分岐のある関数の積分

同義語：鍵穴積分路keyhole contourbranch cut integration

概要

前提知識: Cauchyの積分定理, 留数定理, 広義積分, 指数関数

$\int_0^\infty x^{\alpha-1}/(1+x)\,dx$ のように非整数の冪を含む積分では、複素変数に移した $z^{\alpha-1}$ の値が偏角の選び方に依存する。正の実軸のすぐ上とすぐ下で異なる値を取るように分枝を選ぶと、実軸の二つの岸の積分の差を留数で求められる。これが鍵穴の積分路を使う計算法である。
鍵穴という名前は、原点を小円でよけ、正の実軸の両側を進み、外側の大円で閉じる形を表す。積分路の見た目だけを覚えても、冪の係数の差や円弧の寄与は決まらない。どこで複素対数を定義し、偏角をどの範囲に取ったかを先に明示する必要がある。この記事では偏角を $0< \arg z<2\pi$ とし、正の実軸を切断する。この規約では上岸と下岸の偏角の差が $2\pi$ になる。
この記事は分枝の定義を本文内で完結させ、鍵穴の一般公式と代表的な積分を証明する。小円と大円の評価を行ったうえで $\int_0^\infty x^{\alpha-1}/(1+x)\,dx=\pi/\sin\pi\alpha$ を求め、対数を含む積分との関係も示す。Γ関数の相反公式と同じ値が現れるが、ここでの主題は実積分を表す二つの岸と円弧の計算である。

定義と使える条件

正の実軸を切断した対数と冪

$D=\mathbb C\setminus[0,\infty)$ とする。$z\in D$ に対して $0< \operatorname{Arg}_+z<2\pi$ となる偏角を一意に選び、
$$\operatorname{Log}_+z:=\log|z|+i\operatorname{Arg}_+z$$
と定める。実数 $\alpha$ に対するこの領域での冪を
$$z^{\alpha-1}:=\exp\bigl((\alpha-1)\operatorname{Log}_+z\bigr)$$
とする。以後、複素数の冪はこの分枝を使う。

通常の主分枝は Cauchyの積分定理の命題「対数の主値の正則性」にある。ここでは切断と偏角の範囲を変えて定義を明示する。
この対数は $D$ 上で正則である。局所的には $z=x+iy$ に対する偏角の導関数は $\partial\operatorname{Arg}_+z/\partial x=-y/(x^2+y^2)$、$\partial\operatorname{Arg}_+z/\partial y=x/(x^2+y^2)$ であり、$\log|z|$ の導関数と Cauchy–Riemann の関係を満たす。偏角は切断を横切らない近傍で連続に選べるため、この計算が各点で成立し、$\operatorname{Log}_+'(z)=1/z$ となる。従って冪も指数関数との合成として正則である。
実数 $x>0$ に上から近づくと偏角は $0$ に近づき、下から近づくと $2\pi$ に近づく。このため上岸の冪の極限は $x^{\alpha-1}$、下岸の極限は
$$e^{2\pi i(\alpha-1)}x^{\alpha-1}=e^{2\pi i\alpha}x^{\alpha-1}$$
になる。両岸の実数 $x$ は同じでも、選んだ正則関数の境界値は異なる。$\alpha$ が整数なら係数は $1$ になるが、鍵穴の公式では $0< \alpha<1$ を使うため差は零にならない。

鍵穴の積分路

$0< r< R$ と $0< \delta< \pi$ をとる。偏角 $\delta$ の半径方向を $r$ から $R$ へ進み、大円 $|z|=R$ を偏角 $\delta$ から $2\pi-\delta$ へ進み、偏角 $2\pi-\delta$ の半径方向を $R$ から $r$ へ戻り、小円 $|z|=r$ を偏角 $2\pi-\delta$ から $\delta$ へ戻る閉曲線を考える。この曲線は切断を横切らず、扇形の環状領域を反時計回りに囲む。

正の実軸そのものは分枝の定義域から除かれているため、閉曲線を最初から実軸上に置くとは言わない。まず $r,R$ を固定し、$\delta\downarrow0$ の極限で二つの岸の境界値を得る。その後に $r\downarrow0$、$R\to\infty$ とする。有限の半径方向の区間では、正の実軸上に極がなければ連続性によってこの最初の極限が取れる。

公式の表

積分・境界値	公式	使える条件	根拠
冪の下岸	$e^{2\pi i\alpha}$×上岸	$\operatorname{Arg}_+\in(0,2\pi)$	def-bci-branch
$\int_0^\infty x^{\alpha-1}R(x)dx$	$\frac{2\pi i}{1-e^{2\pi i\alpha}}\sum\operatorname{Res}(z^{\alpha-1}R(z))$	thm-bci-rational の条件	thm-bci-rational
$\int_0^\infty x^{\alpha-1}/(1+x)dx$	$\pi/\sin\pi\alpha$	$0< \alpha<1$	cor-bci-beta-integral
$\int_0^\infty x^{\alpha-1}/(x+b)dx$	$b^{\alpha-1}\pi/\sin\pi\alpha$	$b>0$、$0< \alpha<1$	変数変換と cor-bci-beta-integral
$\int_0^\infty\log x/(x^2+b^2)dx$	$\pi\log b/(2b)$	$b>0$	thm-bci-logarithmic

有理関数 $R$ の極は正の実軸の外にあり、原点と無限遠の円弧を消す条件を満たす必要がある。表の一般公式では、分枝を固定したうえでその領域内の極の留数を取る。負の実軸上の極では偏角は $\pi$ であり、$(-b)^{\alpha-1}$ を実数の冪として計算してはいけない。

鍵穴による一般公式

有理関数を掛けた冪の積分

$0< \alpha<1$ とし、有理関数 $R$ は $[0,\infty)$ 上に極をもたず、
$$x^\alpha R(x)\to0\quad(x\downarrow0),\qquad x^\alpha R(x)\to0\quad(x\to\infty)$$
を満たすとする。このとき積分は絶対収束し、def-bci-branch の分枝で
$$\bigl(1-e^{2\pi i\alpha}\bigr) \int_0^\infty x^{\alpha-1}R(x)\,dx =2\pi i\sum_b\operatorname{Res}(z^{\alpha-1}R(z),b)$$
である。和は $R$ のすべての有限の極 $b$ について取る。

$R=0$ なら自明なので零でないとする。原点に極がなく、原点近傍では $R$ は有界である。したがって $|x^{\alpha-1}R(x)|\le Cx^{\alpha-1}$ であり、$\alpha>0$ によって原点近傍で絶対可積分である。無限遠では有理関数の次数の差を $m=\deg(\text{分母})-\deg(\text{分子})$ とすると、$R(z)=cz^{-m}(1+O(1/z))$、$c\ne0$ である。実軸上の条件 $x^\alpha R(x)\to0$ と整数 $m$、$0< \alpha<1$ から $m\ge1$ が必要である。従って十分大きな $|z|$ で $|R(z)|\le C'/|z|$ となる。実軸上では $|x^{\alpha-1}R(x)|\le C'x^{\alpha-2}$ で、$\alpha<1$ により無限遠でも絶対可積分である。
すべての極を $r<|b|< R$ に含むように半径を選ぶ。極は切断上にないので、十分小さい $\delta$ に対して、鍵穴の境界にも半径方向の二辺にも極はなく、すべての極が内部に入る。
切断した領域 $D$ は点 $-1$ に関して星型である。実際、$z\in D$ への線分 $-1+t(z+1)$、$0\le t\le1$ が正の実軸または原点に乗ると仮定すると、$t=0$ では点が $-1$ なので不可能である。$t>0$ では虚部から $\operatorname{Im}z=0$ となり、$z\in D$ なら $z<0$ なので、その線分は負の実軸上にあり矛盾する。線分に沿う収縮によって $D$ は単連結である。従って、$F(z)=z^{\alpha-1}R(z)$ が $D$ 内で有限個の極を除いて正則であることから、既存の単連結領域の留数定理を鍵穴の閉曲線に適用できる。積分は内部の留数の和の $2\pi i$ 倍になる。この積分路の回転数は環状扇形の内部の点で $1$、原点と切断側で $0$ である。
まず $r,R$ を固定して $\delta\downarrow0$ とする。上側の半径方向の辺は $r$ から $R$ へ進み、下側の辺は逆向きだから、その和の極限は
$$\bigl(1-e^{2\pi i\alpha}\bigr) \int_r^Rx^{\alpha-1}R(x)\,dx$$
である。境界値の収束は、固定された $[r,R]$ に対する連続性と有界性から積分の下で取れる。円弧も同じ固定半径で極を避けているため、欠けた角度の長さが零になる極限を取れる。
$\alpha$ は実数なので円周上では $|z^{\alpha-1}|=|z|^{\alpha-1}$ である。小円では $R$ の有界性から、積分の絶対値は $2\pi C r^\alpha\to0$ である。大円では $|R(z)|\le C'/R$ を使い、積分の絶対値は $2\pi C'R^{\alpha-1}\to0$ になる。これらの定数は半径方向の角度によらず、円周全体に有効である。最後に $r\downarrow0$ と $R\to\infty$ とすれば、絶対収束する実積分に収束して公式を得る。$\square$

仮定の $x^\alpha R(x)\to0$ は実軸上の条件だが、この証明では有理関数の整数の次数を使って円周全体の評価に変換した。任意の関数について、正の実軸上の減少を円周全体の減少へ読み替えることはできない。有理関数という仮定を外す場合には、小円・大円それぞれでの一様な評価を別に仮定する必要がある。

基本の冪積分

$0< \alpha<1$ のとき
$$\int_0^\infty\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,dx =\frac\pi{\sin\pi\alpha}.$$

$R(z)=1/(1+z)$ は正の実軸と原点に極がなく、唯一の極は $-1$ である。$x^\alpha/(1+x)$ は $x\downarrow0$ と $x\to\infty$ のどちらでも零に近づくので thm-bci-rational が使える。$-1$ の偏角は $\pi$ だから、留数は $e^{i\pi(\alpha-1)}=-e^{i\pi\alpha}$ である。よって
$$I=\frac{-2\pi i e^{i\pi\alpha}}{1-e^{2\pi i\alpha}} =\frac{-2\pi i e^{i\pi\alpha}}{-2i e^{i\pi\alpha}\sin\pi\alpha} =\frac\pi{\sin\pi\alpha}.$$
分母は $0< \alpha<1$ では零にならない。$\square$

この積分の値は Γ関数の定理「相反公式・Beta関数・Legendreの倍数公式」に現れる $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)$ と一致する。同記事の注意「古典的公式の証明の所在」は相反公式を標準文献に委ね、Beta 関数の積分を留数で計算する方法も案内している。ここでは Γ 関数の定義や Beta 関数との関係を証明し直さず、上岸・下岸の差と円弧の評価によって実積分そのものを計算した。

対数を含む積分

対数の一次モーメント

$b>0$ のとき、通常の広義積分として
$$\int_0^\infty\frac{\log x}{x^2+b^2}\,dx =\frac{\pi\log b}{2b}$$
が成り立ち、積分は絶対収束する。

原点近傍では分母は $b^2$ 以上で、$\int_0^1|\log x|dx$ が有限である。無限遠では $|\log x|/(x^2+b^2)\le\log x/x^2$、$x\ge1$ で、部分積分によって右の尾部も有限である。従って絶対収束する。
まず $J=\int_0^\infty\log t/(1+t^2)dt$ とおく。$t=1/u$ の置換で、向きの反転と $dt=-du/u^2$ を合わせると
$$J=\int_0^\infty\frac{\log(1/u)}{1+u^2}\,du=-J$$
となる。絶対収束を先に示したため、この全区間の置換は正当であり、$J=0$ を得る。次に $x=bt$ とすれば
$$\int_0^\infty\frac{\log x}{x^2+b^2}dx =\frac1b\int_0^\infty\frac{\log b+\log t}{1+t^2}dt =\frac{\log b}{b}\cdot\frac\pi2.$$
最後の積分は $\arctan t$ の両端の値から $\pi/2$ である。$\square$

この対数積分は実変数の反転で短く求められる。鍵穴を使うときに単純な $\operatorname{Log}_+z$ だけを掛けると、上岸と下岸の差で対数が消え、主に対数を含まない積分が残る。対数そのものの積分を抽出するには二乗の対数などを用いる工夫が必要になるため、分枝を含む積分なら常に鍵穴が最短とは限らない。まず実変数の対称性や変数変換を調べることも解法選択の一部である。

計算の手順

複素対数の分枝を定める。 切断を正の実軸に置き、偏角を $0< \arg z<2\pi$ とする。負の実軸の偏角が $\pi$ になること、下岸の値が上岸の $e^{2\pi i\alpha}$ 倍になることを記す。
実積分の両端を調べる。 冪の指数だけを見るのではなく、掛けた有理関数の原点での位数と無限遠での次数を含めて確認する。$0< \alpha<1$ と有理関数の条件を満たさない場合、一般公式をそのまま使わない。
留数を選んだ分枝で計算する。 各極 $b$ で $b^{\alpha-1}=|b|^{\alpha-1}e^{i(\alpha-1)\operatorname{Arg}_+b}$ を使う。単純極なら $R$ の留数にこの値を掛ける。重複極では冪の微分も含める。
有限の鍵穴で等式を書く。 上岸は外向き、下岸は内向き、大円は反時計回り、小円は時計回りである。切断上の境界値を使う前に角度をずらした有限の経路を考える。
円弧を評価して極限をとる。 小円は $r^\alpha$、大円は $R^{\alpha-1}$ などで消えることを示す。その後 $1-e^{2\pi i\alpha}$ で割る。最終的に実数値になり、正の被積分関数なら正であることを確かめる。
正の実軸を切断した鍵穴の積分路
図では上岸を原点側から外側へ進み、下岸を外側から戻る。上岸の偏角は $0$ の極限、下岸の偏角は $2\pi$ の極限である。原点の小円は時計回りなので、原点と切断は内部から除かれる。負の実軸上の例示した極は偏角 $\pi$ をもち、両岸の間の領域に入る。図の二つの岸は見やすく離して描いており、定義では角度を零へ近づけて境界値を取る。

例題

三分の一の指数

$\int_0^\infty x^{-2/3}/(1+x)dx$ を求める。使う公式：cor-bci-beta-integral。答え：$2\pi/\sqrt3\approx3.627599$。
$\alpha=1/3$ なので原点近傍では $x^{-2/3}$、無限遠では $x^{-5/3}$ 程度となり、両端で積分できる。$-1$ の留数は $e^{-2\pi i/3}$ であり、上下の岸の差の係数は $1-e^{2\pi i/3}$ である。この複素係数の比を整理すると正の実数の答えになる。

分母の尺度を変える

$\int_0^\infty x^{-1/2}/(x+4)dx$ を求める。使う公式：cor-bci-beta-integral と $x=4t$。答え：$\pi/2\approx1.570796$。
置換後は $4^{-1/2}\int_0^\infty t^{-1/2}/(1+t)dt$ である。$\alpha=1/2$ の基本積分が $\pi$ なので答えを得る。鍵穴で直接計算する場合、極は $-4$、選んだ分枝での冪の値は $(-4)^{-1/2}=-i/2$ である。実数の平方根だけでこの極の値を決めない。

二つの負の実極をもつ積分

$\int_0^\infty x^{-1/2}/[(1+x)(4+x)]dx$ を求める。使う公式：thm-bci-rational。答え：$\pi/6\approx0.523599$。
部分分数分解は $\frac13\{(1+x)^{-1}-(4+x)^{-1}\}$ である。それぞれの基本積分は $\pi$ と $\pi/2$ なので、その差を $3$ で割る。鍵穴では $-1$ と $-4$ の留数を同じ分枝で求めるため、二つの位相の取り方を独立に変えてはいけない。無限遠では $x^{-5/2}$ 程度で減少する。

対数を含む実積分

$\int_0^\infty\log x/(x^2+4)dx$ を求める。使う公式：thm-bci-logarithmic。答え：$\pi\log2/4\approx0.544397$。
$b=2$ を公式に代入する。$0< x<1$ の負の寄与と $x>1$ の正の寄与の両方を含む積分である。$b=1$ では反転対称性により零になり、$b>1$ では $\log b>0$ なので正になる。分母の尺度を変えると対数の中にも $\log b$ が現れる点を忘れない。

使える条件と反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
原点で積分可能な指数	$\alpha=0$、$R(x)=1/(1+x)$	$x^{-1}$ 型の発散で小円の寄与も消せない
無限遠で積分可能な指数	$\alpha=1$、$R(x)=1/(1+x)$	$1/x$ 型の発散で大円の寄与を消せない
正の実軸上の極なし	$R(x)=1/(x-1)$	通常の積分は内部の実点で発散する
分枝を一貫させる	下岸でも偏角を $0$ とする	係数を誤って $1-1=0$ にし、実積分を抽出できない

$\alpha=0$ では $0< x<1$ で $1/[x(1+x)]\ge1/(2x)$ となり、原点の積分が発散する。$\alpha=1$ では $x\ge1$ で $1/(1+x)\ge1/(2x)$ なので、無限遠の積分が発散する。両端の条件は、円弧を消すためだけの補助条件ではなく、元の積分の収束に直接対応している。
正の実軸上に極がある反例では、切断の両岸を実軸へ近づけるとその極に近づくため、有限区間で一様な境界値を取る議論が破れる。単純極なら主値を定義して別の迂回経路を加える方法はあるが、その経路の寄与も計算する必要がある。この記事の一般公式は通常の絶対収束する積分の公式であり、実軸上の極を主値として黙って含めない。
分枝の取り違えは、実軸の上岸と下岸を別々に見れば同じ正の実数に見えることから起こる。二つの岸は同じ正則な対数の境界値として比較しなければならない。偏角を一周させると $2\pi$ だけ増えるため、非整数の冪は元の値に戻らない。下岸の偏角を勝手に零へ戻すと、異なる分枝を一つの閉曲線の中で継ぎ合わせたことになる。
選んだ分枝と異なる偏角の規約でも計算は可能であるが、切断、岸の値、囲む極、経路の向きを一緒に変更する必要がある。たとえば通常の主偏角 $-\pi< \arg z< \pi$ は負の実軸を切断するため、正の実軸の両側では値の跳びがない。正の実軸の積分を岸の差で取り出す今回の経路に、その主分枝だけを代入して同じ公式を期待してはいけない。

よくある誤り

誤り	正しくは	なぜ
切断上も正則と考える	角度をずらした経路から境界値を取る	分枝は切断を除く領域で定義される
下岸の向きによる負号を忘れる	下岸は外側から原点側へ戻る	def-bci-keyhole
負の実極で冪を実数として計算する	偏角 $\pi$ を使う	def-bci-branch
円が小さい・大きいだけで寄与を消す	長さと関数の一様な上界を掛ける	prf-bci-rational
対数を含めば必ず鍵穴が最短と考える	反転対称性も調べる	thm-bci-logarithmic

解法の比較と補足

基本積分は $x=e^t$ によって $\int_{-\infty}^{\infty}e^{\alpha t}/(1+e^t)dt$ に変わる。留数による定積分の計算の定理「指数関数の分母をもつ積分」は、高さ $2\pi$ の長方形を使って同じ値を求める。鍵穴の上下の岸の係数 $e^{2\pi i\alpha}$ は、長方形の上辺に移った指数因子の係数に対応する。積分路は異なるが、両端の収束条件は同じ $0< \alpha<1$ になる。
実変数の置換は、答えの尺度依存を調べるにも有用である。分母 $x+b$ の積分で $x=bt$ とすれば、$b$ は $b^{\alpha-1}$ という一つの係数にまとまる。留数を直接計算した答えにこの尺度因子が現れなければ、微分の $dx$ の因子や冪の係数を確認する。鍵穴は分枝の位相を整理する方法であり、尺度の変換則を捨てるものではない。
対数を含む積分では、パラメータを含む冪積分を微分すると対数が現れることもある。ただし、積分とパラメータ微分を交換するには、パラメータの範囲で一様な可積分の上界が必要である。公式の左右を形式的に微分しただけでは、対数積分の存在を証明したことにならない。この記事の対数の一次モーメントでは、絶対収束と反転置換を直接示すことでその交換を使わずに値を求めた。
分枝点は極ではない。原点の周りで一周したときに値が変わることが、冪を含む関数の特徴である。このため原点を内部の極として留数の和に加えるのではなく、小円と切断によって定義域から除く。留数を取るのは、選んだ分枝の領域内にある有理関数の極である。極と分枝点を区別すると、どこをよけ、どこを数えるかが明確になる。
留数定理と基本的な計算法は LebGCCA26 §5.3（pp. 131–135）と BMPS25 §9.2（p. 144）にある。この記事では既存の留数定理を使い、各積分路または級数に必要な収束と評価を上で示した。対数の分枝の定義と主分枝は BMPS25 §3.5（pp. 50–52）にある。正の実軸を切断したこの記事の分枝は、その定義で偏角の範囲を変えたものである。