相対Spec

$g\colon T\to S$ を $S$ 上のスキームとする。

(a) スキームの射 $a\colon T\to\operatorname{Spec}A$ は、大域切断の上の環準同型 $a^\#(\operatorname{Spec}A)\colon A\to\mathcal{O}_T(T)$ と一対一に対応する（Har77 II Ex. 2.4）。この対応は自然なので、$a$ が $S$ 上の射であること（$\pi\circ a=g$）は、合成 $R\to A\to\mathcal{O}_T(T)$ が $g^\#(S)$ に等しいこと、すなわち $a^\#(\operatorname{Spec}A)$ が $R$ 代数の準同型であることと同値である。

(b) $\mathcal{O}_S$ 代数の射 $\varphi\colon\widetilde{A}\to g_*\mathcal{O}_T$ は、大域切断の上の $R$ 代数の準同型 $\varphi(S)\colon A\to\mathcal{O}_T(T)$ で決まり、任意の $R$ 代数の準同型 $\psi\colon A\to\mathcal{O}_T(T)$ がこうして得られる。実際、$f\in R$ について $\widetilde{A}(D(f))=A_f$ であり、$g_*\mathcal{O}_T(D(f))=\mathcal{O}_T(g^{-1}D(f))$ では $f$ の像が可逆である（$g^{-1}D(f)$ の各点で $f$ の像は茎の単元）。局所化の普遍性により、$A\xrightarrow{\psi}\mathcal{O}_T(T)\to\mathcal{O}_T(g^{-1}D(f))$ は $A_f$ からの環準同型にただ一通りに延び、これらは $D(f')\subset D(f)$ への制限と両立する。主開集合は開基をなすので、層の射 $\widetilde{A}\to g_*\mathcal{O}_T$ がただ一つ定まる（Har77 II Ex. 5.3 の加群の場合と同じ議論）。

(c) $\theta$ は大域切断の上で恒等写像 $A\to A$ だから、$\Phi_T(a)$ の大域切断は $a^\#(\operatorname{Spec}A)$ である。(a) と (b) により $a\mapsto a^\#(\operatorname{Spec}A)$ と $\varphi\mapsto\varphi(S)$ はともに $R$ 代数の準同型 $A\to\mathcal{O}_T(T)$ の集合への全単射なので、$\Phi_T$ は全単射である。$\square$

1. 開集合 $U\subset S$ について $g^{-1}(U)=g^{-1}(U\cap W)$ だから $g_*\mathcal{O}_T(U)=g_*\mathcal{O}_T(U\cap W)$ であり、制限写像 $g_*\mathcal{O}_T(U)\to g_*\mathcal{O}_T(U\cap W)$ は恒等写像である。よって任意の $\varphi$ について $\varphi(U)=\varphi(U\cap W)\circ\rho$（$\rho\colon\mathcal{A}(U)\to\mathcal{A}(U\cap W)$ は制限）となり、$\varphi$ は $\varphi|_W$ で決まる。逆に $\psi\colon\mathcal{A}|_W\to(g_W)_*\mathcal{O}_T$ が与えられたら、$\varphi(U):=\psi(U\cap W)\circ\rho$ とおくと、これは制限と両立する $\mathcal{O}_S$ 代数の射で $\varphi|_W=\psi$ をみたす。

2. $W$ 上のスキーム $T$ を $S$ 上のスキームとみる。$S$ 上の射 $a\colon T\to X$ は $\pi\circ a=g$ をみたすので開部分スキーム $\pi^{-1}(W)$ を経由し、$\operatorname{Hom}_S(T,X)=\operatorname{Hom}_W(T,\pi^{-1}(W))$ である。$\Phi_T(a)|_W$ は $\pi^{-1}(W)\to W$ と $\theta|_W$ から同じ式で作った写像の値に等しい。1 と $(X,\theta)$ の普遍性から主張が従う。$\square$

$h^*\mathcal{A}=h^{-1}\mathcal{A}\otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_S}\mathcal{O}_{S'}$ は可換環の層であり、加群として準連接である（Har77 II.5.8 (a)）。$\mathcal{O}_{S'}$ 代数 $\mathcal{B}$ について、$\mathcal{O}_{S'}$ 代数の射 $h^*\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ は $\mathcal{O}_S$ 代数の射 $\mathcal{A}\to h_*\mathcal{B}$ と自然に一対一に対応する（加群の場合の随伴 $h^*\dashv h_*$ が積と単位元を保つ射どうしを対応させる。Stacks の章「Constructions of Schemes」27.4 節の冒頭。そこでは行き先が構造層の順像の場合を述べており、下の全単射に要る形はそれを $h\circ g'$ と $g'$ に当てて得られる）。

$S'$ 上のスキーム $g'\colon T\to S'$ をとり、$T$ を $h\circ g'$ で $S$ 上のスキームとみる。ファイバー積の普遍性と相対Spec の普遍性、随伴により、$T$ について自然な全単射$$\operatorname{Hom}_{S'}(T,\mathbf{Spec}_S\mathcal{A}\times_SS')=\operatorname{Hom}_S(T,\mathbf{Spec}_S\mathcal{A})\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_S\text{-alg}}(\mathcal{A},h_*g'_*\mathcal{O}_T)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S'}\text{-alg}}(h^*\mathcal{A},g'_*\mathcal{O}_T)$$が得られる。よって $\mathbf{Spec}_S\mathcal{A}\times_SS'$ は $h^*\mathcal{A}$ の相対Spec の普遍性をもち、米田の補題により $\mathbf{Spec}_{S'}(h^*\mathcal{A})$ と同型である。ファイバーについては $S'=\operatorname{Spec}\kappa(s)$ とすればよく、1 点の上の準連接層 $h^*\mathcal{A}$ は $\mathcal{A}_s\otimes_{\mathcal{O}_{S,s}}\kappa(s)$ で与えられるから、lem-relative-spec-affine による。$\square$

$\pi_{\mathcal{B}}\colon\mathbf{Spec}_S\mathcal{B}\to S$ と書く。

1. 普遍性により $\operatorname{Hom}_S(\mathbf{Spec}_S\mathcal{B},\mathbf{Spec}_S\mathcal{A})\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_S\text{-alg}}(\mathcal{A},\pi_{\mathcal{B}*}\mathcal{O})$ であり、thm-relative-spec-existence の 2 の同型 $\theta_{\mathcal{B}}\colon\mathcal{B}\cong\pi_{\mathcal{B}*}\mathcal{O}$ により右辺は $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_S\text{-alg}}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ である。合成との両立は $\Phi$ の自然性による。

2. 閉埋め込みであることは $S$ 上局所的なので、アフィン開集合 $V$ の上で考える。$\mathcal{K}:=\operatorname{Ker}u$ は準連接層の射の核なので準連接で（準連接層）、$0\to\mathcal{K}\to\mathcal{A}\to\mathcal{B}\to0$ は完全である。アフィンスキームの上では準連接層を左端にもつ完全列の切断は完全なので（Har77 II.5.6）、$\mathcal{A}(V)\to\mathcal{B}(V)$ は全射である。thm-relative-spec-existence の 1 により $V$ の上で射は $\operatorname{Spec}\mathcal{B}(V)\to\operatorname{Spec}\mathcal{A}(V)$ であり、全射な環準同型が定めるので閉埋め込みである。後半は $\mathcal{A}=\mathcal{O}_S$（$\mathbf{Spec}_S\mathcal{O}_S=S$）の場合である。

3. $\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_S}\mathcal{B}$ は準連接 $\mathcal{O}_S$ 代数で、可換な $\mathcal{O}_S$ 代数の圏での余積である（切断ごとの前層のテンソル積は可換代数の余積であり、層化は層への包含の左随伴である）。よって $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_S\text{-alg}}(\mathcal{A}\otimes\mathcal{B},g_*\mathcal{O}_T)=\operatorname{Hom}(\mathcal{A},g_*\mathcal{O}_T)\times\operatorname{Hom}(\mathcal{B},g_*\mathcal{O}_T)$ であり、右辺は普遍性により $\operatorname{Hom}_S(T,\mathbf{Spec}_S\mathcal{A})\times\operatorname{Hom}_S(T,\mathbf{Spec}_S\mathcal{B})=\operatorname{Hom}_S(T,\mathbf{Spec}_S\mathcal{A}\times_S\mathbf{Spec}_S\mathcal{B})$ である。$\square$