商写像

任意の $V\subset Y$ に対し、逆像は補集合と両立して
$$ p^{-1}(Y\setminus V)=X\setminus p^{-1}(V) $$
が成り立つ。実際、$x\in p^{-1}(Y\setminus V)$ は $p(x)\notin V$、すなわち $x\notin p^{-1}(V)$ と同値である。閉集合とは補集合が開集合である集合なので、$V$ が閉であることは $Y\setminus V$ が開であること、$p^{-1}(V)$ が閉であることは $X\setminus p^{-1}(V)=p^{-1}(Y\setminus V)$ が開であることと同値である。したがって、条件 1 を $U=Y\setminus V$ に適用したものが条件 2 であり、条件 2 を $V=Y\setminus U$ に適用したものが条件 1 である。$\square$

1 ⇒ 2：$A$ を飽和した開集合とし、$U:=p(A)$ とおく。飽和性により $p^{-1}(U)=p^{-1}(p(A))=A$ は開集合なので、商写像の条件により $U$ は開集合である。
2 ⇒ 1：$p$ は連続と仮定しているので、「$\Leftarrow$」の向きを示せばよい。$U\subset Y$ に対し $p^{-1}(U)$ が開であるとする。$A:=p^{-1}(U)$ は上で述べたとおり飽和しており、$p$ が全射なので $p(A)=p(p^{-1}(U))=U$ である。よって条件 2 により $U$ は開集合である。
1 ⇒ 3：$A$ を飽和した閉集合とし、$V:=p(A)$ とおくと $p^{-1}(V)=A$ は閉集合なので、prop-quotient-map-closed により $V$ は閉集合である。
3 ⇒ 1：$V\subset Y$ に対し $p^{-1}(V)$ が閉であるとすると、$A:=p^{-1}(V)$ は飽和した閉集合で $p(A)=V$ なので、条件 3 により $V$ は閉集合である。逆に $V$ が閉なら $p$ の連続性から $p^{-1}(V)$ は閉である。よって prop-quotient-map-closed の条件 2 が成り立ち、$p$ は商写像である。$\square$

1：逆像は $p^{-1}(\emptyset)=\emptyset$、$p^{-1}(Y)=X$ を満たし、任意の族 $(U_i)_{i\in I}$ と $U,V\subset Y$ に対して
$$ p^{-1}\Bigl(\bigcup_{i\in I}U_i\Bigr)=\bigcup_{i\in I}p^{-1}(U_i),\qquad p^{-1}(U\cap V)=p^{-1}(U)\cap p^{-1}(V) $$
が成り立つ（前者は $p(x)\in\bigcup_iU_i$ がある $i$ について $p(x)\in U_i$ と同値であること、後者は $p(x)\in U\cap V$ が $p(x)\in U$ かつ $p(x)\in V$ と同値であることによる）。$\emptyset$ と $X$ は $X$ の開集合、開集合の任意個の和集合と二つの共通部分は開集合なので、$\emptyset,Y\in\mathcal{O}_p$、$\mathcal{O}_p$ の任意個の元の和集合と二つの元の共通部分は $\mathcal{O}_p$ に属する。よって $\mathcal{O}_p$ は位相である。
2：$Y$ の部分集合 $U$ について、「$U$ が $\mathcal{O}_p$ に属する」ことは定義により「$p^{-1}(U)$ が開集合である」ことと同値である。これは商写像の条件そのものである。
3：$\mathcal{T}$ について $p$ が連続ならば、任意の $U\in\mathcal{T}$ に対し $p^{-1}(U)$ は開集合なので $U\in\mathcal{O}_p$ である。
4：$p$ が $\mathcal{T}$ に関して商写像ならば、$U\in\mathcal{T}$ であることは $p^{-1}(U)$ が開であること、すなわち $U\in\mathcal{O}_p$ と同値である。$\square$

$g$ が連続ならば、商写像 $p$ は連続なので $g\circ p$ は連続写像の合成として連続である。逆に $g\circ p$ が連続とする。$Z$ の開集合 $W$ に対し
$$ p^{-1}\bigl(g^{-1}(W)\bigr)=(g\circ p)^{-1}(W) $$
は $X$ の開集合である。$p$ が商写像なので、逆像が開である $g^{-1}(W)\subset Y$ は $Y$ の開集合である。よって $g$ は連続である。$\square$

1：$\bar f([x]):=f(x)$ と定める。$[x]=[x']$ すなわち $x\sim x'$ ならば $f(x)=f(x')$ なので、$\bar f$ は代表元の取り方によらず定まる。定義から $\bar f\circ q=f$ であり、$q$ は商写像なので、thm-quotient-map-universal により $\bar f$ は連続である。一意性は、$q$ が全射なので $\bar f\circ q=f$ が $\bar f$ の各点での値を決めることから従う。
2：$h\circ q$ は連続写像の合成として連続であり、$x\sim x'$ ならば $q(x)=q(x')$ なので $h(q(x))=h(q(x'))$ である。1 の一意性から $\bar f=h$ である。
3：$\bar f$ は $f$ が全射なので全射であり、$\bar f([x])=\bar f([x'])$ ならば $f(x)=f(x')$、仮定により $x\sim x'$、すなわち $[x]=[x']$ なので単射である。$\bar f$ が同相写像であることは、連続な全単射 $\bar f$ の逆写像が連続であること、すなわち $X/{\sim}$ の任意の開集合 $U$ について $\bar f(U)$ が $Z$ の開集合であることと同値である。ここで $\bar f$ が全単射なので $f^{-1}(\bar f(U))=q^{-1}(\bar f^{-1}(\bar f(U)))=q^{-1}(U)$ であり、$Z$ の部分集合はすべてある $U\subset X/{\sim}$ を用いて $\bar f(U)$ と書ける。したがって「$U$ が開 $\iff \bar f(U)$ が開」（$\bar f$ が同相）は、「$q^{-1}(U)$ が開 $\iff \bar f(U)$ が開」（$q$ が商写像だから）、すなわち「$f^{-1}(V)$ が開 $\iff V$ が開」（$V=\bar f(U)$ が $Z$ の部分集合全体を動く）と同値であり、これは $f$ が商写像であることである。$\square$

$p$ が開写像ならば、$X$ の飽和した開集合の像はとくに開集合なので、prop-quotient-map-saturated の条件 2 が成り立ち、$p$ は商写像である。$p$ が閉写像ならば同様に条件 3 が成り立つ。飽和集合を経由せずに直接示すこともできる。$U\subset Y$ について $p^{-1}(U)$ が開であるとする。$p$ が開写像なら $U=p(p^{-1}(U))$（全射性）は開集合である。$p$ が閉写像なら、$X\setminus p^{-1}(U)=p^{-1}(Y\setminus U)$ は閉集合なので、その像 $Y\setminus U$ は閉集合であり、$U$ は開集合である。$\square$

$F\subset X$ を閉集合とする。コンパクト空間の記事の命題（保存と閉性）により、コンパクト空間の閉部分集合 $F$ はコンパクトであり、その連続像 $p(F)$ はコンパクトであり、Hausdorff 空間 $Y$ のコンパクト部分集合 $p(F)$ は閉集合である。よって $p$ は閉写像であり、prop-quotient-map-open-closed により商写像である。$\square$

$U\subset Y$ について $p^{-1}(U)$ が開であるとする。$s$ は連続なので $s^{-1}(p^{-1}(U))=(p\circ s)^{-1}(U)=U$ は $Y$ の開集合である。レトラクション $r\colon X\to A$ については、包含写像 $s\colon A\to X$ が連続で $r\circ s=\mathrm{id}_A$ を満たす切断である。$\square$

$W\subset Z$ に対し $(p'\circ p)^{-1}(W)=p^{-1}(p'^{-1}(W))$ である。
1：$(p'\circ p)^{-1}(W)$ が開ならば、$p$ が商写像なので $p'^{-1}(W)$ が開、$p'$ が商写像なので $W$ が開である。逆向きは連続性から従う。
2：$p'^{-1}(W)$ が $Y$ の開集合ならば、$p$ の連続性から $(p'\circ p)^{-1}(W)$ は開であり、$p'\circ p$ が商写像なので $W$ は開である。$\square$

$q\colon X\to X/A$ を標準射影、$\ast:=q(A)$ とおく。$X/A$ の相異なる二点は、$x,y\in X\setminus A$ の像 $q(x)\neq q(y)$ か、$x\in X\setminus A$ の像と $\ast$ のどちらかである。$q$ に関して飽和している集合とは、$A$ を含むか $A$ と交わらない集合であり、飽和した開集合の像は開集合である（prop-quotient-map-saturated）。
$x,y\in X\setminus A$、$x\neq y$ の場合：$\{x\},\{y\}$ は $T_1$ 性により交わらない閉集合なので、正規性により交わらない開集合 $U\ni x$、$V\ni y$ がある。$U':=U\setminus A$、$V':=V\setminus A$ は開集合（$A$ が閉）で、$A$ と交わらないので飽和しており、$q(U')\ni q(x)$、$q(V')\ni q(y)$ は交わらない開集合である（$q(U')\cap q(V')\neq\emptyset$ なら、$q$ が $X\setminus A$ 上で単射なので $U'\cap V'\neq\emptyset$ となる）。
$x\in X\setminus A$ と $\ast$ の場合：$\{x\}$ は $T_1$ 性により閉集合で、$A$ と交わらない。正規性により、交わらない開集合 $U\supset\{x\}$、$V\supset A$ がある。$U$ は $V\supset A$ と交わらないので $A$ とも交わらず、$V$ は $A$ を含むので、$U$、$V$ はともに飽和した開集合であり、$q(U)\ni q(x)$、$q(V)\ni\ast$ は開集合である。これらは交わらない。$q(u)=q(v)$（$u\in U$、$v\in V$）とすると、$u\notin A$ なので $q(u)\neq\ast$、よって $v\notin A$ で $u=v\in U\cap V=\emptyset$ となり矛盾するからである。
コンパクト Hausdorff 空間が正規であることはコンパクト空間の記事の命題（コンパクトHausdorff空間の正規性）による。$\square$