Schubert胞体

全単射．$W\in e(\sigma)$ とする。$W\cap K^{\sigma_i}$ の中で $W\cap K^{\sigma_i-1}$ の直交補空間は $1$ 次元であり、その元で長さ $1$ のもの $x$ の第 $\sigma_i$ 成分は $0$ でない（$0$ なら $x\in W\cap K^{\sigma_i-1}$ となり矛盾）。絶対値 $1$ の数を掛けて第 $\sigma_i$ 成分を正にしたものを $x_i$ とすると、$j< i$ なら $x_j\in W\cap K^{\sigma_i-1}$ なので $x_i\perp x_j$ であり、$(x_1,\dots,x_k)\in E^\circ(\sigma)$、$\Phi_\sigma(x)=W$ である。逆に $x\in E^\circ(\sigma)$ について、$x_i$ の最後の $0$ でない成分は第 $\sigma_i$ 成分なので、prf-schubert-echelon の十分性と同じ議論で $\Phi_\sigma(x)\in e(\sigma)$ かつ $W\cap K^{\sigma_i}=\operatorname{span}(x_1,\dots,x_i)$ である。したがって $x_i$ は $W\cap K^{\sigma_i}$ の中の $W\cap K^{\sigma_i-1}$ の直交補空間の長さ $1$ の元で、第 $\sigma_i$ 成分が正のものとして $W$ から決まり、$\Phi_\sigma$ は $E^\circ(\sigma)$ 上で単射である。

境界の行き先．$x\in E(\sigma)\setminus E^\circ(\sigma)$ なら、ある $i$ で $x_i$ の第 $\sigma_i$ 成分が $0$ で、$x_1,\dots,x_i\in K^{\sigma_i-1}$ である。$W=\Phi_\sigma(x)$ は $\dim(W\cap K^{\sigma_i-1})\ge i$、すべての $j$ で $\dim(W\cap K^{\sigma_j})\ge j$ をみたすので、(1) により $\sigma(W)\le\sigma$ かつ $\sigma_i(W)< \sigma_i$ である。

回転．長さ $1$ の $u,v\in K^n$ で $t:=\langle u,v\rangle$ が $0$ 以上の実数であるものについて、$T(u,v)y:=y-\frac{\langle y,u+v\rangle}{1+t}(u+v)+2\langle y,u\rangle v$ とおく。$T(u,v)$ は $y$ について線形で、$(u,v,y)$ について連続であり（分母は $1$ 以上）、$Tu=v$、$Tv=2tv-u$、$u,v$ に直交する $y$ では $Ty=y$ である。$u,v$ が 1 次従属なら $v=u$（$t\ge0$ による）で $T=\mathrm{id}$ である。1 次独立なら、$T$ は $P:=\operatorname{span}(u,v)$ と $P^\perp$ を保ち、$\langle Tu,Tu\rangle=\langle Tv,Tv\rangle=1$、$\langle Tu,Tv\rangle=t$ なので $P$ 上でも内積を保つ。よって $T(u,v)$ はユニタリ変換である。また $T(u,v)y-y\in\operatorname{span}(u,v)$ である。

帰納法．$k=1$ のとき、$E(\sigma_1)$ は $K^{\sigma_1}$ の単位球面のうち最後の成分が $0$ 以上の実数である部分で、$x\mapsto(x_1,\dots,x_{\sigma_1-1})$ により $K^{\sigma_1-1}$ の閉単位球体と同相である（逆写像は最後の成分を $\sqrt{1-\lvert y\rvert^2}$ とおくもの）。内部は最後の成分が正の部分に対応する。次元は $d(\sigma_1-1)$ である。

$\sigma=(\sigma',\sigma_{k+1})$、$\sigma'=(\sigma_1,\dots,\sigma_k)$ とし、$b_i:=e_{\sigma_i}$ とおく。$x\in E(\sigma')$ について $\langle x_i,b_i\rangle$ は $x_i$ の第 $\sigma_i$ 成分なので $0$ 以上の実数であり、$T_x:=T(b_k,x_k)\circ\cdots\circ T(b_1,x_1)$ が定まる。$j< i$ なら $b_i$ は $b_j$ にも $x_j\in K^{\sigma_j}$ にも直交し、$j>i$ なら $x_i$ は $x_j$ にも $b_j$ にも直交するので、$T_xb_i=x_i$ である。$T_xy-y\in K^{\sigma_k}$ である。$D$ を、$u\in K^{\sigma_{k+1}}$ で長さ $1$、第 $\sigma_1,\dots,\sigma_k$ 成分が $0$、第 $\sigma_{k+1}$ 成分が $0$ 以上の実数であるものの全体とすると、$k=1$ の場合と同じく $D$ は次元 $d(\sigma_{k+1}-k-1)$ の閉球体と同相である。$f(x,u):=(x,T_xu)$ とおくと、$T_xu\in K^{\sigma_{k+1}}$ でその第 $\sigma_{k+1}$ 成分は $u$ のものに等しく（$\sigma_{k+1}>\sigma_k$）、長さは $1$、$\langle T_xu,x_i\rangle=\langle T_xu,T_xb_i\rangle=\langle u,b_i\rangle=0$ なので $f(x,u)\in E(\sigma)$ である。$(x,y)\mapsto(x,T_x^{-1}y)$ も同様に $E(\sigma)\to E(\sigma')\times D$ を定め、$f$ の逆である。どちらも連続なので $E(\sigma)\cong E(\sigma')\times D$ であり、$E^\circ(\sigma)$ は $E^\circ(\sigma')\times(D$ の内部$)$ に対応する。閉球体の積は閉球体で内部は内部の積なので、帰納法により $E(\sigma)$ は次元 $d\sum_i(\sigma_i-i)=d\lvert\lambda(\sigma)\rvert$ の閉球体である。以上は MS74 Lemma 6.2・6.3（p. 76）、回転の式（p. 77）の実数の場合の議論を Hermite 内積に移したものである。

同相．$\Phi_\sigma$ は $E^\circ(\sigma)$ を $e(\sigma)$ に全単射に写す。$C\subset E^\circ(\sigma)$ が $E^\circ(\sigma)$ の閉集合なら、$E(\sigma)$ での閉包 $\bar C$ はコンパクトで、$\Phi_\sigma(\bar C)$ は Hausdorff 空間 $\operatorname{Gr}(k,K^n)$ の閉集合であり、$\bar C\setminus C\subset E(\sigma)\setminus E^\circ(\sigma)$ は $e(\sigma)$ の外へ写るので $\Phi_\sigma(C)=\Phi_\sigma(\bar C)\cap e(\sigma)$ は $e(\sigma)$ の閉集合である。よって $\Phi_\sigma\colon E^\circ(\sigma)\to e(\sigma)$ は同相写像である。

CW 複体．$X^r$ を次元 $r$ 以下の胞体の和とする。$X^r$ は有限個のコンパクト集合 $\Phi_\tau(E(\tau))$ の和なのでコンパクトである。$X^{r-1}$ と次元 $r$ の $E(\sigma)$ たちの非交和から $X^r$ への写像（包含と $\Phi_\sigma$）は連続な全射で、2 により同じ点に写る組は境界の点とその行き先の組だけである。CW複体 の補題「貼り付けた空間であることの確かめ方」により、$X^r$ は $X^{r-1}$ に $r$ 胞体を貼った空間である。$\sigma_k\le n$ の胞体は $\operatorname{Gr}(k,K^{n+1})$ の中でも同じ特性写像をもつので部分複体である。無限 Grassmann 多様体の各点は有限部分複体 $\operatorname{Gr}(k,K^n)$ に含まれ、弱位相は有限部分複体による位相なので、CW 複体である（MS74 Theorem 6.4、p. 79）。$\square$

$K=\mathbb{R}$ のとき $x_r:=w_r$、$K=\mathbb{C}$ のとき $x_r:=c_r$ と書く。

部分複体 $Y_s$．$0\le s\le k$ について $Y_s:=\{W\mid K^{k-s}\subset W\}$ とおく。(1) により $W\in Y_s$ は $\sigma_i(W)=i$（$i\le k-s$）と同値なので、$Y_s$ は胞体の和であり、thm-schubert-cw の 1 の閉集合 $F_{k-s,k-s}$ に等しいので部分複体である。$V:=(K^{k-s})^\perp\subset K^\infty$ とすると、$\psi(W):=W\cap V$ は同相 $Y_s\cong\operatorname{Gr}(s,V)$ を与え（逆は $U\mapsto K^{k-s}\oplus U$。直交射影の行列で見れば両方向とも連続）、$(W,v)\mapsto(W,\ \pi(v),\ v-\pi(v))$（$\pi$ は $K^{k-s}$ への直交射影）は束の同型 $\gamma^k|_{Y_s}\cong\varepsilon^{k-s}\oplus\psi^*\gamma^s$ である。Whitney の和公式と自明束の性質（Stiefel–Whitney類 の命題「基本性質」、Chern類 の定義「Chern類の公理的定義」）により $x_r(\gamma^k|_{Y_s})=\psi^*x_r(\gamma^s)$ であり、$r>s$ ならこれは $0$ である。

$\rho_r$ 以外の胞体．$\lvert\lambda(\sigma)\rvert=r$、$\sigma\ne\rho_r$ とする。$\lambda(\sigma)$ の $0$ でない部分の個数 $s$ は、$1$ だけからなるのでなければ $r$ より小さい。$\lambda(\sigma)$ の $0$ の部分は $\sigma_i=i$ を意味するので、$\sigma_i=i$（$i\le k-s$）であり $e(\sigma)\subset Y_s$ である。$x_r(\gamma^k)$ の $Y_s$ への制限は $0$ なので、制限した余鎖の $e(\sigma)$ での値は $0$ である。

$\rho_r$ の胞体．$Z:=\{W\mid K^{k-r}\subset W\subset K^{k+1}\}$ は $\tau\le\rho_r$ となる胞体の和で、閉集合なので部分複体であり、最高次元の胞体は $e(\rho_r)$ だけである。$W\mapsto W^\perp\cap K^{k+1}$（$K^{k+1}$ の中での直交補空間）は、$Z$ から $K^{k+1}\ominus K^{k-r}\cong K^{r+1}$ の直線の空間 $K\mathrm{P}^r$ への同相写像で、$\gamma^k|_Z\oplus L\cong\varepsilon^{k+1}$（$L$ はファイバーが $W^\perp\cap K^{k+1}$ の直線束で、$K\mathrm{P}^r$ のトートロジー直線束に対応する）。よって $x(\gamma^k|_Z)=x(L)^{-1}$ である。$K=\mathbb{R}$ では $w(L)=1+a$（Stiefel–Whitney類 の補題「トートロジー直線束」）なので $w_r(\gamma^k|_Z)=a^r$、$K=\mathbb{C}$ では $c(L)=1-h$（Chern類 の定義「Chern類の公理的定義」の後の注意）なので $c_r(\gamma^k|_Z)=h^r$ であり、どちらも $H^{dr}(K\mathrm{P}^r)$ の生成元である。$Z$ の $dr$ 次の胞体余鎖の群は $e(\rho_r)$ 1 つで生成され、そこへの微分は $0$ である（$K=\mathbb{C}$ では奇数次元の胞体がなく、$K=\mathbb{R}$ では $H^r(\mathbb{R}\mathrm{P}^r;\mathbb{Z}/2)\ne0$ だから）。したがって生成元は $e(\rho_r)$ で値 $1$（$K=\mathbb{C}$ では $\pm1$）の余鎖であり、$x_r(\gamma^k)$ の $e(\rho_r)$ での値もそうである。$\square$