Lelong数

単調性と $M_\varphi(z,r)\ge\varphi(z)$ は、多重劣調和関数 の定理「多重劣調和関数は劣調和」と補題「球面平均の単調性」（$\mathbb R^{2n}$ で使う）による。ある $r_1$ で $M_\varphi(z,r_1)=-\infty$ なら、単調性から $0< r\le r_1$ で $M_\varphi(z,r)=-\infty$ となり、極座標で $\int_{B(z,r_1)}\varphi\,d\lambda=2n\tau_n\int_0^{r_1}M_\varphi(z,r)r^{2n-1}\,dr=-\infty$ となる（$\varphi$ は上に有界なので Tonelli の定理が使える）。これは 多重劣調和関数 の補題「劣調和関数の局所可積分性」に反するので、$M_\varphi(z,r)$ は実数である。

$D:=\{w\in\mathbb C\mid|w|< d(z)\}$ 上の $\Phi$ を考える。$|w_0|< \rho< d(z)$ とすると、$|w|\le\rho$ の範囲で $z+w\zeta$ はコンパクト集合 $\overline B(z,\rho)$ に入り、そこで $\varphi\le A$ である。$A-\varphi\ge0$ に Fatou の補題を使うと $\varphi$ の上半連続性から $\limsup_{w\to w_0}\Phi(w)\le\Phi(w_0)$ である。各 $\zeta$ について $w\mapsto\varphi(z+w\zeta)$ は $D$ 上で劣調和（多重劣調和関数の定義）なので、$\overline B(w_0,s)\subset D$ なら $\varphi(z+w_0\zeta)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\varphi(z+(w_0+se^{i\theta})\zeta)\,d\theta$（劣調和関数 の定理「劣平均値の性質（すべての半径）」）である。$\zeta$ で積分し、$A-\varphi\ge0$ に Tonelli の定理を使って順序を入れ替えると $\Phi(w_0)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\Phi(w_0+se^{i\theta})\,d\theta$ を得る。よって $\Phi$ は $D$ 上で劣調和である。$\zeta\mapsto e^{i\theta}\zeta$ は $\sigma$ を保つので、$w\ne0$ では $\Phi(w)=M_\varphi(z,|w|)$ である。

$0< r_1< r_2< d(z)$ とし、実数 $a,b$ を $a\log r_j+b=M_\varphi(z,r_j)$（$j=1,2$）となるようにとる。$h(w):=a\log|w|+b$ は円環 $A:=\{r_1< |w|< r_2\}$ の近くで調和で、$\partial A$ の上で $\Phi=h$ である。$\Phi$ の上半連続性から、$\partial A$ の各点 $\xi$ で $\limsup_{w\to\xi}(\Phi-h)(w)\le\Phi(\xi)-h(\xi)=0$ なので、劣調和関数 の定理「劣調和関数の比較原理」により $A$ 上で $\Phi\le h$、すなわち $r_1< r< r_2$ で $M_\varphi(z,r)\le a\log r+b$ である。これが $\log r$ についての凸性である。

最後に、$c>\varphi(z)$ を実数とすると、上半連続性から $\delta>0$ があって $B(z,\delta)$ の上で $\varphi< c$ なので、$r< \delta$ で $\varphi(z)\le M_\varphi(z,r)\le c$ である。$\square$

$\Delta=4\sum_j\partial^2/\partial z_j\partial\bar z_j$ は Levi 形式のトレースの $4$ 倍なので、多重劣調和関数 の定理「$C^2$ 級の関数の多重劣調和性の判定」から $\Delta\varphi_\varepsilon\ge0$ である。コンパクト集合 $K\subset\Omega$ の近くで $\varepsilon\le\varepsilon_0$ なら $\varphi\le\varphi_\varepsilon\le\varphi_{\varepsilon_0}$、$\varepsilon\downarrow0$ で $\varphi_\varepsilon\downarrow\varphi$ であり、$\varphi\in L^1_{\mathrm{loc}}$（多重劣調和関数 の補題「劣調和関数の局所可積分性」）なので、単調収束定理から $K$ の上で $\varphi_\varepsilon\to\varphi$（$L^1$）である。よって $\chi\ge0$ なら $\frac1{2\pi}\int\varphi\Delta\chi=\lim\frac1{2\pi}\int\chi\Delta\varphi_\varepsilon\ge0$ である。

$T(\chi):=\frac1{2\pi}\int\varphi\Delta\chi$ とおく。実数値の $\chi$ の台が $K$ に入り、$0\le\eta\in C_c^\infty(\Omega)$ が $K$ の上で $1$ なら、$\|\chi\|_\infty\eta\pm\chi\ge0$ から $|T(\chi)|\le\|\chi\|_\infty T(\eta)$ である。軟化で $C_c(\Omega)$ の元を台を制御しつつ一様に近似できるので、$T$ は $C_c(\Omega)$ 上の正の線形汎関数に一意に延び、Riesz–Markov–角谷の表現定理 から 1 の $\mu_\varphi$ を得る。一意性は $C_c^\infty$ の稠密性による。

2：$0< \delta$ を小さくとり、$C_c^\infty$ の関数 $0\le\chi^\pm\le1$ を、$\chi^-$ は $\overline B(z,r-\delta)$ の上で $1$ で台が $B(z,r)$ に入り、$\chi^+$ は $\overline B(z,r)$ の上で $1$ で台が $B(z,r+\delta)$ に入るようにとる。$\int\chi^\pm d\mu_\varepsilon=\frac1{2\pi}\int\varphi_\varepsilon\Delta\chi^\pm\to\int\chi^\pm d\mu_\varphi$ と $\int\chi^-d\mu_\varepsilon\le\mu_\varepsilon(B(z,r))\le\int\chi^+d\mu_\varepsilon$ から、$\mu_\varphi(\overline B(z,r-\delta))\le\liminf\mu_\varepsilon(B(z,r))\le\limsup\mu_\varepsilon(B(z,r))\le\mu_\varphi(B(z,r+\delta))$ である。$\delta\to0$ とすると両端は $\mu_\varphi(B(z,r))$ と $\mu_\varphi(\overline B(z,r))$ に近づき、球面の測度が $0$ なのでこれらは等しい。$\square$

$\nu:=\nu_\varphi(z)$、$F$ を上の証明のものとする。$t< t_0$ なら割線の傾きは $\nu$ 以上なので $F(t)\le\nu t+C$（$C:=F(t_0)-\nu t_0$）、すなわち $r< e^{t_0}$ で $M_\varphi(z,r)\le\nu\log r+C$ である。$\varphi(z+r\,\cdot)$ は $S$ 上で可積分なので、Jensenの不等式 から $\int_Se^{-\varphi(z+r\zeta)}\,d\sigma(\zeta)\ge e^{-M_\varphi(z,r)}\ge e^{-C}r^{-\nu}$ である。極座標で $\int_{B(z,\rho)}e^{-\varphi}d\lambda\ge2n\tau_ne^{-C}\int_0^\rho r^{2n-1-\nu}dr$ となり、$\nu\ge2n$ なら右辺は発散する。$\square$

多重劣調和性は 多重劣調和関数 の例「正則関数の絶対値の 2 乗和の対数」である。$f_j$ のすべての偏導関数が $0$ になる点の集合は、偏導関数の連続性から閉じており、Taylor 展開が点のまわりの多重円板で収束することから開いている。$\Omega$ は連結なので、$\Omega$ 上で恒等的に $0$ でない $f_j$ は $z$ の近くでも恒等的に $0$ でなく、$d$ は有限である。

$\nu_\varphi(z)\ge d$：各 $f_j$ の Taylor 展開は $d$ 次以上の項だけからなるので、小さい $\rho$ について $|w|\le\rho$ で $|f_j(z+w)|\le C|w|^d$ である（Cauchy の評価で $|w|^d$ をくくり出す）。よって $\varphi(z+w)\le d\log|w|+C'$、$M_\varphi(z,r)\le d\log r+C'$ で、$\log r< 0$ で割ると $M_\varphi(z,r)/\log r\ge d+C'/\log r\to d$ である。

$\nu_\varphi(z)\le d$：$\operatorname{ord}_zf_j=d$ となる $j$ をとり、$P$ を $f_j$ の $d$ 次斉次部分とする。$\zeta\in S$ を固定すると $f_j(z+w\zeta)=w^dk(w)$、$k(0)=P(\zeta)$ と書け、$\log|k|$ は劣調和なので $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f_j(z+re^{i\theta}\zeta)|\,d\theta\ge d\log r+\log|P(\zeta)|$ である（$P(\zeta)=0$ なら右辺は $-\infty$ で自明）。$\varphi\ge\log|f_j|$ と、$\zeta\mapsto e^{i\theta}\zeta$ が $\sigma$ を保つことから、$\zeta$ で積分して $M_\varphi(z,r)=\int_S\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\varphi(z+re^{i\theta}\zeta)\,d\theta\,d\sigma(\zeta)\ge d\log r+M_{\log|P|}(0,1)$ を得る。$\log|P|$ は $\mathbb C^n$ 上の多重劣調和関数で恒等的に $-\infty$ でないので、lem-lelong-logconvex により $M_{\log|P|}(0,1)$ は実数である。$\log r$ で割ると $M_\varphi(z,r)/\log r\le d+M_{\log|P|}(0,1)/\log r\to d$ である。$\square$

球面は閉球に含まれるので $M_\varphi(z,r)\le\Theta_\varphi(z,r)$ で、$\log r< 0$ で割ると $\limsup_{r\to0}\Theta_\varphi(z,r)/\log r\le\nu_\varphi(z)$ である。逆向きを示す。$R_0< d(z)$ を固定し、$\varphi$ から定数 $\Theta_\varphi(z,R_0)$ を引いておく（両辺の極限は変わらない）。すると $\overline B(z,R_0)$ の上で $\varphi\le0$ である。$N:=2n$ とし、$0< r< R\le R_0$ について $\Theta_\varphi(z,r)\le c(r/R)\,M_\varphi(z,R)$ を示す。これを認めて、$0< s< 1$ を固定し $R=r^s$ とおく。$r\to0$ で $r/R=r^{1-s}\to0$、$c(r^{1-s})\to1$ なので、$\log r< 0$ で割って $$\frac{\Theta_\varphi(z,r)}{\log r}\ge c(r^{1-s})\,s\,\frac{M_\varphi(z,r^s)}{\log r^s}\longrightarrow s\,\nu_\varphi(z)$$ となる。$s$ は $1$ にいくらでも近くとれるので $\liminf_{r\to0}\Theta_\varphi(z,r)/\log r\ge\nu_\varphi(z)$ である。

Harnack 型の不等式の証明：$u(y):=\varphi(z+Ry)$ は単位閉球 $\overline B$ の近くの $\mathbb R^N$ の劣調和関数で $u\le0$ である。劣調和関数 の補題「上半連続関数の連続関数による近似」により、単位球面 $S$ 上の連続関数 $g_1\ge g_2\ge\cdots\to u$ がある。Dirichlet問題 の定理「Poisson積分による球のDirichlet問題の解」の解 $h_k$（境界値 $g_k$）は、劣調和関数 の系「球での調和関数との比較」により $B$ 上で $u\le h_k$ を満たす。$h_k(y)=\int_SP(y,\zeta)g_k(\zeta)\,d\sigma(\zeta)$、$P(y,\zeta)=(1-|y|^2)/|y-\zeta|^N$ で、$k\to\infty$ とすると単調収束定理（$g_1-g_k$ に使う）から $u(y)\le\int_SP(y,\zeta)u(\zeta)\,d\sigma(\zeta)$ である。$|y|=t< 1$ なら $P(y,\zeta)\ge(1-t^2)/(1+t)^N=c(t)$ で、$u\le0$ だから $u(y)\le c(t)\int_Su\,d\sigma=c(t)M_\varphi(z,R)$ である。$c$ は $[0,1)$ で減少し $M_\varphi(z,R)\le0$ なので、$|y|\le r/R$ で $u(y)\le c(r/R)M_\varphi(z,R)$ である。$\square$

滑らかな場合（$n=1$）。$u$ を単位閉円板 $\overline D$ の近くの $C^2$ 級関数で $\Delta u\ge0$、$u(0)=0$、$\overline D$ 上で $u< 1$ とする。$z\in D$ について $g_z(\zeta):=\log|(\zeta-z)/(1-\bar z\zeta)|$ とおくと、$g_z\le0$、$|\zeta|=1$ で $g_z=0$、外向き法微分は Poisson 核 $P_z(\zeta)=(1-|z|^2)/|\zeta-z|^2$ である。$D\setminus\overline B(z,\delta)$ で Green の公式を使い $\delta\to0$ とすると、$d\mu:=\Delta u\,dA$ について$$2\pi u(z)=\int_Dg_z\,d\mu+\int_0^{2\pi}P_z(e^{it})u(e^{it})\,dt$$である。$z=0$ とすると $\int_D\log(1/|\zeta|)\,d\mu=\int_0^{2\pi}u(e^{it})dt\le2\pi$ なので、$\int u\,dt\in[0,2\pi]$、$\int|u|\,dt=2\int u_+dt-\int u\,dt\le4\pi$ である。

$R:=(1/2+e^{-1/2})/2$ とおくと $1/2< R< e^{-1/2}$ で、$a:=\mu(\{|\zeta|< R\})/2\pi\le a^*:=1/\log(1/R)< 2$ である。$|z|\le1/2$ では $P_z\le3$ なので境界の項は $6$ 以下、$R\le|\zeta|< 1$ では $Q:=|(z-\zeta)/(1-\bar z\zeta)|^2\ge\delta_0:=((R-1/2)/(3/2))^2$、$1-Q\le4(1-|\zeta|^2)\le8\log(1/|\zeta|)$ から $-g_z=-\frac12\log Q\le\frac{1-Q}{2Q}\le\frac4{\delta_0}\log\frac1{|\zeta|}$ である。よって $|z|\le1/2$ で$$-u(z)\le6+\frac4{\delta_0}+I(z),\qquad I(z):=\frac1{2\pi}\int_{|\zeta|< R}(-g_z)\,d\mu.$$$a>0$ なら確率測度 $dP:=d\mu/(2\pi a)$ に Jensenの不等式 を使って $e^{I(z)}\le\int|(1-\bar z\zeta)/(z-\zeta)|^a\,dP(\zeta)\le(3/2)^2\int|z-\zeta|^{-a}dP(\zeta)$ で、Tonelli の定理と $|z-\zeta|< 1$ から $\int_{|z|< 1/4}e^{I}\,dA\le(3/2)^2\cdot2\pi/(2-a^*)$ である（$a=0$ なら $I=0$）。こうして $u$ によらない $C_1$ で $\int_{|z|< 1/4}e^{-u}dA\le C_1$ を得る。

一般の場合（$n=1$）。$\psi_\varepsilon$ を平滑化とし、$r_j:=1-2^{-j}$、$\varepsilon_j:=2^{-j-2}$、$u_j(z):=\psi_{\varepsilon_j}(r_jz)-\psi_{\varepsilon_j}(0)$ とおく。$\psi_\varepsilon(0)\ge\psi(0)=0$ と $\psi< 1$ から $u_j$ は上の条件を満たす。$\psi$ の上半連続性から $\limsup_ju_j(z)\le\psi(z)$ なので、Fatou の補題から $\int_{|z|< 1/4}e^{-\psi}\le\liminf_j\int_{|z|< 1/4}e^{-u_j}\le C_1$ である。

高次元。各 $\zeta\in S$ について $w\mapsto\psi(w\zeta)$ は単位円板の劣調和関数で原点の値が $0$、上界が $1$ なので、$\int_{|w|< 1/4}e^{-\psi(w\zeta)}dA(w)\le C_1$ である。複素極座標の公式 $\int_{|x|< 1/4}f\,d\lambda=\tau_{n-1}\int_S\int_{|w|< 1/4}|w|^{2n-2}f(w\zeta)\,dA(w)\,d\sigma(\zeta)$（$f\ge0$）から、$C_n:=\tau_{n-1}4^{2-2n}C_1$ でよい。$\square$

有限性。$\nu_\varphi(z)< \beta< \alpha$ なら、$F(t)=M_\varphi(z,e^t)$ の左微分が小さい $t$ で $\beta$ 以下なので $F(t)\ge\beta t+C$ であり、$r\to0$ で $\psi\to\infty$ である。$r\ge1$ では単調性から $M_\varphi(z,r)\ge M_\varphi(z,1)$ で、$r^2-\alpha\log r\to\infty$ である。$r$ が正の閉区間を動くとき $\psi$ は連続なので、下限は有限である。

多重劣調和性。$M_\varphi(z,w):=\int_S\varphi(z+w\zeta)\,d\sigma(\zeta)$ は $(z,w)\in\mathbb C^{n+1}$ の多重劣調和関数である（$(z,w)\mapsto z+w\zeta$ は正則で、平均をとる操作は劣平均値の不等式を保つ）。$\varphi$ が滑らかなら $\psi$ は $t=\log r$ について $\partial_t^2\psi\ge4r^2>0$ で、両端で $+\infty$ に発散するので最小点 $r(z)$ はただ一つで、陰関数定理から滑らかである。$\Psi(z,w):=M_\varphi(z,w)+|z|^2+|w|^2-\alpha\log|w|$ は $w\ne0$ で多重劣調和で、$\varphi_\alpha(z)=\Psi(z,r(z))$ の Levi 形式は、$\Psi$ の $(z,w)$ での Levi 形式（半正定値）の、$w$ 方向の正の対角成分についての Schur 補行列になる（最小点の条件 $\partial_r\psi=0$ を微分して確かめる）。よって $\varphi_\alpha$ は多重劣調和である。一般の $\varphi$ は平滑化 $\varphi_{\varepsilon_j}\downarrow\varphi$ をとると、各 $r$ で $\psi_j\downarrow\psi$ なので $(\varphi_{\varepsilon_j})_\alpha\downarrow\varphi_\alpha$（減少列の極限と下限は交換できる）であり、多重劣調和関数 の命題「和・最大値・上限・合成・減少極限」から多重劣調和である。

下からの評価。$|y-z|=r$ で $\varphi_\alpha(y)\le M_\varphi(y,r)+|y|^2+r^2-\alpha\log r$ を $y$ について平均すると、二重の球面平均は $\overline B(z,2r)$ の上の回転不変な確率測度による平均なので、球面平均の単調性から $M_\varphi(z,2r)$ 以下である。よって $M_{\varphi_\alpha}(z,r)\le M_\varphi(z,2r)+C-\alpha\log r$ で、$\log r$ で割って $\nu_{\varphi_\alpha}(z)\ge\nu_\varphi(z)-\alpha$ を得る。

上からの評価。同じ式で $\alpha=0$ とすると $\varphi_0=\varphi+|z|^2$ で $\nu_{\varphi_0}=\nu_\varphi$ である。各点で $\alpha\mapsto\varphi_\alpha$ はアフィン関数の下限なので凹であり、球面平均をとって $\log r< 0$ で割ると $\alpha$ の凸関数になる。極限 $N(\alpha):=\nu_{\varphi_\alpha}(z)$ は $[0,\infty)$ の凸関数で、有限性から $\alpha>\nu:=\nu_\varphi(z)$ では $N(\alpha)=0$ である。$0\le\alpha\le\beta$、$\beta>\nu$ で凸性を使うと $N(\alpha)\le(1-\alpha/\beta)\nu$ で、$\beta\downarrow\nu$ として $N(\alpha)\le\max(\nu-\alpha,0)$ である。$\square$