超フィルター

まず、$A$ と $X\setminus A$ の両方が $U$ に属することはない。属すればその共通部分 $\emptyset$ が $U$ に属してしまうからである。

(i)⇒(ii)：$U$ が極大で、$A\notin U$ とする。すべての $F\in U$ で $F\cap A\ne\emptyset$ だと仮定すると、

$$ \mathcal F:=\{\,B\subset X\mid \text{ある }F\in U\text{ で }F\cap A\subset B\,\} $$

はフィルターである（$F\cap A\ne\emptyset$ から $\emptyset\notin\mathcal F$、$(F\cap A)\cap(F'\cap A)=(F\cap F')\cap A$ から (ii)、(iii) は定義から）。$F\in U$ なら $F\cap A\subset F$ だから $U\subset\mathcal F$ であり、$X\cap A=A$ だから $A\in\mathcal F$ である。$A\notin U$ なので $\mathcal F\ne U$ となり、極大性に反する。よって、ある $F\in U$ で $F\cap A=\emptyset$ となり、$F\subset X\setminus A$ だから $X\setminus A\in U$ である。

(ii)⇒(iii)：$A\cup B\in U$ で $A\notin U$、$B\notin U$ とする。(ii) から $X\setminus A$、$X\setminus B$ は $U$ に属し、その共通部分 $X\setminus(A\cup B)$ も属する。これと $A\cup B$ の共通部分は $\emptyset$ で、$U$ に属することになり矛盾である。

(iii)⇒(i)：$U\subset\mathcal F$ となるフィルター $\mathcal F$ と $A\in\mathcal F$ をとる。$A\cup(X\setminus A)=X\in U$ だから、(iii) より $A\in U$ か $X\setminus A\in U$ である。後者なら $X\setminus A\in\mathcal F$ となり、$\emptyset=A\cap(X\setminus A)\in\mathcal F$ で矛盾する。よって $A\in U$ であり、$\mathcal F=U$ である。$\square$

有限集合 $F=\{x_1,\dots,x_n\}\in U$ をとる（$\emptyset\notin U$ なので $n\ge1$）。$F=\{x_1\}\cup\dots\cup\{x_n\}$ だから、thm-uf-characterization の (iii) を繰り返し使うと、ある $i$ で $\{x_i\}\in U$ である。$x:=x_i$ とおく。$x\in A$ なら $\{x\}\subset A$ だから $A\in U$ である。$x\notin A$ なら $A\cap\{x\}=\emptyset$ だから $A\notin U$ である。よって $U=U_x$ である。

$X$ が有限なら $X\in U$ 自身が有限集合なので $U$ は主である。$U$ が非主なら、有限集合 $F$ は $U$ に属さないので、(ii) より $X\setminus F\in U$ である。$\square$

$\mathcal F$ を含む $X$ 上のフィルター全体を $\Phi$ とし、包含で順序づける。$\mathcal F\in\Phi$ なので $\Phi$ は空でない。$\Phi$ の空でない鎖 $\mathcal C$ をとり、$\mathcal G:=\bigcup\mathcal C$ とおく。$X\in\mathcal G$、$\emptyset\notin\mathcal G$ であり、上に閉じていることは明らかである。$A,B\in\mathcal G$ なら $A\in\mathcal G_1$、$B\in\mathcal G_2$（$\mathcal G_1,\mathcal G_2\in\mathcal C$）で、鎖なのでどちらか大きい方に $A,B$ がともに属し、$A\cap B$ もそこに属する。よって $\mathcal G\in\Phi$ は $\mathcal C$ の上界である。Zornの補題（選択公理と同値）により $\Phi$ は極大元 $U$ をもつ。$U\subset\mathcal F'$ となるフィルター $\mathcal F'$ は $\mathcal F$ を含むので $\Phi$ に属し、極大性から $\mathcal F'=U$ である。よって $U$ は超フィルターである。

$X$ が無限なら、$\mathcal F_{\mathrm{cof}}$ に当てはめて得た超フィルターは余有限集合をすべて含むので、prop-uf-finite-principal の後の注意により非主である。$\square$

$f^{-1}(Y)=X\in U$、$f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\notin U$ である。逆像は共通部分と包含を保つので、フィルターの (ii)(iii) も成り立つ。さらに $f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ なので、$B$ と $Y\setminus B$ のちょうど一方が $f_*U$ に属する。後半は、$f_*U=U_y$ と $\{y\}\in f_*U$、すなわち $f^{-1}(\{y\})\in U$ が同値であることによる（prop-uf-finite-principal）。$\square$

存在：$\lvert a_n\rvert\le M$ とし、$I_0:=[-M,M]$ とおく。$\{n\mid a_n\in I_0\}=\omega\in U$ である。閉区間 $I_k$ で $A_k:=\{n\mid a_n\in I_k\}\in U$ となるものが得られたとき、$I_k$ を中点で左右の閉区間 $I^-$、$I^+$ に分ける。$A_k=\{n\mid a_n\in I^-\}\cup\{n\mid a_n\in I^+\}$ だから、thm-uf-characterization の (iii) によりどちらかは $U$ に属する。属する方を $I_{k+1}$ とする。$I_k$ の長さは $2M/2^k$ で、区間縮小法により $\bigcap_kI_k=\{L\}$ となる実数 $L$ がある。$\varepsilon>0$ に対し $2M/2^k<\varepsilon$ となる $k$ をとると、$I_k$ は $L$ を含み長さが $\varepsilon$ 未満なので、$a_n\in I_k$ なら $\lvert a_n-L\rvert<\varepsilon$ である。よって $A_k\subset\{n\mid\lvert a_n-L\rvert<\varepsilon\}$ で、右辺は $U$ に属する。

一意性：$L\ne L'$ がともに条件を満たすとし、$\varepsilon:=\lvert L-L'\rvert/2$ とおく。2 つの集合 $\{n\mid\lvert a_n-L\rvert<\varepsilon\}$、$\{n\mid\lvert a_n-L'\rvert<\varepsilon\}$ はともに $U$ に属するが、互いに交わらないので、共通部分 $\emptyset$ が $U$ に属することになり矛盾である。$\square$

$U$ から $\mu$ を $A\in U$ なら $1$、そうでなければ $0$ と定める。交わらない $A,B$ は両方 $U$ に属することはない（属すれば $\emptyset=A\cap B\in U$）。また $A\cup B\in U$ であるのは、$A$ か $B$ が $U$ に属するときに限る（「ならば」は thm-uf-characterization の (iii)、逆は上に閉じていること）。よって $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$ である。

逆に $\mu$ が与えられたとき、$U:=\{A\mid\mu(A)=1\}$ とおく。$\mu(\emptyset)=\mu(\emptyset)+\mu(\emptyset)$ から $\mu(\emptyset)=0$ である。$A\subset B$ なら $\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)\ge\mu(A)$ で、$U$ は上に閉じている。$A,B\in U$ なら $\mu(X\setminus B)=\mu(X)-\mu(B)=0$ で、$\mu(A\setminus B)\le\mu(X\setminus B)=0$ だから $\mu(A\cap B)=\mu(A)-\mu(A\setminus B)=1$ である。最後に $\mu(A)+\mu(X\setminus A)=1$ なので、$A$ と $X\setminus A$ のちょうど一方が $U$ に属する。2 つの対応は互いに逆である。$\square$