$ が定義され、$|x_{n+1}-x^*|\le C|x_n-x^*|^2$ が成り立つ。これで 1 と 2 が示された。3 について、$\varepsilon_n:=C|x_n-x^*|$ とおくと 2 は $\varepsilon_{n+1}\le\varepsilon_n^2$ であり、帰納的に $\varepsilon_n\le\varepsilon_0^{2^n}$ である。$\varepsilon_0=C|x_0-x^*|\le C\delta<1$ だから $\varepsilon_n\to0$、すなわち $x_n\to x^*$ である（$C=0$ のときは $x_1=x^*$ である）。$\square$

1 は $N(x)-x=-f(x)/f'(x)$ から明らかである（$N(x)=x$ を満たす点を $N$ の不動点という）。2 は商の微分法により
$$ N'(x)=1-\frac{f'(x)^2-f(x)f''(x)}{f'(x)^2}=\frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2} $$
であり、$f(x^*)=0$ から $N'(x^*)=0$ である。3 を示す。$N'$ は $x^*$ の近くで連続なので、$\rho>0$ を $K:=[x^*-\rho,x^*+\rho]\subset I$ かつ $K$ 上で $f'\ne0$ かつ $|N'(x)|\le\frac12$ となるようにとれる。$x,y\in K$ に対し平均値の定理により $x$ と $y$ の間の $\eta$ が存在して $|N(x)-N(y)|=|N'(\eta)||x-y|\le\frac12|x-y|$ である。とくに $y=x^*$ とすると、1 により $N(x^*)=x^*$ だから $|N(x)-x^*|\le\frac12|x-x^*|\le\rho$ であり $N(K)\subset K$ である。したがって $x_0\in K$ から出発した数列は $|x_n-x^*|\le2^{-n}|x_0-x^*|\to0$ を満たす。$\square$