類似重心

同義語：Lemoine点ルモワーヌ点類似中線symmedian point

概要

前提知識: 等角共役, 三角関数形のCevaの定理, Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学）, 接弦定理

高校での出発点：3 辺までの距離の 2 乗の和

三角形の内部に点 $P$ をとり、$P$ から 3 辺（を含む直線）までの距離を $x$、$y$、$z$ とする。$x^2+y^2+z^2$ をいちばん小さくする点はどこだろうか。3 つの頂点までの距離の 2 乗の和 $PA^2+PB^2+PC^2$ なら、いちばん小さくするのは重心である（三角形の重心（高校数学））。辺までの距離では、答えは重心とは違う点になる。

直角三角形で距離の 2 乗の和を比べる

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,3)$ の直角三角形をとる。辺の長さは $a=BC=5$、$b=CA=3$、$c=AB=4$ である。内部の点 $P(p,q)$ から辺 $BC$（直線 $3x+4y=12$）、辺 $CA$（直線 $x=0$）、辺 $AB$（直線 $y=0$）までの距離は、点と直線の距離の公式により
$$ d_a=\frac{12-3p-4q}5,\qquad d_b=p,\qquad d_c=q $$
である（内部の点では $3p+4q<12$ なので絶対値が外れる）。$f(P)=d_a^2+d_b^2+d_c^2$ をいくつかの点で計算する。
(1) 重心 $G\left(\dfrac43,1\right)$：$d_a=\dfrac{12-4-4}5=\dfrac45$、$d_b=\dfrac43$、$d_c=1$ で、$f(G)=\dfrac{16}{25}+\dfrac{16}9+1=\dfrac{144+400+225}{225}=\dfrac{769}{225}\approx3.418$。
(2) 内心 $I(1,1)$（内接円の半径は $\dfrac{3+4-5}2=1$）：$d_a=d_b=d_c=1$ で、$f(I)=3$。
(3) 点 $K\left(\dfrac{18}{25},\dfrac{24}{25}\right)$：$d_a=\dfrac{12-\frac{54}{25}-\frac{96}{25}}5=\dfrac{300-150}{125}=\dfrac65$、$d_b=\dfrac{18}{25}$、$d_c=\dfrac{24}{25}$ で、
$$ f(K)=\frac{36}{25}+\frac{324}{625}+\frac{576}{625}=\frac{900+324+576}{625}=\frac{1800}{625}=\frac{72}{25}=2.88 $$
である。
3 つの中では $K$ がいちばん小さい。$K$ の 3 つの距離を並べると
$$ d_a:d_b:d_c=\frac{30}{25}:\frac{18}{25}:\frac{24}{25}=5:3:4=a:b:c $$
で、辺の長さに比例している。

ex-sym-start の点 $K$ が、この記事の主役の 類似重心 である。答える問いは次の 3 つである。

$K$ はどう作れるか。重心とどう関係するか。→ def-sym、prop-sym-foot
3 辺までの距離が辺の長さに比例する点は、なぜ $x^2+y^2+z^2$ を最小にするのか。→ thm-sym-dist、thm-sym-min

$K$ を通る直線を、外接円を使って引けるか。→ prop-sym-tangent

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
中線を角の二等分線で折り返す	類似中線	重心の等角共役
面積の和 $ax+by+cz=2S$	距離が辺に比例する点	重心座標 $(a^2:b^2:c^2)$
$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(ax+by+cz)^2$	距離の 2 乗の和の最小	平面への正射影（最小二乗）
接弦定理と正弦定理	接線の交点を通る	外接円に関する極

類似中線と類似重心

以下、三角形 $ABC$ の辺の長さを $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$、面積を $S$ とする。頂点 $A$ を通る直線 $\ell$ が角 $\angle BAC$ の内部を通り $AB$ と角 $\theta$ をなすとき、$A$ を通り $AB$ と角 $A-\theta$ をなす直線を $\ell$ の 等角な直線 という。これは $\ell$ を角 $A$ の二等分線で折り返した直線である（等角共役）。

類似中線と類似重心

三角形の頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ直線（中線）の等角な直線を 類似中線 という。3 本の類似中線は 1 点で交わる。この点を 類似重心 といい、$K$ で表す。Lemoine 点（ルモワーヌ点）ともいう。

3 本の類似中線が 1 点で交わることは、等角共役の主定理から分かる。三角形の内部の点 $P$ について、$AP$、$BP$、$CP$ の等角な直線はいつも 1 点で交わる。$P$ を重心 $G$ にとると、$AG$、$BG$、$CG$ は中線なので、その等角な直線である 3 本の類似中線は 1 点で交わる。つまり $K$ は重心 $G$ の等角共役点である。
灰色の破線は中線で重心 G で交わり、赤は類似中線で類似重心 K で交わる。3 辺が 13, 14, 15 の三角形

類似中線の足と類似重心の重心座標

頂点 $A$ からの類似中線が辺 $BC$ と交わる点を $K_a$ とすると
$$ \frac{BK_a}{K_aC}=\frac{c^2}{b^2} $$
である。類似重心の重心座標は $(a^2:b^2:c^2)$、つまり
$$ K=\frac{a^2A+b^2B+c^2C}{a^2+b^2+c^2} $$
である（点とその位置ベクトルを同じ文字で書く）。

比の補題を中線と類似中線に使う

方針：三角関数形のCevaの定理の比の補題（辺 $BC$ の上の点 $D$ について $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB\sin\angle BAD}{AC\sin\angle DAC}$）を、中線と類似中線に使う。
段 1（中線）。$M$ を辺 $BC$ の中点とし、$\alpha_1=\angle BAM$、$\alpha_2=\angle MAC$ とする。$BM=MC$ なので、比の補題から
$$ 1=\frac{BM}{MC}=\frac{c\sin\alpha_1}{b\sin\alpha_2},\qquad\text{つまり}\qquad \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac bc $$
である。
段 2（類似中線）。類似中線は中線の等角な直線なので、$\angle BAK_a=\alpha_2$、$\angle K_aAC=\alpha_1$ である。比の補題と段 1 から
$$ \frac{BK_a}{K_aC}=\frac{c\sin\alpha_2}{b\sin\alpha_1}=\frac cb\cdot\frac cb=\frac{c^2}{b^2} $$
である。
段 3（重心座標）。等角共役の重心座標の定理（内部の点 $(\alpha:\beta:\gamma)$ の等角共役点は $\left(\dfrac{a^2}\alpha:\dfrac{b^2}\beta:\dfrac{c^2}\gamma\right)$）を重心 $G=(1:1:1)$ に使うと、$K=(a^2:b^2:c^2)$ である。$\square$

段 3 の重心座標から段 2 の比も読み取れる。重心座標 $(\alpha:\beta:\gamma)$ の点と $A$ を結ぶ直線は、辺 $BC$ を $\gamma:\beta$ に分ける（Cevaの定理（高校数学）の重心座標の命題）ので、$K$ では $c^2:b^2$ になる。

13, 14, 15 の三角形の類似重心

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ とする（三角形の五心と同じ三角形）。$a=14$、$b=15$、$c=13$、$S=\dfrac12\cdot14\cdot12=84$ である。
(1) 類似中線の足。$\dfrac{BK_a}{K_aC}=\dfrac{169}{225}$ なので $BK_a=14\cdot\dfrac{169}{169+225}=\dfrac{2366}{394}=\dfrac{1183}{197}\approx6.005$ である。中線の足（中点）$7$ より $B$ に近い。$c< b$ なので、類似中線は中線より短い辺 $AB$ の側に寄る。
(2) 類似重心。$a^2+b^2+c^2=196+225+169=590$ で
$$ K=\frac{196(5,12)+225(0,0)+169(14,0)}{590}=\left(\frac{980+2366}{590},\frac{2352}{590}\right)=\left(\frac{1673}{295},\frac{1176}{295}\right)\approx(5.671,\ 3.986) $$
である。重心は $G\left(\dfrac{19}3,4\right)\approx(6.333,\ 4)$ である。

主定理 1：3 辺までの距離が辺の長さに比例する点

三角形の内部の点 $P$ と 3 頂点を結ぶと、三角形 $ABC$ は 3 つの三角形 $PBC$、$PCA$、$PAB$ に分かれる。$P$ から辺 $BC$、$CA$、$AB$ までの距離を $x$、$y$、$z$ とすると、3 つの面積は $\dfrac12ax$、$\dfrac12by$、$\dfrac12cz$ なので
$$ \underbrace{\frac12ax}_{\triangle PBC}+\underbrace{\frac12by}_{\triangle PCA}+\underbrace{\frac12cz}_{\triangle PAB}=S,\qquad\text{つまり}\qquad ax+by+cz=2S $$
である。$P$ が辺の上にあるときも、つぶれた三角形の面積を $0$ とみなせば同じ式が成り立つ。この等式がこの記事の計算の土台である。

類似重心の距離による特徴づけ

三角形の内部の点 $P$ から辺 $BC$、$CA$、$AB$ までの距離を $x$、$y$、$z$ とする。$x:y:z=a:b:c$ となる内部の点 $P$ はただ 1 つあり、それは類似重心 $K$ である。このとき
$$ x=\frac{2Sa}{a^2+b^2+c^2},\qquad y=\frac{2Sb}{a^2+b^2+c^2},\qquad z=\frac{2Sc}{a^2+b^2+c^2} $$
である。

面積の比と重心座標

方針：内部の点の重心座標は、3 つの三角形の面積の比 $\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB$ である（Cevaの定理（高校数学）の重心座標の命題）。距離の比と面積の比を行き来する。
段 1（$K$ は条件を満たす）。prop-sym-foot より $K$ の重心座標は $(a^2:b^2:c^2)$ なので、$\triangle KBC:\triangle KCA:\triangle KAB=a^2:b^2:c^2$ である。$K$ から 3 辺までの距離を $x,y,z$ とすると、面積は $\dfrac12ax,\dfrac12by,\dfrac12cz$ なので
$$ ax:by:cz=a^2:b^2:c^2 $$
である。1 つ目の項を $a$ で、2 つ目を $b$ で、3 つ目を $c$ で割ると $x:y:z=a:b:c$ を得る（比の各項を正の数で割ってよいのは、$ax=ta^2$、$by=tb^2$、$cz=tc^2$ となる正の数 $t$ があり、割ると $x=ta$、$y=tb$、$z=tc$ となるからである）。
段 2（ただ 1 つ）。内部の点 $P$ が $x:y:z=a:b:c$ を満たすとする。正の数 $t$ で $x=ta$、$y=tb$、$z=tc$ と書けるので、面積の比は
$$ \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=\frac12a\cdot ta:\frac12b\cdot tb:\frac12c\cdot tc=a^2:b^2:c^2 $$
である。よって $P$ の重心座標は $(a^2:b^2:c^2)$ で、重心座標が同じ点は同じ点なので（Cevaの定理（高校数学）の重心座標の存在と一意性）、$P=K$ である。
段 3（距離の値）。$x=ta$、$y=tb$、$z=tc$ を $ax+by+cz=2S$ に代入すると $t(a^2+b^2+c^2)=2S$ なので $t=\dfrac{2S}{a^2+b^2+c^2}$ である。$\square$

距離を座標で確かめる

ex-sym-foot の 13, 14, 15 の三角形で、$t=\dfrac{2\cdot84}{590}=\dfrac{84}{295}$ なので、$K$ から 3 辺までの距離は
$$ x=\frac{14\cdot84}{295}=\frac{1176}{295},\qquad y=\frac{15\cdot84}{295}=\frac{1260}{295}=\frac{252}{59},\qquad z=\frac{13\cdot84}{295}=\frac{1092}{295} $$
である。

座標で確かめる計算を開く

辺 $BC$ は $x$ 軸なので、$K$ から $BC$ までの距離は $K$ の $y$ 座標 $\dfrac{1176}{295}$ で、確かに一致する。辺 $AB$ は直線 $12x-5y=0$ なので、点と直線の距離の公式で

$$\frac{\left\lvert12\cdot\frac{1673}{295}-5\cdot\frac{1176}{295}\right\rvert}{13}=\frac{20076-5880}{295\cdot13}=\frac{14196}{3835}=\frac{1092}{295}$$

となり、これも一致する。

ex-sym-start の直角三角形（$a=5$、$b=3$、$c=4$、$S=6$）では $t=\dfrac{12}{50}=\dfrac6{25}$ で、距離は $\dfrac{30}{25},\dfrac{18}{25},\dfrac{24}{25}$ である。ex-sym-start (3) の値と一致する。

類似重心 K から 3 辺に下ろした垂線。長さは辺の長さ 14、15、13 に比例する
重心 $G$ では 3 つの三角形の面積がどれも $\dfrac S3$ なので、$ax=by=cz=\dfrac{2S}3$、つまり距離は $\dfrac1a:\dfrac1b:\dfrac1c$ に比例し、長い辺ほど近い。類似重心では距離が $a:b:c$ に比例し、長い辺ほど遠い。距離の比が「辺の長さの逆数」か「辺の長さそのもの」かが、2 つの点の違いである。

主定理 2：距離の 2 乗の和を最小にする点

ex-sym-start で見た最小を示す。道具は 3 項の Cauchy–Schwarz の不等式である（Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学））。

3 項の Cauchy–Schwarz の不等式

実数 $a,b,c,x,y,z$ について
$$ (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 $$
である。特に $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(ax+by+cz)^2$ で、$a,b,c$ がどれも $0$ でないとき、等号は $x:y:z=a:b:c$（$x=ta$、$y=tb$、$z=tc$ となる実数 $t$ がある）のときに限る。

両辺を展開する

要点：左辺を展開して $(ax+by+cz)^2$ を引くと、$a^2y^2+b^2x^2-2abxy$ のような組が 3 つ残り、それぞれが $(ay-bx)^2$ などに等しい。右辺は 2 乗の和なので $0$ 以上で、等号は $ay=bx$、$bz=cy$、$cx=az$ のとき、つまり $t=\dfrac xa$ として $x=ta$、$y=tb$、$z=tc$ のときに限る。

展開の計算を開く

段 1（左辺）。$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$ を展開すると 9 項 $a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2$ になる。$(ax+by+cz)^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2czax$ を引くと

$$a^2y^2+b^2x^2-2abxy\;+\;b^2z^2+c^2y^2-2bcyz\;+\;c^2x^2+a^2z^2-2cazx$$

が残る。

段 2（右辺）。$(ay-bx)^2=a^2y^2-2abxy+b^2x^2$、$(bz-cy)^2=b^2z^2-2bcyz+c^2y^2$、$(cx-az)^2=c^2x^2-2cazx+a^2z^2$ で、足すと段 1 の式と同じである。よって恒等式が成り立つ。

段 3（不等式と等号）。右辺は 2 乗の和なので $0$ 以上で、不等式が成り立つ。等号は $ay=bx$、$bz=cy$、$cx=az$ のときに限る。$a,b,c\ne0$ のとき $t=\dfrac xa$ とおくと、$ay=bx$ から $y=\dfrac{bx}a=tb$、$cx=az$ から $z=\dfrac{cx}a=tc$ である。逆に $x=ta$、$y=tb$、$z=tc$ なら 3 つの式はどれも成り立つ。$\square$

類似重心は距離の 2 乗の和を最小にする

三角形 $ABC$ の内部または周上の点 $P$ から辺 $BC$、$CA$、$AB$ までの距離を $x$、$y$、$z$ とすると
$$ x^2+y^2+z^2\ge\frac{4S^2}{a^2+b^2+c^2} $$
であり、等号は $P$ が類似重心 $K$ のときに限る。

面積の等式と Cauchy–Schwarz の不等式

方針：$ax+by+cz$ は $P$ によらず $2S$ である。この 1 次式の値が決まっているとき、$x^2+y^2+z^2$ の下限は lem-sym-cs で決まる。
段 1（下限）。$P$ は内部または周上にあるので $ax+by+cz=2S$ である（この節の最初の等式）。lem-sym-cs により
$$ (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(ax+by+cz)^2=4S^2 $$
で、両辺を正の数 $a^2+b^2+c^2$ で割ると主張の不等式を得る。
段 2（等号）。等号が成り立つのは、lem-sym-cs により $x=ta$、$y=tb$、$z=tc$ となる $t$ があるときに限る。$ax+by+cz=2S>0$ なので $t>0$ で、$x,y,z$ はどれも正である。$P$ が周上にあれば距離のどれかが $0$ になるので、$P$ は内部の点である。thm-sym-dist により、そのような内部の点は $K$ だけである。逆に $P=K$ なら $x:y:z=a:b:c$ なので等号が成り立つ。$\square$

最小値と、重心・内心での値

ex-sym-start の直角三角形では $\dfrac{4S^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{4\cdot36}{25+9+16}=\dfrac{144}{50}=\dfrac{72}{25}$ で、ex-sym-start (3) の $f(K)=\dfrac{72}{25}$ と一致する。
13, 14, 15 の三角形では、最小値は
$$ \frac{4\cdot84^2}{590}=\frac{28224}{590}=\frac{14112}{295}\approx47.84 $$
である。内心 $I(6,4)$ では 3 つの距離がどれも内接円の半径 $4$ で、$x^2+y^2+z^2=48$ である。重心 $G$ では距離が $\dfrac{2S}{3a},\dfrac{2S}{3b},\dfrac{2S}{3c}$、つまり $4,\dfrac{56}{15},\dfrac{56}{13}$ で、$x^2+y^2+z^2=16+\dfrac{3136}{225}+\dfrac{3136}{169}\approx48.49$ である。$\boxed{K\ (47.84)< I\ (48)< G\ (48.49)}$ の順になる。

三角形の外の点でも最小

thm-sym-min は平面全体の点についても成り立つ。三角形の外の点 $P$ では $ax+by+cz=2S$ は成り立たないが、$ax+by+cz\ge2S$ が成り立つ。実際、頂点を反時計回りにとり、符号つきの面積 $[PBC]$ などを使う。Cevaの定理（高校数学）の重心座標の命題により、$P$ の重心座標は $\left(\dfrac{[PBC]}{[ABC]},\dfrac{[PCA]}{[ABC]},\dfrac{[PAB]}{[ABC]}\right)$ で、その和は $1$ なので $[PBC]+[PCA]+[PAB]=[ABC]=S$ である。$\lvert[PBC]\rvert=\dfrac12ax$ などなので
$$ 2S=2[PBC]+2[PCA]+2[PAB]\le ax+by+cz $$
である。$ax+by+cz\ge2S>0$ から $(ax+by+cz)^2\ge4S^2$ となり、prf-sym-min の段 1 と同じ下限が得られる。等号には $ax+by+cz=2S$、つまり 3 つの符号つき面積がどれも $0$ 以上であること（$P$ が三角形の内部か周上にあること）が必要で、thm-sym-min の場合にもどる。

外接円の接線の交点を通る

類似中線は、角や比を計算しなくても、外接円の接線で引ける。

接線の交点と類似中線

三角形 $ABC$ で $\angle A<90^\circ$ とする。外接円の $B$ での接線と $C$ での接線は 1 点 $T$ で交わり、直線 $AT$ は $A$ からの類似中線である。特に、類似重心 $K$ は直線 $AT$ の上にある。

面積の比を接弦定理と正弦定理で計算する

要点：接弦定理により、$B$ と $C$ での接線は直線 $BC$ の $A$ と反対の側で $BC$ と角 $A$ をなす。$A+A<180^\circ$ なので 2 本は点 $T$ で交わり、$TB=TC$ である。直線 $AT$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると、$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\triangle ABT}{\triangle ACT}$ で、$\angle ABT=A+B=180^\circ-C$、$\angle ACT=A+C=180^\circ-B$ から $\triangle ABT=\dfrac12\,c\cdot TB\sin C$、$\triangle ACT=\dfrac12\,b\cdot TC\sin B$ である。正弦定理 $\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac cb$ より $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c^2}{b^2}$ となり、prop-sym-foot から $D$ は類似中線の足である。

詳しい証明を開く

方針：直線 $AT$ と辺 $BC$ の交点 $D$ が $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c^2}{b^2}$ を満たすことを示す。比は 2 つの三角形 $ABT$、$ACT$ の面積の比で表せる。

段 1（接線の交点）。接弦定理により、$B$ での接線と弦 $BC$ のなす角のうち、直線 $BC$ に関して $A$ と反対の側にある角は、円周角 $\angle BAC=A$ に等しい。$C$ での接線についても同じである。直線 $BC$ の $A$ と反対の側で、2 本の接線は $BC$ と角 $A$ をなし、$A+A<180^\circ$ なので 1 点 $T$ で交わる。三角形 $TBC$ は底角が等しい二等辺三角形なので、$TB=TC$ である。

段 2（$T$ は角 $A$ の内部にある）。$\angle ABT=\angle ABC+\angle CBT=B+A$ で、$A+B=180^\circ-C<180^\circ$ である。半直線 $BA$ から半直線 $BT$ まで $180^\circ$ より小さい角で回る途中に半直線 $BC$ があるので、$T$ は直線 $AB$ に関して $C$ と同じ側にある。同じく $\angle ACT=C+A<180^\circ$ から、$T$ は直線 $AC$ に関して $B$ と同じ側にある。よって $T$ は角 $\angle BAC$ の内部にあり、半直線 $AT$ は辺 $BC$ と頂点以外の点 $D$ で交わる。$A$ と $T$ は直線 $BC$ の反対の側にあるので、$D$ は線分 $AT$ の上にある。

段 3（比を面積で書く）。三角形 $ABD$ と $ADC$ は高さが共通なので $\dfrac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\dfrac{BD}{DC}$、三角形 $TBD$ と $TDC$ も同じく $\dfrac{\triangle TBD}{\triangle TDC}=\dfrac{BD}{DC}$ である（三角形の面積比）。$\dfrac pq=\dfrac rs=k$ なら $p+r=k(q+s)$ なので

$$\frac{BD}{DC}=\frac{\triangle ABD+\triangle TBD}{\triangle ADC+\triangle TDC}=\frac{\triangle ABT}{\triangle ACT}$$

である。最後の等号は、$D$ が線分 $AT$ の上にあり、三角形 $ABT$ が $ABD$ と $DBT$ に、三角形 $ACT$ が $ADC$ と $DCT$ に分かれることによる。

段 4（2 辺とその間の角）。三角形の面積の公式（三角形の面積の公式）と段 2 の角から

$$\triangle ABT=\frac12\cdot c\cdot TB\cdot\sin(A+B)=\frac12\cdot c\cdot TB\cdot\sin C,\qquad \triangle ACT=\frac12\cdot b\cdot TC\cdot\sin(A+C)=\frac12\cdot b\cdot TC\cdot\sin B$$

である（$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$ を使った）。$TB=TC$ と正弦定理 $\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac cb$（正弦定理（高校数学））から

$$\frac{BD}{DC}=\frac{c\sin C}{b\sin B}=\frac cb\cdot\frac cb=\frac{c^2}{b^2}$$

である。

段 5（類似中線）。辺 $BC$ の上の点は、比 $\dfrac{BX}{XC}$ で 1 つに決まる。prop-sym-foot より類似中線の足 $K_a$ も同じ比をもつので $D=K_a$ であり、直線 $AT$ は類似中線 $AK_a$ である。$\square$

13, 14, 15 の三角形で接線の交点を求める

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ で、$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{225+169-196}{390}=\dfrac{33}{65}>0$ なので $\angle A<90^\circ$ である。外心は $O\left(7,\dfrac{33}8\right)$ である（三角形の五心）。
$B$ と $C$ での接線の交点は $T\left(7,-\dfrac{392}{33}\right)$、$TB=TC=\dfrac{455}{33}$ で、$\overrightarrow{AK}=\dfrac{99}{295}\overrightarrow{AT}$ となるので $K$ は線分 $AT$ の上にある。直線 $AT$ と辺 $BC$ の交点は $x=\dfrac{1183}{197}$ で、ex-sym-foot (1) の $BK_a$ と一致する。

接線の交点と共線の計算を開く

(1) $B$ での接線は半径 $OB$ に垂直なので、$\overrightarrow{OB}=\left(-7,-\dfrac{33}8\right)$ に垂直で $B$ を通る直線 $7x+\dfrac{33}8y=0$ である。$C$ での接線は $\overrightarrow{OC}=\left(7,-\dfrac{33}8\right)$ に垂直で $C$ を通る直線 $7(x-14)-\dfrac{33}8y=0$ である。2 式を足すと $14x-98=0$ で $x=7$、代入して $y=-\dfrac{392}{33}$ なので、$T\left(7,-\dfrac{392}{33}\right)$ である。$TB=TC=\sqrt{49+\left(\dfrac{392}{33}\right)^2}=\dfrac{455}{33}$ である。

(2) $\overrightarrow{AT}=\left(2,-\dfrac{788}{33}\right)$、$\overrightarrow{AK}=\left(\dfrac{1673}{295}-5,\dfrac{1176}{295}-12\right)=\left(\dfrac{198}{295},-\dfrac{2364}{295}\right)$ である。成分の比は $\dfrac{198/295}2=\dfrac{99}{295}$、$\dfrac{-2364/295}{-788/33}=\dfrac{2364\cdot33}{788\cdot295}=\dfrac{99}{295}$ で等しいので、$\overrightarrow{AK}=\dfrac{99}{295}\overrightarrow{AT}$ であり、$K$ は線分 $AT$ の上にある。直線 $AT$ と $x$ 軸の交点は $x=\dfrac{1183}{197}$ で、ex-sym-foot (1) の $BK_a$ と一致する。

B と C での外接円の接線の交点 T は、A からの類似中線の上にあり、類似重心 K もその上にある

重心と類似重心を比べる

	重心 $G$	類似重心 $K$
作り方	3 本の中線の交点	3 本の類似中線の交点
重心座標	$(1:1:1)$	$(a^2:b^2:c^2)$
$A$ からの線が辺 $BC$ を分ける比	$1:1$	$c^2:b^2$
3 辺までの距離の比	$\dfrac1a:\dfrac1b:\dfrac1c$	$a:b:c$
最小にする量	$PA^2+PB^2+PC^2$	3 辺までの距離の 2 乗の和
13, 14, 15 の三角形	$\left(\dfrac{19}3,4\right)$	$\left(\dfrac{1673}{295},\dfrac{1176}{295}\right)$

2 つの点は等角共役で結ばれている（等角共役）。重心が「頂点までの距離」で特徴づけられ（三角形の重心（高校数学））、類似重心が「辺までの距離」で特徴づけられるのは、頂点と辺の役割を入れかえた関係になっている。正三角形では中線と類似中線が一致し、$K=G$ である。

2 つの量を 2 つの点で比べる

13, 14, 15 の三角形で、頂点までの距離の 2 乗の和 $g(P)=PA^2+PB^2+PC^2$ と、辺までの距離の 2 乗の和 $f(P)=x^2+y^2+z^2$ を比べる。
$G$ では $g(G)=\dfrac{590}3\approx196.67$、$f(G)\approx48.49$、$K$ では $g(K)\approx197.98$、$f(K)=\dfrac{14112}{295}\approx47.84$ である。

2 点での値の計算を開く

(1) $G\left(\dfrac{19}3,4\right)$：$GA^2=\left(\dfrac43\right)^2+8^2=\dfrac{592}9$、$GB^2=\left(\dfrac{19}3\right)^2+16=\dfrac{505}9$、$GC^2=\left(\dfrac{23}3\right)^2+16=\dfrac{673}9$ で、$g(G)=\dfrac{1770}9=\dfrac{590}3\approx196.67$ である。$f(G)\approx48.49$（ex-sym-min）。

(2) $K$：同じように計算すると $g(K)=\dfrac{3445886}{17405}\approx197.98$、$f(K)=\dfrac{14112}{295}\approx47.84$ である。

$g$ は $G$ の方が小さく、$f$ は $K$ の方が小さい。「いちばん真ん中の点」は、何の距離で測るかによって変わる。

例と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\angle A\ne90^\circ$（prop-sym-tangent では $\angle A<90^\circ$ を仮定）	直角三角形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,3)$	$B$ と $C$ での接線が交わる
距離を測る相手が 3 辺（thm-sym-min）	3 頂点までの距離の 2 乗の和	最小にする点が $K$ になる
$P$ が三角形の内部か周上（面積の等式）	外の点 $P(4,3)$	$ax+by+cz=2S$

反例：直角三角形では接線が平行

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,3)$ では $\angle A=90^\circ$ で、辺 $BC$ は外接円の直径である（直径に対する円周角）。外心は $BC$ の中点 $O\left(2,\dfrac32\right)$ で、$B$ での接線は $\overrightarrow{OB}=\left(2,-\dfrac32\right)$ に、$C$ での接線は $\overrightarrow{OC}=\left(-2,\dfrac32\right)$ に垂直である。2 つのベクトルは向きが反対なだけなので、2 本の接線は平行で、交点 $T$ はない。prop-sym-tangent は $\angle A<90^\circ$ を仮定していた。2 本の接線が平行になるのは $\angle A=90^\circ$ のときだけで、$\angle A>90^\circ$ のときは 2 本は直線 $BC$ の $A$ の側で交わり、その交点もやはり $A$ からの類似中線の上にある（この記事では証明しない）。
それでも類似重心はある。ex-sym-start で見たとおり $K\left(\dfrac{18}{25},\dfrac{24}{25}\right)$ である。$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足は $H\left(\dfrac{36}{25},\dfrac{48}{25}\right)$ で、$K$ はちょうど線分 $AH$ の中点である。一般に $\angle A=90^\circ$ なら $a^2=b^2+c^2$ で、垂線の足は $BC$ を $BH:HC=c^2:b^2$ に分け（直角三角形 $ABH$ と $CBA$ の相似から $BH=\dfrac{c^2}a$、同じく $HC=\dfrac{b^2}a$）、$H=\dfrac{b^2B+c^2C}{a^2}$ である。すると
$$ K=\frac{a^2A+b^2B+c^2C}{2a^2}=\frac12A+\frac12\cdot\frac{b^2B+c^2C}{a^2}=\frac{A+H}2 $$
で、$K$ は $AH$ の中点である。直角の頂点からの類似中線は、斜辺への垂線である。

直角三角形では類似重心 K は直角の頂点からの垂線 AH の中点で、B と C での接線は平行になる

反例：頂点までの距離では重心が勝つ

ex-sym-compare で見たとおり、13, 14, 15 の三角形で $PA^2+PB^2+PC^2$ は $G$ で $\dfrac{590}3\approx196.67$、$K$ で約 $197.98$ である。「3 辺までの距離」を「3 頂点までの距離」に替えると、最小にする点は $K$ ではなく重心 $G$ になる（三角形の重心（高校数学））。

反例：外の点では面積の等式が崩れる

ex-sym-start の直角三角形で、外の点 $P(4,3)$ をとる。辺 $BC$（$3x+4y=12$）までの距離は $\dfrac{\lvert12+12-12\rvert}5=\dfrac{12}5$、辺 $CA$（$x=0$）までは $4$、辺 $AB$（$y=0$）までは $3$ なので
$$ ax+by+cz=5\cdot\frac{12}5+3\cdot4+4\cdot3=36\ne12=2S $$
である。3 つの三角形 $PBC$、$PCA$、$PAB$ が三角形 $ABC$ からはみ出して重なるので、面積の和が $S$ にならない。それでも rem-sym-outside のとおり $ax+by+cz\ge2S$ は成り立つので、下限 $\dfrac{72}{25}$ は崩れない。実際 $x^2+y^2+z^2=\dfrac{144}{25}+16+9=\dfrac{769}{25}>\dfrac{72}{25}$ である。

大学数学で見る：最小二乗と正射影

thm-sym-min は、空間のベクトルの言葉で読むと「平面への正射影」である。

平面に最も近い点

3 つの距離を並べたベクトル $\vec v=(x,y,z)$ と、辺の長さのベクトル $\vec n=(a,b,c)$ を考える。条件 $ax+by+cz=2S$ は内積で $\vec n\cdot\vec v=2S$ と書け、座標空間の平面を表す（$\vec n$ はその法線ベクトル）。$x^2+y^2+z^2=\lvert\vec v\rvert^2$ なので、thm-sym-min は「原点からこの平面までの最短距離は $\dfrac{2S}{\lvert\vec n\rvert}$ で、最も近い点は $\vec v=\dfrac{2S}{\lvert\vec n\rvert^2}\vec n$」という事実の言い換えである（点と平面の距離）。最も近い点が法線ベクトル $\vec n$ の方向にあること、つまり $\vec v$ が $(a,b,c)$ に比例することが、「距離が辺の長さに比例する」という thm-sym-dist の条件である。

最小二乗法として見ることを開く

平面の点 $P(p,q)$ から 3 辺を含む直線までの符号つきの距離は、どれも $p,q$ の 1 次式 $\ell_1(p,q)$、$\ell_2(p,q)$、$\ell_3(p,q)$ で書ける（点と直線の距離）。「3 本の直線すべての上にある点」を求める連立方程式 $\ell_1=\ell_2=\ell_3=0$ は、3 本が 1 点で交わらないので解をもたない。そこで、式の残り $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ の 2 乗の和をいちばん小さくする $(p,q)$ を「いちばんよく合う解」とするのが 最小二乗法 の考え方である（最小二乗法、散布図と回帰直線の回帰直線と同じ考え方）。類似重心は、三角形の 3 辺に対する最小二乗の解である（Wei26 にもこの見方が書かれている）。

最小二乗の解は、行列の言葉では、連立方程式 $\ell_1=\ell_2=\ell_3=0$ を $M\vec x=\vec b$（$M$ は $p,q$ の係数を並べた行列、$\vec b$ は定数項を右辺に移したベクトル）と書いたときの正規方程式 $M^{\mathsf T}M\vec x=M^{\mathsf T}\vec b$（$\vec x=(p,q)$）の解として求まる（最小二乗法）。ここでは Cauchy–Schwarz の不等式の等号条件が、その役を果たしている。

さらに先へ

類似重心を通って 3 辺に平行な直線を引くと、3 辺と交わる 6 点は 1 つの円の上にある（第 1 Lemoine 円。この記事では証明しない）。類似重心の性質は多く、Wei26 にまとめられている。Kimberling の三角形の中心の百科事典（三角形の五心で紹介している）では、類似重心は 6 番目の点 X(6) として登録されている（Wei26）。
内接円の 3 つの接点を頂点とする三角形では、もとの三角形の Gergonne 点がその三角形の類似重心になる（証明しない）。Gergonne 点は次の記事 Gergonne点とNagel点で扱う。
等角共役の一般論と、外心と垂心の組は等角共役で扱う。
条件 $ax+by+cz=2S$ のもとで $x^2+y^2+z^2$ の最小を求めるのは、条件付きの最大・最小の典型である（条件付きの最大・最小）。