差分商の方法

1：$y=x+h$ と変数変換すると $\int v(x+h)w(x)\,dx=\int v(y)w(y-h)\,dy$ なので、
$$ \int(D_hv)w\,dx=\int v(y)\,\frac{w(y-h)-w(y)}{|h|}\,dy=\int v\,D_{-h}w\,dy . $$
2：$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ について、変数変換で $\int v(x+h)\partial_i\varphi(x)\,dx=\int v(y)\,\partial_i\varphi(y-h)\,dy=-\int\partial_iv(y)\,\varphi(y-h)\,dy=-\int\partial_iv(x+h)\varphi(x)\,dx$ である（$\varphi(\cdot-h)$ もテスト関数である）。よって $v(\cdot+h)$ の弱微分は $(\partial_iv)(\cdot+h)$ であり、差をとって $|h|$ で割ればよい。
3：弱微分 の定理「平行移動の差による特徴づけ」の 1 ⇒ 3 と、その後の注意（$\Omega=\mathbb R^n$ の場合）による。
4：$\eta(x+h)v(x+h)-\eta(x)v(x)=\eta(x+h)\bigl(v(x+h)-v(x)\bigr)+\bigl(\eta(x+h)-\eta(x)\bigr)v(x)$ を $|h|$ で割ればよい。$\square$

$1< p<\infty$ なので $L^p(\mathbb R^n)$ は反射的であり（反射的Banach空間 の例「$1< p<\infty$ の $L^p$ 空間」）、有界列は弱収束する部分列をもつ（Eberlein–Šmulianの定理 の系「反射性の点列による特徴づけ」）。そこで $t_m\to+0$ を、$D_{t_me_i}v$ がある $g\in L^p(\mathbb R^n)$ に弱収束するようにとる。
$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ とする。prop-dq-basic の 1 から
$$ \int(D_{t_me_i}v)\,\varphi\,dx=\int v\,D_{-t_me_i}\varphi\,dx,\qquad D_{-t_me_i}\varphi(x)=\frac{\varphi(x-t_me_i)-\varphi(x)}{t_m}. $$
左辺は弱収束により $\int g\varphi$ に収束する。右辺の $D_{-t_me_i}\varphi$ は、平均値の定理と $\partial_i\varphi$ の一様連続性により $-\partial_i\varphi$ に一様に収束し、台は $t_m\le t_0$ なら $\operatorname{supp}\varphi+\overline B(0,t_0)$ に入る。$v$ はこのコンパクト集合の上で可積分なので、右辺は $-\int v\,\partial_i\varphi$ に収束する。よって $\int v\,\partial_i\varphi=-\int g\varphi$ であり、$g$ が $v$ の弱微分 $\partial_iv$ である。
ノルムの評価：$\psi\in L^{p'}$ について $\bigl|\int g\psi\bigr|=\lim_m\bigl|\int(D_{t_me_i}v)\psi\bigr|\le C\|\psi\|_{L^{p'}}$ である。$g\ne0$ なら $\psi:=|g|^{p-2}g$ とおくと $\int g\psi=\|g\|_{L^p}^p$、$\|\psi\|_{L^{p'}}=\|g\|_{L^p}^{p-1}$ なので、$\|g\|_{L^p}\le C$ を得る。$\square$

$g\in L^p(\mathbb R^n)$ と $t>0$ について $A_tg(x):=\int_0^1g(x+ste_i)\,ds$ とおく。$[0,1]$ の上の Hölder の不等式から $|A_tg(x)|^p\le\int_0^1|g(x+ste_i)|^pds$ であり、$x$ について積分して Fubiniの定理 を使うと $\|A_tg\|_{L^p}\le\|g\|_{L^p}$ である。
$v\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ なら、微積分学の基本定理から $D_{te_i}v=A_t(\partial_iv)$ である。両辺は $v$ について線形で、prop-dq-basic の 3 と上の評価により $W^{1,p}(\mathbb R^n)$ から $L^p(\mathbb R^n)$ への有界作用素である。$C_c^\infty(\mathbb R^n)$ は $W^{1,p}(\mathbb R^n)$ で稠密なので（零境界Sobolev空間 の例「全空間」）、すべての $v\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ について $D_{te_i}v=A_t(\partial_iv)$ である。$g:=\partial_iv$ とおくと、同じ Hölder の不等式から
$$ \|D_{te_i}v-g\|_{L^p}^p=\int\Bigl|\int_0^1\bigl(g(x+ste_i)-g(x)\bigr)ds\Bigr|^pdx\le\int_0^1\|g(\cdot+ste_i)-g\|_{L^p}^p\,ds $$
である。各 $s$ で被積分関数は $t\to+0$ のとき $0$ に収束し（軟化子 の補題「平行移動の連続性」）、$(2\|g\|_{L^p})^p$ で押さえられるので、優収束定理 により右辺は $0$ に収束する。$\square$

差分商の評価． $h\ne0$ を固定し、$w:=D_hu$ とおく。prop-dq-basic の 2 により $w\in H^1(\mathbb R^n)$、$\nabla w=D_h\nabla u$ であり、同じく $D_{-h}w\in H^1(\mathbb R^n)$ である。全空間の弱形式に $\varphi:=D_{-h}w$ を代入する。prop-dq-basic の 2 と 1 を（各成分について $p=2$ で）使うと
$$ \int\nabla u\cdot\nabla(D_{-h}w)=\int\nabla u\cdot D_{-h}(\nabla w)=\int(D_h\nabla u)\cdot\nabla w=\|\nabla w\|_{L^2}^2, \qquad \int u\,D_{-h}w=\int(D_hu)\,w=\|w\|_{L^2}^2 $$
である。右辺は Cauchy–Schwarz の不等式と prop-dq-basic の 3 から
$$ \int f\,D_{-h}w\le\|f\|_{L^2}\|D_{-h}w\|_{L^2}\le\|f\|_{L^2}\|\nabla w\|_{L^2} $$
である。よって $\|\nabla w\|_{L^2}^2+\|w\|_{L^2}^2\le\|f\|_{L^2}\|\nabla w\|_{L^2}$ であり、$\|\nabla w\|_{L^2}\le\|f\|_{L^2}$ を得る（$\nabla w=0$ なら明らか）。
2 階の弱微分． $1\le j\le n$ を固定する。$\nabla w=D_h\nabla u$ なので、すべての $h\ne0$ について $\|D_h(\partial_ju)\|_{L^2}\le\|\nabla w\|_{L^2}\le\|f\|_{L^2}$ である。$h=te_i$（$t>0$）として lem-dq-converse（$p=2$）を $v=\partial_ju\in L^2$ に当てると、$\partial_i\partial_ju$ が存在して $\|\partial_i\partial_ju\|_{L^2}\le\|f\|_{L^2}$ である。よって $u\in H^2(\mathbb R^n)$ である。
高階． $m$ についての帰納法で示す。$m=0$ はいま示した。$f\in H^{m+1}$ とし、$m$ のときの主張を仮定する。$u\in H^{m+2}\subset H^2$ なので、$v:=\partial_ku\in H^1$ である。$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ について、弱微分の定義を 2 回使うと
$$ \int\nabla v\cdot\nabla\varphi+\int v\varphi=-\int\nabla u\cdot\nabla(\partial_k\varphi)-\int u\,\partial_k\varphi=-\int f\,\partial_k\varphi=\int(\partial_kf)\varphi $$
である（真ん中の等号は全空間の弱形式に $\partial_k\varphi$ を代入した）。よって $v$ は右辺 $\partial_kf\in H^m$ の弱解で、帰納法の仮定から $v\in H^{m+2}$ である。すべての $k$ について $\partial_ku\in H^{m+2}$ なので $u\in H^{m+3}$ である。$\square$

$\eta\in C_c^\infty(\Omega)$ を固定し、$K:=\operatorname{supp}\eta$ とする。$K\subset\Omega'$ で閉包が $\Omega$ のコンパクト部分集合となる開集合 $\Omega'$ をとると、$u\in H^1(\Omega')$ である。$\Omega'$ の上の $\eta u$ を $\Omega'$ の外で $0$ と延ばした関数を $w$ とすると、$w\in H^1(\mathbb R^n)$ で $\nabla w=\eta\nabla u+u\nabla\eta$ である（Sobolev空間の基本事項 の命題「滑らかな係数との積」と、零境界Sobolev空間 の補題「台が $\Omega$ の中でコンパクトな関数」）。$w$ が全空間の方程式をみたすことを確かめる。$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ について $\eta\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ なので、仮定の等式から
$$ \int\eta\,\nabla u\cdot\nabla\varphi=\int\nabla u\cdot\nabla(\eta\varphi)-\int(\nabla u\cdot\nabla\eta)\varphi=\int(\eta f-\nabla u\cdot\nabla\eta)\varphi . $$
また $u\,\partial_i\eta$ は台が $K$ に入る $H^1$ の関数なので、弱微分の定義（$\varphi$ を、$K$ の近傍で $1$ となる $\Omega$ のテスト関数との積に替えて使う）から
$$ \int u\,\nabla\eta\cdot\nabla\varphi=\sum_i\int(u\,\partial_i\eta)\,\partial_i\varphi=-\int(\nabla u\cdot\nabla\eta+u\,\Delta\eta)\varphi . $$
足し合わせると、$w$ はすべての $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ について全空間の弱形式を
$$ g:=\eta f-2\nabla u\cdot\nabla\eta-u\,\Delta\eta+\eta u $$
を右辺としてみたす。$g$ は台が $K$ に入り $L^2(\mathbb R^n)$ に属するので、thm-dq-whole-space により $w\in H^2(\mathbb R^n)$ である。$\omega\Subset\Omega$ について、$\overline\omega$ の近傍で $\eta=1$ となるようにとれば、$\omega$ の上で $u=w$ なので $u\in H^2(\omega)$ である。
高階は帰納法による。$f\in H^{m+1}_{\mathrm{loc}}$ とし、$m$ のときの主張を仮定すると $u\in H^{m+2}_{\mathrm{loc}}\subset H^2_{\mathrm{loc}}$ である。$v:=\partial_ku\in H^1_{\mathrm{loc}}$ は、$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $\int\nabla v\cdot\nabla\varphi=-\int\nabla u\cdot\nabla(\partial_k\varphi)=-\int f\,\partial_k\varphi=\int(\partial_kf)\varphi$ をみたす。$\partial_kf\in H^m_{\mathrm{loc}}$ なので帰納法の仮定から $v\in H^{m+2}_{\mathrm{loc}}$ であり、$u\in H^{m+3}_{\mathrm{loc}}$ である。$\square$