正接定理

1. 余弦定理で残りの辺を求める。
   $$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=64+9-2\cdot8\cdot3\cdot\frac12=73-24=49 $$
   なので $c=7$ である。
2. 正弦定理 $\dfrac a{\sin A}=\dfrac c{\sin C}$ で角 $A$ を求める。
   $$ \sin A=\frac{a\sin C}c=\frac{8\cdot\frac{\sqrt3}2}7=\frac{4\sqrt3}7\approx0.9897 $$
   である。正弦がこの値になる角は、$0^\circ$ と $180^\circ$ の間に約 $81.79^\circ$ と約 $98.21^\circ$ の 2 つある（図 1）。
3. どちらかを決めるために、余弦定理で $\cos A$ の符号を調べる。
   $$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{9+49-64}{2\cdot3\cdot7}=-\frac6{42}=-\frac17<0 $$
   なので $A$ は鈍角で、$A\approx98.21^\circ$ である。残りは $B=180^\circ-60^\circ-A\approx21.79^\circ$ である。
4. で鋭角の方の約 $81.79^\circ$ をとると誤りになる。$a=8$ はいちばん長い辺なので $A$ はいちばん大きい角だが、$A\approx81.79^\circ$（このとき $B\approx38.21^\circ$）としても $A$ はいちばん大きく、辺の大小だけではどちらの候補か決まらない。

1. $c^2=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\left(-\dfrac12\right)=34+15=49$ なので $c=7$ である。
2. $\sin A=\dfrac{5\cdot\frac{\sqrt3}2}7=\dfrac{5\sqrt3}{14}\approx0.6186$ で、候補は約 $38.21^\circ$ と約 $141.79^\circ$ である。$C=120^\circ$ がすでに鈍角なので、三角形の角の和から $A<60^\circ$ で、$A\approx38.21^\circ$ に決まる。$B\approx21.79^\circ$ である。
   この例では $C$ が鈍角なので判断はすぐにつくが、ex-lot-start のように $C$ が鋭角だと、余弦の符号などをもう一度調べる必要がある。

1. 3 辺 $3,4,5$（$a=3$、$b=4$、$C=90^\circ$）。$\dfrac{a-b}{a+b}=-\dfrac17$ である。$\dfrac{A+B}2=45^\circ$ で $\tan45^\circ=1$ なので、正接定理から $\tan\dfrac{A-B}2=-\dfrac17$ となる。確かめる。$\tan A=\dfrac34$、$\tan B=\dfrac43$ なので、正接の加法定理で
   $$ \tan(A-B)=\frac{\frac34-\frac43}{1+\frac34\cdot\frac43}=\frac{-\frac7{12}}2=-\frac7{24} $$
   である。一方、$t=\tan\dfrac{A-B}2=-\dfrac17$ とすると、2 倍角の公式 $\tan(A-B)=\dfrac{2t}{1-t^2}$ から $\dfrac{-\frac27}{1-\frac1{49}}=-\dfrac27\cdot\dfrac{49}{48}=-\dfrac7{24}$ で、一致する。
2. 3 辺 $7,5,8$（$a=7$、$b=5$、$A=60^\circ$）。Mollweideの公式 の例で $\sin\dfrac{A-B}2=\dfrac{\sqrt7}{14}$、$\cos\dfrac{A-B}2=\dfrac{3\sqrt{21}}{14}$ を求めたので、$\tan\dfrac{A-B}2=\dfrac{\sqrt7}{3\sqrt{21}}=\dfrac1{3\sqrt3}$ である。三角形の半角公式 の例の $\tan\dfrac C2=\dfrac{\sqrt3}2$ と掛けると
   $$ \tan\frac{A-B}2\,\tan\frac C2=\frac1{3\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac16=\frac{7-5}{7+5}=\frac{a-b}{a+b} $$
   となり、段 2 の形の式が成り立っている。

1. ex-lot-start の $a=8$、$b=3$、$C=60^\circ$。$\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac5{11}$、$\tan\dfrac C2=\tan30^\circ=\dfrac1{\sqrt3}$ なので
   $$ \tan\theta=\frac5{11}\cdot\sqrt3=\frac{5\sqrt3}{11}\approx0.7873,\qquad \theta\approx38.21^\circ $$
   である。$90^\circ-\dfrac C2=60^\circ$ なので
   $$ A\approx60^\circ+38.21^\circ=98.21^\circ,\qquad B\approx60^\circ-38.21^\circ=21.79^\circ $$
   となる。$A$ が鈍角であることは、足し算の結果として自動的に出ている。残りの辺は正弦定理で $c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}\approx\dfrac{8\cdot0.8660}{0.9897}\approx7.000$ で、ex-lot-start の $c=7$ と一致する。
2. ex-lot-start2 の $a=5$、$b=3$、$C=120^\circ$。$\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac14$、$\tan\dfrac C2=\tan60^\circ=\sqrt3$ なので
   $$ \tan\theta=\frac14\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{12}\approx0.1443,\qquad \theta\approx8.21^\circ $$
   である。$90^\circ-\dfrac C2=30^\circ$ なので $A\approx38.21^\circ$、$B\approx21.79^\circ$ で、ex-lot-start2 と一致する。

$a=8$、$b=3$、$C=60^\circ$ で、ex-lot-start の (2) の候補のうち $A\approx81.79^\circ$ をとると、$B=180^\circ-60^\circ-81.79^\circ\approx38.21^\circ$ となる。角の和は $180^\circ$ で合っているが、正弦定理の比を調べると
$$ \frac a{\sin A}\approx\frac8{\sin81.79^\circ}\approx\frac8{0.9897}\approx8.08,\qquad \frac b{\sin B}\approx\frac3{\sin38.21^\circ}\approx\frac3{0.6186}\approx4.85 $$
で、一致しない。$\sin A$ を出すのに使った比 $\dfrac a{\sin A}=\dfrac c{\sin C}$ は候補のどちらでも成り立つので、誤りは $b$ と $B$ の組で初めて現れる。正接定理の手順（ex-lot-sas）では、この選び方の問題が起こらない。

$a=8$、$b=3$、$C=60^\circ$ で、prop-lot-sas の $\dfrac1{\tan\frac C2}$ を誤って $\tan\dfrac C2$ にすると
$$ \tan\theta=\frac5{11}\cdot\frac1{\sqrt3}\approx0.2624,\qquad \theta\approx14.70^\circ $$
となり、$A\approx74.70^\circ$、$B\approx45.30^\circ$ という誤った答えになる。$\tan\dfrac{A+B}2$ と $\tan\dfrac C2$ は逆数どうしで、$C=90^\circ$ のときだけ等しい。$\dfrac{A+B}2$ は $90^\circ-\dfrac C2$ であって、$\dfrac C2$ ではない。

$a=3$、$b=8$、$C=60^\circ$ とすると、$\tan\theta=\dfrac{3-8}{3+8}\cdot\sqrt3=-\dfrac{5\sqrt3}{11}$ で、$\theta\approx-38.21^\circ$ である。正しくは $A\approx60^\circ-38.21^\circ=21.79^\circ$、$B\approx98.21^\circ$ である。$\theta$ の符号を落として $38.21^\circ$ とすると $A\approx98.21^\circ$、$B\approx21.79^\circ$ となり、$A$ と $B$ が入れかわる。短い辺 $a=3$ の向かいに大きい角がくるので、cor-lot-order に反する。