Milman–Pettisの定理
概要
Milman–Pettisの定理（Milman–Pettis theorem）とは、一様凸な Banach 空間、すなわち任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ があり、閉単位球の 2 点の距離が $\varepsilon$ を超えればその中点のノルムが $1-\delta$ 未満になる Banach 空間は反射的である、という定理である。証明は、Goldstine の定理による二重双対の弱スター位相での近似を、一様凸性によってノルムでの近似に格上げする。Hilbert 空間と $1< p< \infty$ の $L^p$ 空間が反射的であることはこの定理から従う。逆は成り立たず、反射的でも一様凸でないノルムがある。
前提知識: 一様凸Banach空間, 反射的Banach空間, Goldstineの定理
Milman–Pettisの定理（Milman–Pettis theorem）とは、一様凸な Banach 空間は反射的である、という定理である。一様凸性は「閉単位球の 2 点が離れていれば、その中点は球面から一定の距離だけ内側にある」というノルムの形についての条件で、ノルムを同値なものに取り替えると失われることがある。一方、反射性は「二重双対へ埋め込む評価写像が全射である」という性質で、同値なノルムに取り替えても変わらない（prop-mp-equivalent）。この定理は、ノルムの形という幾何的な情報から、二重双対についての位相的な性質を引き出す。
Hilbert 空間と、$1< p< \infty$ の $L^p$ 空間はどちらも一様凸なので、この定理から反射的であることが分かる。双対空間を具体的に書き下さずに済むのがこの経路の利点である。逆は成り立たない。$\mathbb R^2$ に $\ell^1$ ノルム $|x_1|+|x_2|$ を入れた空間は反射的だが一様凸でなく、どの同値なノルムに取り替えても一様凸にならない反射的な空間もある。
定義と主張
以下、係数体 $\mathbb K$ は $\mathbb R$ または $\mathbb C$ とし、$X$ を $\mathbb K$ 上のノルム空間、$B_X=\{x\in X:\|x\|\le1\}$ をその閉単位球とする。$X^*$ は $X$ 上の連続線形汎関数の全体に双対ノルム $\|f\|=\sup_{x\in B_X}|f(x)|$ を入れたノルム空間、$X^{**}=(X^*)^*$ は二重双対である。
ノルム空間 $X$ が一様凸であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ があって、
$$
x,y\in B_X,\quad\|x-y\|>\varepsilon\quad\Longrightarrow\quad\Bigl\|\frac{x+y}2\Bigr\|< 1-\delta
$$
が成り立つことをいう。完備な一様凸ノルム空間を一様凸 Banach 空間という。
$\delta$ が $\varepsilon$ だけで決まり、$x,y$ の位置によらないことが「一様」の意味である。対偶の形で読むと、$x,y\in B_X$ の中点のノルムが $1-\delta$ 以上なら $\|x-y\|\le\varepsilon$ である。証明で使うのはこの形である。基本的な例と性質は 一様凸Banach空間 にある。
$x\in X$ に対し $J(x)\in X^{**}$ を $J(x)(f)=f(x)$（$f\in X^*$）で定める。写像 $J\colon X\to X^{**}$ を評価写像という。$J$ が全射であるとき、$X$ は反射的であるという。
$J$ は線形で、すべての $x$ について $\|J(x)\|=\|x\|$ を満たす（連続双対空間 の定理「評価写像は等長埋め込み」。等長性は Hahn–Banach の定理による）。反射的なノルム空間は完備である（反射的Banach空間 の定義の直後の段落）。
$X^{**}$ 上の弱スター位相 $\sigma(X^{**},X^*)$ とは、すべての $f\in X^*$ について $\xi\mapsto\xi(f)$ を連続にする最も粗い位相である。$\xi_0\in X^{**}$ の近傍の基本系は、有限個の $f_1,\dots,f_m\in X^*$ と $r>0$ による
$$
\{\xi\in X^{**}:|\xi(f_j)-\xi_0(f_j)|< r\ (1\le j\le m)\}
$$
の形の集合からなる。
これはノルム空間 $X^*$ の双対 $(X^*)^*$ に入る弱スター位相（弱スター位相）そのものである。
一様凸 Banach 空間は反射的である。
証明は、2 つの補題と Goldstine の定理を準備したうえで、節「定理の証明」で与える。主張は Bre11 Theorem 3.31（p. 77）にある。同書は実 Banach 空間を扱うが、下の証明は $\mathbb K=\mathbb C$ でもそのまま通る。
証明の準備
証明では、二重双対の元を $X$ の点の像で近似する。使う道具は次の 3 つである。
$X$ が Banach 空間なら、$J(B_X)$ は $X^{**}$ のノルム位相で閉じている。
$x_n\in B_X$ で、$J(x_n)$ が $\xi\in X^{**}$ にノルム収束するとする。$J$ は線形で等長なので $\|x_n-x_m\|=\|J(x_n)-J(x_m)\|$ であり、$(x_n)$ は Cauchy 列である。$X$ は完備なので $x_n\to x$ となる $x\in X$ があり、$\|x\|=\lim_n\|x_n\|\le1$ である。
$$
\|J(x)-\xi\|\le\|J(x)-J(x_n)\|+\|J(x_n)-\xi\|=\|x-x_n\|+\|J(x_n)-\xi\|\to0
$$
なので $\xi=J(x)\in J(B_X)$ である。$\square$
$\eta_0\in X^{**}$ と $r\ge0$ について、閉球 $\{\eta\in X^{**}:\|\eta-\eta_0\|\le r\}$ は弱スター位相で閉じている。したがって、その補集合 $\{\eta\in X^{**}:\|\eta-\eta_0\|>r\}$ は弱スター開集合である。
双対ノルムの定義から $\|\eta-\eta_0\|=\sup\{|\eta(f)-\eta_0(f)|:f\in X^*,\ \|f\|\le1\}$ なので、閉球は
$$
\bigcap_{f\in X^*,\ \|f\|\le1}\{\eta\in X^{**}:|\eta(f)-\eta_0(f)|\le r\}
$$
に等しい。各 $f$ について $\eta\mapsto\eta(f)-\eta_0(f)$ は弱スター連続なので、右辺の各集合は弱スター閉であり、その共通部分も弱スター閉である。$\square$
3 つ目は Goldstineの定理 の定理「Goldstineの定理」の 1 である。すなわち、$J(B_X)$ の弱スター閉包は $B_{X^{**}}$ に等しく、$\xi\in B_{X^{**}}$ の任意の弱スター近傍は $J(B_X)$ の点を含む。同記事の定理は実ノルム空間についてのものだが、複素ノルム空間でも同じことが成り立つ（同記事の節「複素ノルム空間の場合」）。この定理は $X$ の完備性を使わない。
$X$ が Banach 空間なら、lem-mp-closed により、$X$ が反射的であることは「$B_{X^{**}}$ のすべての元が $J(B_X)$ の点でノルム近似できること」と同値である。Goldstine の定理が与えるのは弱スター位相での近似だけで、一般にはノルムでの近似に格上げできない（Goldstineの定理 の命題「ノルムでの閉性」）。一様凸性はこの格上げを可能にする。
定理の証明
$X$ を一様凸 Banach 空間とする。$\xi\in X^{**}$ で $\|\xi\|=1$ のものについて $\xi\in J(B_X)$ を示せば十分である。実際、$\xi\ne0$ なら $\xi/\|\xi\|=J(x)$ から $\xi=J(\|\xi\|x)$ であり、$\xi=0$ なら $\xi=J(0)$ である（$X=\{0\}$ なら $X^{**}=\{0\}$ で、示すことはない）。lem-mp-closed により $J(B_X)$ はノルムで閉じているので、次を示せばよい。
任意の $\varepsilon>0$ に対し、$\|\xi-J(x)\|\le\varepsilon$ となる $x\in B_X$ がある。
$\varepsilon>0$ を固定し、一様凸性の定義の $\delta>0$ をとる。
汎関数の選択。 $\sup_{\|f\|\le1}|\xi(f)|=\|\xi\|=1$ なので、$\|f_0\|\le1$ かつ $|\xi(f_0)|>1-\delta/2$ となる $f_0\in X^*$ がある。$|\lambda|=1$ のスカラー $\lambda$ を $\lambda\xi(f_0)=|\xi(f_0)|$ となるようにとり、$f=\lambda f_0$ とおく。すると $\|f\|\le1$ であり、$\xi(f)$ は $1-\delta/2$ より大きい実数である。
1 点目の選択。 $\xi$ の弱スター近傍
$$ V=\{\eta\in X^{**}:|\eta(f)-\xi(f)|< \delta/2\} $$
をとる。Goldstine の定理により、$J(x)\in V$ となる $x\in B_X$ がある。この $x$ が求めるものであることを示す。
2 点目の選択と矛盾。 $\|\xi-J(x)\|>\varepsilon$ と仮定する。$W=\{\eta\in X^{**}:\|\eta-J(x)\|>\varepsilon\}$ は lem-mp-ball-closed により弱スター開集合で、$\xi$ を含む。$V\cap W$ は $\xi$ の弱スター近傍なので、再び Goldstine の定理により、$J(y)\in V\cap W$ となる $y\in B_X$ がある。
$J(x),J(y)\in V$ から $|f(x)-\xi(f)|< \delta/2$、$|f(y)-\xi(f)|< \delta/2$ であり、$\xi(f)$ は実数なので
$$ \operatorname{Re}f(x)>\xi(f)-\frac\delta2>1-\delta,\qquad\operatorname{Re}f(y)>1-\delta $$
である。$\|f\|\le1$ から
$$ \|x+y\|\ge|f(x+y)|\ge\operatorname{Re}f(x)+\operatorname{Re}f(y)>2-2\delta, $$
すなわち $\|(x+y)/2\|>1-\delta$ である。$x,y\in B_X$ なので、一様凸性の対偶から $\|x-y\|\le\varepsilon$ である。一方、$J(y)\in W$ と $J$ の等長性から $\|x-y\|=\|J(y)-J(x)\|>\varepsilon$ であり、矛盾する。
よって $\|\xi-J(x)\|\le\varepsilon$ である。$\varepsilon>0$ は任意なので $\xi\in J(B_X)$ であり、$J$ は全射である。$\square$
証明の要は、弱スター位相で $\xi$ に近い 2 点 $J(x)$、$J(y)$ では、汎関数 $f$ の値の実部がどちらも $1$ に近いので、中点 $(x+y)/2$ のノルムが $1$ に近くなることである。一様凸性はそこから「$x$ と $y$ はノルムで近い」と結論させる。$y$ は $\xi$ のどの弱スター近傍からも選べるので、$\xi$ はノルムでも $J(x)$ の近くにあることになる。証明の筋は Bre11 Theorem 3.31 の証明（pp. 77–78）と同じで、複素数の場合のために $\xi(f)$ を実数にそろえる一段を加えた。
同値なノルムと反射性
一様凸性はノルムの選び方に依存するが、反射性は同値なノルムに取り替えても変わらない。そのため定理は、同値な一様凸ノルムが見つかる空間にも使える。
ベクトル空間 $X$ 上の 2 つのノルム $\|\cdot\|$、$\|\cdot\|'$ が同値、すなわち正の定数 $a,b$ があってすべての $x\in X$ で $a\|x\|\le\|x\|'\le b\|x\|$ を満たすとする。このとき、$(X,\|\cdot\|)$ が反射的であることと、$(X,\|\cdot\|')$ が反射的であることは同値である。
線形汎関数 $f$ について、ある定数 $C$ ですべての $x$ について $|f(x)|\le C\|x\|$ となることと、ある定数 $C'$ ですべての $x$ について $|f(x)|\le C'\|x\|'$ となることは同値である（$C'=C/a$、$C=bC'$ ととればよい）。よって 2 つのノルムに関する連続双対は同じ線形空間 $X^*$ である。2 つの双対ノルムを $\|f\|_*$、$\|f\|_*'$ と書くと、ノルムの比較から $b^{-1}\|f\|_*\le\|f\|_*'\le a^{-1}\|f\|_*$ であり、これらも同値なノルムである。同じ理由で、$X^*$ 上の連続線形汎関数の全体、つまり二重双対も、2 つの双対ノルムについて同じ線形空間 $X^{**}$ である。評価写像 $J(x)(f)=f(x)$ はノルムによらずに定まる同じ写像 $X\to X^{**}$ なので、全射であるかどうかもノルムによらない。$\square$
Banach 空間 $(X,\|\cdot\|)$ が一様凸な同値なノルム $\|\cdot\|'$ をもつなら、$X$ は反射的である。
同値なノルムについて Cauchy 列と収束列は同じなので、$(X,\|\cdot\|')$ も Banach 空間であり、一様凸 Banach 空間である。thm-mp-main により $(X,\|\cdot\|')$ は反射的であり、prop-mp-equivalent により $(X,\|\cdot\|)$ も反射的である。$\square$
逆向きは成り立たない。どの同値なノルムに取り替えても一様凸にならない反射的な Banach 空間がある（Bre11 Remark 21、p. 77。この記事では証明しない）。したがって Milman–Pettis の定理は反射性を示す便利な十分条件だが、反射性の特徴づけではない。
例
内積空間 $H$ では、平行四辺形の等式 $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$ から
$$
\Bigl\|\frac{x+y}2\Bigr\|^2=\frac{\|x\|^2+\|y\|^2}2-\frac{\|x-y\|^2}4
$$
である。$x,y\in B_H$、$\|x-y\|>\varepsilon$ なら右辺は $1-\varepsilon^2/4$ より小さい。$0< \varepsilon< 2$ なら $\delta=1-\sqrt{1-\varepsilon^2/4}>0$ とおけば $\|(x+y)/2\|< 1-\delta$ となる。$\varepsilon\ge2$ なら $\|x-y\|\le2$ なので $\|x-y\|>\varepsilon$ となる $x,y\in B_H$ はなく、任意の $\delta>0$ でよい。よって内積空間は一様凸であり、Hilbert 空間は一様凸 Banach 空間である。thm-mp-main により Hilbert 空間は反射的である。
反射的Banach空間 の命題「Hilbert 空間は反射的」は、同じ結論を Riesz の表現定理から導いている。上の経路は双対空間の形を使わない。
$1< p< \infty$ とし、$(\Omega,\mu)$ を測度空間とする。$L^p(\mu)$ は一様凸である。$p\ge2$ のときは 一様凸Banach空間 の命題「$p\ge2$ の $L^p$ 空間」、$1< p< 2$ のときは同記事の命題「$1< p<2$ の $L^p$ 空間」による（どちらも実数値と複素数値の両方を扱う）。$L^p(\mu)$ は完備なので（Riesz–Fischer の定理）、thm-mp-main により反射的である。$\Omega=\{1,2,\ldots\}$ に数え上げ測度をとれば、$\ell^p$ も反射的であることが分かる。
端点 $p=1$ では結論も成り立たない。$\ell^1$ は反射的でない（反射的Banach空間 の例「$c_0$・$\ell^1$・$L^1[0,1]$ は反射的でない」）ので、定理の対偶により一様凸でもない。
汎関数がノルムを達成する点
反射的な空間では、すべての連続線形汎関数が閉単位球の上でノルムを達成する（反射的Banach空間 の命題「反射的なら汎関数はノルムを達成する」）。一様凸 Banach 空間では、このことを二重双対を経由せずに直接示せる。しかも、$f\ne0$ なら、$f(x)=\|f\|$ となる点 $x\in B_X$ はただ一つに決まる。
$X$ を一様凸 Banach 空間、$f\in X^*$、$\|f\|=1$ とする。
- $f(x)=1$ となる $x\in B_X$ がある。
- そのような $x$ はただ一つであり、$\|x\|=1$ を満たす。
1：$\|f\|=1$ なので、$x_n\in B_X$ で $|f(x_n)|\to1$ となるものがある。$x_n$ に $|\lambda_n|=1$ のスカラーを掛けて $f(x_n)=|f(x_n)|$ としてよいので、$f(x_n)$ は実数で $f(x_n)\to1$ である。$(x_n)$ が Cauchy 列であることを示す。$\varepsilon>0$ に一様凸性の $\delta$ をとり、$n\ge N$ で $f(x_n)>1-\delta$ となる $N$ をとる。$n,m\ge N$ なら
$$
\Bigl\|\frac{x_n+x_m}2\Bigr\|\ge\Bigl|f\Bigl(\frac{x_n+x_m}2\Bigr)\Bigr|=\frac{f(x_n)+f(x_m)}2>1-\delta
$$
なので、一様凸性の対偶から $\|x_n-x_m\|\le\varepsilon$ である。$X$ は完備なので $x_n\to x$ となる $x$ があり、$\|x\|\le1$、$f(x)=\lim_nf(x_n)=1$ である。
2：$1=f(x)\le\|f\|\,\|x\|=\|x\|\le1$ から $\|x\|=1$ である。$x,x'\in B_X$ がともに $f(x)=f(x')=1$ を満たすとすると、$\|(x+x')/2\|\ge f((x+x')/2)=1$ である。任意の $\varepsilon>0$ について、一様凸性の $\delta$ をとると中点のノルムは $1-\delta$ 以上なので、一様凸性の対偶から $\|x-x'\|\le\varepsilon$ である。よって $x=x'$ である。$\square$
$f\ne0$ が一般のノルムをもつときは、$f/\|f\|$ にこの命題を使えば、$\|x\|=1$ かつ $f(x)=\|f\|$ となる $x$ がただ一つ得られる。
逆に、すべての連続線形汎関数がノルムを達成する Banach 空間は反射的である（Jamesの定理(反射性)）。したがって prop-mp-attain と James の定理を合わせても Milman–Pettis の定理が得られるが、James の定理の証明は上の直接の証明よりはるかに長い。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 完備性 | $\ell^2$ ノルムを入れた $c_{00}$ | 反射性（thm-mp-main） |
| 一様凸性（狭義凸性は残す） | ノルム $N$ を入れた $c_0$（ex-mp-strict） | 反射性（thm-mp-main） |
| 一様凸性 | 上限ノルムの $c_0$ と $f(x)=\sum_n2^{-n}x_n$ | ノルムの達成（prop-mp-attain の 1） |
| 完備性 | $\ell^2$ ノルムを入れた $c_{00}$ と $f(x)=\sum_nx_n/n$ | ノルムの達成（prop-mp-attain の 1） |
| 一様凸性 | 最大値ノルム $\max(\lvert x_1\rvert,\lvert x_2\rvert)$ の $\mathbb R^2$ と $f(x)=x_1$ | $f(x)=1$ となる点の一意性（prop-mp-attain の 2） |
ここで $c_{00}$ は有限個の項を除いて $0$ である数列の空間、$c_0$ は $0$ に収束する数列の空間である。
1 行目：$c_{00}$ に $\ell^2$ ノルムを入れたものは内積空間なので、ex-mp-hilbert の計算により一様凸である。しかし $(1,1/2,\ldots,1/n,0,0,\ldots)$ は Cauchy 列で $c_{00}$ に極限をもたないので完備でなく、したがって反射的でない（反射的なノルム空間は完備である）。
3 行目：$c_0$ は上限ノルムで完備である。$|f(x)|\le\sum_n2^{-n}|x_n|\le\|x\|_\infty$ であり、最初の $N$ 項が $1$ で残りが $0$ の数列で $f$ の値は $1-2^{-N}$ なので $\|f\|=1$ である。$\|x\|_\infty\le1$ かつ $|f(x)|=1$ なら、$\sum_n2^{-n}(1-|x_n|)\le0$ からすべての $n$ で $|x_n|=1$ となり、$x\notin c_0$ である。よって $f$ はノルムを達成しない。
4 行目：$a=(1/n)_n\in\ell^2$ とすると $f(x)=\sum_na_nx_n$ であり、Cauchy–Schwarz の不等式から $|f(x)|\le\|a\|_2\|x\|_2$ である。$a$ の最初の $N$ 項を残した数列 $a^{(N)}\in c_{00}$ について $f(a^{(N)})=\|a^{(N)}\|_2^2$ なので、$|f(a^{(N)})|/\|a^{(N)}\|_2=\|a^{(N)}\|_2\to\|a\|_2$ であり、$\|f\|=\|a\|_2$ である。$\|x\|_2\le1$ で $|f(x)|=\|a\|_2$ なら Cauchy–Schwarz の不等式の等号が成り立つので、$x$ は $a$ のスカラー倍である。$a$ は無限個の $0$ でない項をもつので、$c_{00}$ の元でそうなるのは $x=0$ だけだが、$f(0)=0\ne\|a\|_2$ である。
5 行目：$\|f\|=1$ であり、$\lvert t\rvert\le1$ のすべての $t$ について $f(1,t)=1$ である。この空間は有限次元なので完備で、一様凸でない（一様凸Banach空間 の例「一様凸でない空間」）。
2 行目の空間は次の例で確かめる。ノルム空間が狭義凸であるとは、$\|x\|=\|y\|=1$、$x\ne y$ ならば $\|(x+y)/2\|< 1$ となることをいう（狭義凸ノルム）。一様凸なら狭義凸である。
$c_0$ に $N(x)=\|x\|_\infty+q(x)$、$q(x)=\bigl(\sum_n2^{-n}|x_n|^2\bigr)^{1/2}$ を入れる。$q(x)\le\|x\|_\infty$ なので $\|x\|_\infty\le N(x)\le2\|x\|_\infty$ であり、$N$ は上限ノルムと同値なノルムで、$(c_0,N)$ は Banach 空間である。
狭義凸：$N(x)=N(y)=1$ なら三角不等式から $N((x+y)/2)\le1$ なので、$N(x)=N(y)=1$、$N((x+y)/2)=1$ から $x=y$ を導けばよい。$N(x+y)=N(x)+N(y)$ であり、$N$ の三角不等式は $\|\cdot\|_\infty$ と $q$ のそれぞれの三角不等式を足したものなので、$q(x+y)=q(x)+q(y)$ が成り立つ。$q$ は内積 $\sum_n2^{-n}x_n\overline{y_n}$ から来るノルムで、$N(x)=N(y)=1$ から $x,y\ne0$ なので $q(x),q(y)>0$ である。内積から来るノルムの三角不等式で等号が成り立つのは、Cauchy–Schwarz の不等式の等号条件により $y=tx$（$t>0$）のときに限る。$N(y)=tN(x)$ から $t=1$ で、$x=y$ である。
反射的でない：上限ノルムの $c_0$ は反射的でない（反射的Banach空間 の例「$c_0$・$\ell^1$・$L^1[0,1]$ は反射的でない」）。$N$ は同値なノルムなので、prop-mp-equivalent により $(c_0,N)$ も反射的でない。thm-mp-main の対偶により、$(c_0,N)$ は一様凸でない。
この例は、定理の仮定の一様凸性を狭義凸性に弱められないことを示す。
定理の逆の反例も確かめておく。$\mathbb R^2$ に $\ell^1$ ノルムを入れた空間は有限次元なので反射的である（反射的Banach空間 の例「有限次元のノルム空間」）。しかし $x=(1,0)$、$y=(0,1)$ は $\|x-y\|_1=2$ なのに $\|(x+y)/2\|_1=1$ であり、一様凸でない。
関連項目
参考文献
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