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1. $t\mapsto1_{\{f>t\}}(x)$ は $t< f(x)$ で $1$、$t\ge f(x)$ で $0$ なので、$[0,f(x))$ の指示関数であり、その積分は $f(x)$ である（$f(x)=\infty$ でもよい）。
2. 単関数の場合：$A_1,\dots,A_k$ を互いに交わらない可測集合、$a_1,\dots,a_k>0$ として $s=\sum_{i=1}^ka_i1_{A_i}$ とする（$s=0$ の点は和に入れない）。$s(x)>t$ となるのは $x\in A_i$ かつ $a_i>t$ のときなので
   $$ \mu(\{s>t\})=\sum_{i=1}^k\mu(A_i)\,1_{[0,a_i)}(t) $$
   であり、値が $0$ 以上の関数の有限和を項ごとに積分すると
   $$ \int_0^\infty\mu(\{s>t\})\,dt=\sum_{i=1}^k\mu(A_i)\,a_i=\int_Xs\,d\mu $$
   となる（$\mu(A_i)=\infty$ の項は両辺とも $\infty$ である。$a_i>0$ なので $0\cdot\infty$ の形は現れない）。

一般の場合：Lebesgue積分 の記事の補題「単関数による近似」により、非負単関数の列 $s_1\le s_2\le\cdots$ で各点 $s_n\to f$ となるものがある。各 $t\ge0$ について、集合 $\{s_n>t\}$ は $n$ について増加し、その和集合は $\{f>t\}$ である。実際、$s_n\le f$ なので $\{s_n>t\}\subset\{f>t\}$ であり、$f(x)>t$ なら $s_n(x)\to f(x)$ から十分大きい $n$ で $s_n(x)>t$ となる。測度の下からの連続性から $\mu(\{s_n>t\})\uparrow\mu(\{f>t\})$ である。そこで Lebesgue積分 の記事の定理「単調収束定理」を、$X$ 上の $s_n\uparrow f$ と、$[0,\infty)$ 上の $\mu(\{s_n>t\})\uparrow\mu(\{f>t\})$ の両方に使うと
$$ \int_Xf\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_Xs_n\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty\mu(\{s_n>t\})\,dt=\int_0^\infty\mu(\{f>t\})\,dt $$
を得る。中央の等号は単関数の場合である。$\square$

$\{f>t\}\subset\{f\ge t\}$ なので右辺は左辺以上である。逆に $0< c< 1$ とすると、$t>0$ で $\{f\ge t\}\subset\{f>ct\}$ なので、変数変換 $u=ct$ により
$$ \int_0^\infty\mu(\{f\ge t\})\,dt\le\int_0^\infty\mu(\{f>ct\})\,dt=\frac1c\int_0^\infty\mu(\{f>u\})\,du=\frac1c\int_Xf\,d\mu $$
である。$c\uparrow1$ とすればよい。$\square$

$G$ は $[0,\infty]$ 上で単調非減少かつ連続（$\infty$ での値も含めて。単調収束定理による）で、$G(0)=0$ である。とくに $G(f)$ は可測である。
単関数の場合：$s=\sum_{i=1}^ka_i1_{A_i}$（$A_i$ は互いに交わらず、$a_i>0$）とすると、$G(s)=\sum_iG(a_i)1_{A_i}$ なので左辺は $\sum_iG(a_i)\mu(A_i)$ である。右辺は、prf-lc-main の式 $\mu(\{s>t\})=\sum_i\mu(A_i)1_{[0,a_i)}(t)$ から
$$ \int_0^\infty g(t)\sum_i\mu(A_i)1_{[0,a_i)}(t)\,dt=\sum_i\mu(A_i)\int_0^{a_i}g(t)\,dt=\sum_i\mu(A_i)\,G(a_i) $$
である。ここで $\mu(A_i)=\infty$ かつ $G(a_i)=0$ の項は、$g=0$ が $[0,a_i)$ のほとんどいたるところで成り立つので、積分の側でも $0$ になり、約束 $0\cdot\infty=0$ と一致する。
一般の場合：prf-lc-main と同じ単関数の増加列 $s_n\uparrow f$ をとる。$G$ が単調で連続なので $G(s_n)\uparrow G(f)$ であり、各 $t$ で $g(t)\mu(\{s_n>t\})\uparrow g(t)\mu(\{f>t\})$ である。両辺に単調収束定理を使えばよい。
後半：$h:=f1_{\{f>\alpha\}}$ とおく。$G(0)=0$ なので $G(h)=G(f)1_{\{f>\alpha\}}$ である。$t< \alpha$ では $\{h>t\}=\{f>\alpha\}$、$t\ge\alpha$ では $\{h>t\}=\{f>t\}$ なので、前半を $h$ に使うと
$$ \int_{\{f>\alpha\}}G(f)\,d\mu=\int_0^\alpha g(t)\,\mu(\{f>\alpha\})\,dt+\int_\alpha^\infty g(t)\,\mu(\{f>t\})\,dt $$
であり、第 1 項は $G(\alpha)\mu(\{f>\alpha\})$ である。$\square$

$s\mapsto\int_{\{f>s\}}h\,d\mu$ は単調非増加なので可測である。第 1 の等号は prf-lc-main と同じ手順で示せる。$f=\sum_ia_i1_{A_i}$ が単関数なら、左辺は $\sum_ia_i\int_{A_i}h\,d\mu$、中央は $\int_0^\infty\sum_i1_{[0,a_i)}(s)\int_{A_i}h\,d\mu\,ds$ で、どちらも同じ値である。一般の $f$ では単関数の増加列 $s_n\uparrow f$ をとると、$s_nh\uparrow fh$ であり、各 $s$ で $1_{\{s_n>s\}}h\uparrow1_{\{f>s\}}h$ なので、単調収束定理を 3 回使えばよい。第 2 の等号は、各 $s$ で thm-lc-main を関数 $h1_{\{f>s\}}$ に使ったものである（$\{h1_{\{f>s\}}>t\}=\{f>s\}\cap\{h>t\}$）。$\square$

lem-lc-product を $X$ 上の $f,g$ と、$[0,\infty)$ 上の $f^*,g^*$ の両方に使う。後者では $\{f^*>s\}\cap\{g^*>t\}$ が 2 つの区間 $[0,\mu(\{f>s\}))$ と $[0,\mu(\{g>t\}))$ の共通部分なので、その長さは $\min\{\mu(\{f>s\}),\mu(\{g>t\})\}$ である。したがって
$$ \int_0^\infty f^*g^*\,du=\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty\min\{\mu(\{f>s\}),\mu(\{g>t\})\}\,dt\,ds . $$
一方、各 $s,t$ で $\mu(\{f>s\}\cap\{g>t\})\le\min\{\mu(\{f>s\}),\mu(\{g>t\})\}$ である。この不等式を $t$ について、続いて $s$ について積分すると（被積分関数はどれも $t$ や $s$ について単調なので可測である）、左辺は $\int_Xfg\,d\mu$ になり、結論を得る。$\square$