Giraud–Lurieの公理

前提知識: ∞トポス, Giraudの定理, 表示可能∞圏, 余極限(∞圏), 単体的対象

Giraud–Lurie の公理は、∞圏が ∞トポス であることを、前層の局所化という外からの記述によらず、∞圏そのものの 4 つの性質で述べたものである。通常のトポスについての Giraudの定理 の∞圏版にあたり、4 つの公理は「表示可能である」「余極限が普遍的である」「余積が交わらない」「亜群対象が有効である」である。
通常の場合との最大の違いは 4 番目にある。集合の圏で良い商をもつのは同値関係だけである。集合に群が非自明に作用していれば、軌道の集合は安定化群の情報を失う。ところが空間の∞圏では、亜群の商をホモトピー商としてとることで、自己同型の情報が商の基本群として残る。∞トポスでは、同値関係の代わりにすべての亜群対象が「商の核」になる。
Giraud–Lurie の定理の主張と、同値な言い換えである Rezk の降下の条件を述べ、次を証明する。

1. 降下の条件から公理 (ii)〜(iv) が従う（thm-gla-descent。平行移動についての 2 つの補題は引用する）。
2. 亜群対象の有効性は左完全な局所化で受け継がれる（thm-gla-lex）。
3. 集合の圏の脈体で有効な亜群対象は、ちょうど同値関係である（prop-gla-set）。
4. 安定∞圏では、公理のうち余積と亜群対象の条件が成り立つ（prop-gla-stable）。
   さらに、どの公理も残りから従わないことを例で示す。難しい向き「公理から∞トポスへ」はこの記事では証明せず、証明の筋と公理の使われ方を述べる。

公理

$\mathcal X$ を小さい余極限と有限極限をもつ∞圏とする。始対象を $\emptyset$ と書く。$\Delta$ を空でない有限全順序集合 $[n]=\{0,\dots,n\}$ の圏、$\Delta_+$ を空集合 $[-1]$ を加えた圏とする。$N(\Delta_+)^{\mathrm{op}}$ は $N(\Delta)^{\mathrm{op}}$ に錐点 $[-1]$ を加えたものである。

集合の圏では、亜群対象は通常の小さい亜群の脈体である（同 Example 6.1.2.1, p. 536）。Čech 脈体は射 $U_0\to U_{-1}$ の「核」にあたり、有効とは「亜群が自分の商の核に等しい」ことを意味する。

(ii) は「和と積の分配法則」にあたる。(ii) は引き戻し関手 $\mathcal X_{/S}\to\mathcal X_{/T}$ が小さい余極限を保つことと言い換えられ（同 Definition 6.1.1.2, p. 532）、$\mathcal X$ が表示可能なら、この関手が右随伴をもつことと同値である。これらの条件の定義の説明は ∞トポス にもある。

降下

自然変換 $\alpha\colon p\to q$（$p,q\colon K\to\mathcal X$）が Cartesian であるとは、$K$ の各辺 $x\to y$ について、正方形 $p(x)\to p(y)$、$q(x)\to q(y)$ が引き戻しであることをいう（HTT09 Definition 6.1.3.1, p. 544）。$K^{\triangleright}$ を $K$ に錐点 $\infty$ を加えた単体的集合とする。

⇐ の向きは余極限が普遍的であることにあたる。⇒ の向きが新しい内容で、「$q(i)$ の上の対象 $p(i)$ の族が整合的に与えられると、$\operatorname{colim}q(i)$ の上の対象 $\operatorname{colim}p(i)$ に貼り合わさり、それを $q(i)$ へ引き戻すと元の $p(i)$ に戻る」ことをいう。言い換えると、$X=\operatorname{colim}_iX_i$ のとき
$$ \mathcal X_{/X}\simeq\lim_i\mathcal X_{/X_i} $$
である。この形が同 Theorem 6.1.3.9 の (3)（p. 548）にあたり、スライスをとる関手 $\mathcal X^{\mathrm{op}}\to\mathrm{Pr}^L$ が極限を保つという条件である。
$\mathcal X=\mathcal S$ のとき、この式は次のように読める。空間 $B$ の上の空間は、$B$ から $\mathcal S$ への関手、すなわち $B$ の各点にファイバーを割り当て、道に同値を割り当てるデータである（$\mathcal S_{/B}\simeq\operatorname{Fun}(B,\mathcal S)$。直化と非直化）。空間の余極限の上の関手は、各部分の上の関手を整合的に貼り合わせたものなので、上の式が成り立つ。この説明は見通しであり、$\mathcal S$ が降下の条件を満たすことはこの記事では証明しない（HTT09 Lemma 6.1.3.14, p. 550 と Theorem 6.1.3.9）。

2 の特徴づけは Rezk による（同 Remark 6.1.0.7, p. 530）。この記事では、2 ⇒ 3 を平行移動についての 2 つの補題を引用して証明し、1 ⇒ 3 を $\mathcal S$ についての事実に帰着する。1 ⇒ 2 と 3 ⇒ 1 はこの記事では証明しない。

降下から公理へ

亜群対象の平行移動（décalage）を次のように定める。$U_\bullet$ の余極限の錐を $U_\bullet^+$ とする。順序集合 $J$ に最大元 $\infty$ を付け加える関手 $J\mapsto J\star\{\infty\}$ を $\Delta_+$ に合成すると、増大単体的対象 $U'^+_\bullet$（$U'_n=U_{n+1}$、$U'_{-1}=U_0$）を得る。包含 $J\subset J\star\{\infty\}$ から、自然変換 $\bar\alpha\colon U'^+_\bullet\to U_\bullet^+$ を得る。

• (a) $U'^+_\bullet$ は余極限の図式である（$U'_\bullet$ は $U_0$ の上で分裂している）。
• (b) $U_\bullet$ が亜群対象なら、$\bar\alpha|_{N(\Delta)^{\mathrm{op}}}$ は Cartesian である。
  どちらも HTT09 Lemma 6.1.3.17（p. 554）であり、(a) は同 Lemma 6.1.3.16（p. 553）による。この 2 つの補題はこの記事では証明しない。

(iv) の証明の核心は、平行移動 $U'_\bullet$ の余極限が $U_0$ になることである。$U_0$ が一点で $U_1=G$ が群のとき、$U_\bullet$ は $G$ の bar 構成で、$U'_\bullet\to U_\bullet$ は普遍束 $EG\to BG$ の単体的な模型にあたる。全空間 $EG$ が可縮であることが (a) で、$G$ が $EG\to BG$ のファイバーであることが $U_1\simeq U_0\times_{U_{-1}}U_0$ である。
$\mathcal S$ が降下の条件を満たすので、thm-gla-descent から $\mathcal S$ のすべての亜群対象は有効である（HTT09 Corollary 6.1.3.20, p. 556）。

局所化による継承

これと ∞トポス の定理「左完全な局所化による継承」を合わせると、1 ⇒ 3 が $\mathcal S$ の事実に帰着する。

集合の圏と同値関係

公理 (iv) が通常のトポスの公理と本質的に違うことを、集合の圏で見る。

$\mathcal G$ が点 1 つと群 $G\ne1$ からなるとき、$N(\mathbf{Set})$ での商は一点で、$G$ の情報は完全に失われる。これに対し $\mathcal S$ での商は分類空間である（ex-gla-groupoid）。$\mathcal S$ が $N(\mathbf{Set})$ より「良い」のは、集合の圏の中では同値関係しか有効でないのに対し、空間の中ではすべての亜群が有効になるところである。
一般に、$n$-トポス（$1\le n<\infty$）の Giraud の公理では、$\mathcal X$ が $n$ 圏であることを課し、(iv) を「$U_1\to U_0\times U_0$ が $(n-2)$ 切り詰め射である亜群対象（$n$-efficient な亜群対象）は有効である」に替える（HTT09 Theorem 6.4.1.5 の (6), p. 640、Definition 6.4.3.1, p. 645。この記事では証明しない）。$n=1$ では $U_1\to U_0\times U_0$ は単射であり、同値関係の有効性という Giraudの定理 の条件に戻る。$n=\infty$ では切り詰めの制限がなくなり、(iv) になる（同 Remark 6.4.3.2）。

Giraudの定理 の条件の立て方は文献により異なり、普遍性を余積と商に分けて述べるものもある。上の表は HTT09 Proposition 6.1.0.1（pp. 528–529）の形にそろえたものである。

安定∞圏

零でない対象をもつ安定∞圏では余極限は普遍的でない（∞トポス の系「狭義の始対象」の証明）。したがって、零でない対象をもつ表示可能な安定∞圏は、(ii) だけを破る例である。

公理から∞トポスへ

難しい向き 3 ⇒ 1 の証明の筋を述べる。この向きはこの記事では証明しない（HTT09 §6.1.4–§6.1.5, pp. 556–565）。

1. 正則基数 $\kappa$ を、$\mathcal X$ が $\kappa$ 到達可能で、$\kappa$ コンパクト対象のなす充満部分∞圏 $\mathcal X^\kappa$ が有限極限で閉じるようにとる（同 Proposition 5.4.7.4, p. 450）。$\mathcal C$ を $\mathcal X^\kappa$ の小さい模型とすると、$\mathcal X\simeq\mathrm{Ind}_\kappa(\mathcal C)$ である。
2. 包含 $\mathrm{Ind}_\kappa(\mathcal C)\subset\mathcal P(\mathcal C)$ には左随伴 $L$ があり、これは到達可能な局所化である。$L$ と米田埋め込みの合成は、$\mathcal C\to\mathrm{Ind}_\kappa(\mathcal C)$ なので左完全である。
3. 残るのは $L$ の左完全性である。一般に、$\mathcal C$ が有限極限をもち $\mathcal X$ が公理を満たすとき、余極限を保つ関手 $F\colon\mathcal P(\mathcal C)\to\mathcal X$ は、米田埋め込みとの合成が左完全なら左完全である（同 Proposition 6.1.5.2, p. 562）。
4. これを示すため、$Z\in\mathcal P(\mathcal C)$ を、$Z$ への射に沿う引き戻しを $F$ が保つとき「良い」という。表現可能前層は仮定から良い。$\mathcal P(\mathcal C)$ の対象は表現可能前層から余積と余等化子で作られるので、良い対象がそれらで閉じることを示せばよい。
   各公理の使われ方は次のとおりである。

   公理	使われる場所
   (i)	段 1・2：小さい $\mathcal C$ と局所化の存在
   (ii)	段 4：良さの判定を表現可能前層からの射に帰着する
   (iii)	段 4：良い対象が小さい余積で閉じる（同 Lemma 6.1.5.1, p. 561）
   (iv)	段 4：良い対象が余等化子で閉じる（同 Proposition 6.1.4.2, p. 557。余等化子の図式が生成する亜群対象の有効性を使う）

反例の表

4 つの公理はどれも残りの 3 つから従わない。各行は、外す公理だけを破る例である。

$\Delta^1$ と $N(\mathbf{Set})$ はどちらも $\mathcal S$ の局所化である（$\Delta^1$ は ∞トポス の例「左完全でない局所化」の $\mathcal Y$）。しかしどちらの局所化も左完全でない。たとえば $\pi_0$ は、円周の基点どうしの引き戻し $\ast\times_{S^1}\ast\simeq\mathbb Z$ を $\ast\times_\ast\ast=\ast$ に写さない。そのため (iii)・(iv) は受け継がれない。

注意

• 公理は $\mathcal X$ の性質であって、$\mathcal X$ を前層の局所化として表す仕方によらない。同じ∞トポスが異なる $\mathcal C$ の局所化として表されることがある。
• 公理は Grothendieck 位相に触れない。通常のトポスと異なり、∞トポスがいつも位相から来るとは限らない（HTT09 p. 530 の説明、§6.5。この記事では証明しない）。
• (ii) の普遍性は、$\mathcal X$ が表示可能のとき、局所的に Cartesian 閉であることと同じである（同 Remark 6.1.3.11, p. 549。この記事では証明しない）。

関連項目

• 前提: ∞トポス, 表示可能∞圏, 余極限(∞圏), 単体的対象
• 比較: Giraudの定理, トポス, 安定∞圏, スペクトラムの∞圏
• 例: 空間の∞圏, ∞層, 亜群
• 道具: 直化と非直化, 左完全関手, 分類トポス