Weylの指標公式

1：余ルートの式から、すべての $\lambda\in\mathfrak{h}^*$ について $\lambda(h_i)=\kappa(t_\lambda,2t_{\alpha_i}/(\alpha_i,\alpha_i))=\lambda\bigl(2t_{\alpha_i}/(\alpha_i,\alpha_i)\bigr)$ なので $h_i=2t_{\alpha_i}/(\alpha_i,\alpha_i)$ である。$\lambda\mapsto t_\lambda$ は線形同型で $\Delta$ は $\mathfrak{h}^*$ の基底だから、$h_1,\dots,h_l$ は $\mathfrak{h}$ の基底である。よって $\lambda=\sum_i\lambda(h_i)\omega_i$ であり、$\Lambda=\bigoplus_i\mathbb{Z}\omega_i$ は階数 $l$ の自由加群で、その群環は Laurent 多項式環である。Laurent 多項式環は整域な多項式環の局所化なので整域である。$\lambda\in\Lambda$ を $\lambda=\sum_jc_j\alpha_j$（$c_j\in\mathbb{C}$）と書くと $\lambda(h_i)=\sum_jc_j\cdot2(\alpha_j,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)$ であり、係数の行列は正則な実行列なので、$\lambda(h_i)$ が実数なら $c_j$ も実数で、$\lambda\in E$ である。

2：$\alpha_j(h_i)=2(\alpha_j,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)$ はルート系の整数性（ルート系 の定義「ルート系」の (RS3)）により整数なので $\alpha_j\in\Lambda$ であり、ルートは $\Delta$ の整数係数の結合なので $\Phi\subset\Lambda$ である。余ルートの式から $s_\alpha(\lambda)=\lambda-\lambda(h_\alpha)\alpha$ なので $s_i(\lambda)=\lambda-\lambda(h_i)\alpha_i\in\Lambda$ である。$W$ は単純鏡映で生成されるので（ルート系 の命題「Weyl群は単純鏡映で生成される」）、$W(\Lambda)\subset\Lambda$ であり、$w^{-1}$ についても同じだから等号が成り立つ。同命題により $\alpha\in\Phi$ は $\alpha=w(\alpha_i)$（$w\in W$）と書け、$W$ は内積を保つので $\lambda(h_\alpha)=2(w^{-1}\lambda,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)=(w^{-1}\lambda)(h_i)\in\mathbb{Z}$ である。

3：$s_i$ は $\Phi^+\setminus\{\alpha_i\}$ をそれ自身に写し、$\alpha_i$ を $-\alpha_i$ に写す（ルート系 の補題「単純鏡映は残りの正ルートを保つ」）。よって $s_i(2\rho)=2\rho-2\alpha_i$ である。一方 $s_i(\rho)=\rho-\rho(h_i)\alpha_i$ なので $\rho(h_i)=1$ である。$(\rho,\alpha_i)=\rho(h_i)(\alpha_i,\alpha_i)/2>0$ で、正のルートは $\Delta$ の $0$ 以上の係数の $0$ でない結合だから $(\rho,\alpha)>0$ である。とくに $\rho\in C$ である。$w\rho=\rho$ なら $\rho\in C\cap wC$ で、部屋は互いに交わらないか一致するので $wC=C$ であり、$W$ は部屋の全体に単純推移的に作用するから $w=1$ である（Weylの部屋 の定理「Weyl群と部屋」の 1）。

4：$\ell(w)$ についての帰納法で示す。$\ell(w)=0$ なら $w=1$ である。$\ell(w)\ge1$ なら、簡約表示の最後の因子をとって $w=w's_i$、$\ell(w')=\ell(w)-1$ と書け、ルート系 の系「長さの増減の判定」により $w'(\alpha_i)\in\Phi^+$ である。$wx=w'(x-x(h_i)\alpha_i)=w'x-x(h_i)\,w'(\alpha_i)$ なので $x-wx=(x-w'x)+x(h_i)\,w'(\alpha_i)$ であり、$x(h_i)=2(x,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)\ge0$ と帰納法の仮定 $w'x\preceq x$ から $wx\preceq x$ である。$\square$

$\mathfrak{s}_\alpha$ を $e_\alpha,h_\alpha,f_\alpha$ が張る部分 Lie 環とし、$e_\alpha\mapsto e$、$h_\alpha\mapsto h$、$f_\alpha\mapsto f$ で $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ と同一視する（半単純Lie環 の定理「ルート分解」の 3）。$\mathfrak{sl}_2$ の有限次元表現 $M$ は、Weylの完全可約性定理 と 最高ウェイト の系「$\mathfrak{sl}_2$ の既約表現の分類」により $V(m)$ の形の既約表現の直和であり、$V(m)$ の上で $h$ は固有値 $m,m-2,\dots,-m$ をそれぞれ重複度 $1$ でもつ。とくに $h$ は $M$ の上で対角化可能で、固有値は整数であり、整数 $d$ についての固有空間 $M[d]$ の次元は $\dim M[d]=\dim M[-d]$ を満たす。

1：$V$ は既約表現の直和であり（Weylの完全可約性定理）、有限次元既約表現はウェイト空間の直和である（最高ウェイト の定理「最高ウェイトの定理」の 1）。$v\in V_\mu$、$v\neq0$ なら $\mu(h_i)$ は $\mathfrak{s}_{\alpha_i}$ の表現としての $V$ の上の $h_i$ の固有値なので整数である。

2・3：$\alpha\in\Phi$、$\mu\in\Lambda$ を固定し、$c:=\mu(h_\alpha)$ とおく。lem-wcf-lattice の 2 により $c\in\mathbb{Z}$ である。$\mathfrak{g}_\beta V_\nu\subset V_{\nu+\beta}$ なので、$M:=\bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}V_{\mu+j\alpha}$ は $\mathfrak{s}_\alpha$ で保たれる。$V_{\mu+j\alpha}$ の上で $h_\alpha$ は $c+2j$ 倍なので、$M[c+2j]=V_{\mu+j\alpha}$ であり、$c$ と偶奇の異なる $d$ では $M[d]=0$ である。$s_\alpha\mu=\mu-c\alpha$ だから $V_{s_\alpha\mu}=M[-c]$、$V_\mu=M[c]$ となり、$n_{s_\alpha\mu}=n_\mu$ である。$W$ は鏡映で生成されるので 2 の前半が従い、後半は $w(\operatorname{ch}V)=\sum_\mu n_\mu\mathbf{e}^{w\mu}=\sum_\nu n_{w^{-1}\nu}\mathbf{e}^\nu=\operatorname{ch}V$ による。

3 は、$\mathfrak{sl}_2$ の有限次元表現 $M$ とすべての整数 $d$ についての等式$$\operatorname{tr}\bigl(ef\big|_{M[d]}\bigr)=\sum_{i\ge0}(d+2i)\dim M[d+2i]$$に $d=c$ を入れたものである（$ef$ は $h$ と可換なので $M[d]$ を保つ）。両辺は直和について加法的なので、$M=V(m)$ の場合に示せばよい。最高ウェイト の補題「$\mathfrak{sl}_2$ の極大ベクトル」の基底 $v_0,\dots,v_m$（$hv_k=(m-2k)v_k$、$fv_k=v_{k+1}$、$ev_k=k(m-k+1)v_{k-1}$）では $efv_k=(k+1)(m-k)v_k$ である。$d=m-2k$（$0\le k\le m$）なら右辺は $d,d+2,\dots,m$ の $k+1$ 項の和で、平均が $(d+m)/2=m-k$ なので $(k+1)(m-k)$ となり、左辺に一致する。それ以外の $d$ では左辺は $0$ である。右辺は、$d>m$ または $d$ と $m$ の偶奇が異なれば各項が $0$ であり、$d<-m$ で偶奇が同じなら固有値全体の和 $m+(m-2)+\cdots+(-m)=0$ である。$\square$

1：$(\mu,\alpha)=0$ となる $\alpha\in\Phi$ があれば $s_\alpha\mu=\mu$ である。そうでなければ $\mu$ は正則で、ある部屋に入る。$W$ は部屋の全体に単純推移的に作用するので（Weylの部屋 の定理「Weyl群と部屋」の 1）、その部屋は $wC$ の形にただ一通りに書け、$w^{-1}\mu\in C\cap\Lambda$ である。$\nu\in\Lambda$ について $\nu\in C$ は $\nu(h_i)=2(\nu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)$ がすべて正の整数であること、すなわち $\nu$ が狭義支配的であることと同値である。

2：$w(f)=\sum_\mu a_\mu\mathbf{e}^{w\mu}$ の $\mathbf{e}^{w\mu}$ の係数は $a_\mu$、$\operatorname{sgn}(w)f$ のそれは $\operatorname{sgn}(w)a_{w\mu}$ なので、$a_{w\mu}=\operatorname{sgn}(w)a_\mu$ である。$s_\alpha\mu=\mu$ なら $a_\mu=-a_\mu$ で $a_\mu=0$ である。それ以外の $\mu$ は 1 により $\mu=w\nu$（$\nu$ は狭義支配的、$w$ は一意）と書け、$a_\mu=\operatorname{sgn}(w)a_\nu$ である。よって $f=\sum_\nu a_\nu\sum_w\operatorname{sgn}(w)\mathbf{e}^{w\nu}=\sum_\nu a_\nu A_\nu$ である。1 の一意性から $w\nu$（$w\in W$）は相異なり、$w\nu=\nu$ は $w=1$ のときだけなので $\mathbf{e}^\nu$ の係数は $1$ である。$W\nu$ と $C$ の共通部分は $\nu$ だけなので、異なる $\nu$ の軌道は交わらない。$\square$

lem-wcf-lattice の 3 の証明のとおり、$s_i$ は $\Phi^+\setminus\{\alpha_i\}$ をそれ自身に写し、$s_i(\rho)=\rho-\alpha_i$ である。よって$$s_i(D)=\mathbf{e}^{\rho-\alpha_i}\bigl(1-\mathbf{e}^{\alpha_i}\bigr)\prod_{\alpha\in\Phi^+\setminus\{\alpha_i\}}\bigl(1-\mathbf{e}^{-\alpha}\bigr)=-D$$である（$\mathbf{e}^{-\alpha_i}(1-\mathbf{e}^{\alpha_i})=-(1-\mathbf{e}^{-\alpha_i})$）。$W$ は単純鏡映で生成され、$\operatorname{sgn}$ は乗法的なので、$D$ は交代的である。

展開すると $D=\sum_{S\subset\Phi^+}(-1)^{|S|}\mathbf{e}^{\rho-\sigma_S}$（$\sigma_S:=\sum_{\alpha\in S}\alpha$）である。$\rho-\sigma_S$ が狭義支配的とすると、$(\rho-\sigma_S)(h_i)\ge1=\rho(h_i)$ なので $\sigma_S(h_i)\le0$、すなわち $(\sigma_S,\alpha_i)\le0$ がすべての $i$ で成り立つ。$\sigma_S=\sum_ic_i\alpha_i$（$c_i\ge0$）と書くと $(\sigma_S,\sigma_S)=\sum_ic_i(\sigma_S,\alpha_i)\le0$ なので $\sigma_S=0$ である。$S\neq\emptyset$ なら $(\rho,\sigma_S)>0$（lem-wcf-lattice の 3）なので $S=\emptyset$ である。よって $D$ の狭義支配的な項は $\mathbf{e}^\rho$ だけで、係数は $1$ である。lem-wcf-alternating の 2 により $D=A_\rho$ である。$\square$

双対基底：$\alpha,\beta\in\Phi\cup\{0\}$（$\mathfrak{g}_0=\mathfrak{h}$）について $\alpha+\beta\neq0$ なら $\kappa(\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta)=0$ である。$x\in\mathfrak{g}_\alpha$、$y\in\mathfrak{g}_\beta$ なら $\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y$ は各 $\mathfrak{g}_\gamma$ を $\mathfrak{g}_{\gamma+\alpha+\beta}$ に写し、ルート分解に関する行列の対角ブロックが $0$ になって跡が $0$ だからである。$H\in\mathfrak{h}$ について Killing 形式の不変性（半単純Lie環 の命題「Killing 形式の不変性」）から $\kappa(h_\alpha,H)=\kappa(e_\alpha,[f_\alpha,H])=\alpha(H)\kappa(e_\alpha,f_\alpha)$ なので $h_\alpha=\kappa(e_\alpha,f_\alpha)t_\alpha$ であり、$\alpha$ を当てると $2=\kappa(e_\alpha,f_\alpha)(\alpha,\alpha)$ である。$H_1,\dots,H_l$ を $\mathfrak{h}$ の基底、$H_1',\dots,H_l'$ を $\kappa|_{\mathfrak{h}}$ に関する双対基底とすると、$\mathfrak{g}$ の基底 $\{H_i\}\cup\{e_\alpha\}_{\alpha\in\Phi}$ の $\kappa$ に関する双対基底は $\{H_i'\}\cup\{\tfrac{(\alpha,\alpha)}{2}f_\alpha\}_{\alpha\in\Phi}$ である。

Casimir 元：$V:=V(\lambda)$ の上の線形変換$$\Omega:=\sum_{i=1}^lH_iH_i'+\sum_{\alpha\in\Phi}\frac{(\alpha,\alpha)}{2}e_\alpha f_\alpha$$は $\mathfrak{g}$ のすべての元の作用と可換である。証明は Weylの完全可約性定理 の補題「Casimir 作用素」の計算と同じで、双対基底であることと $\kappa([x,y],z)=\kappa(x,[y,z])$ だけを使う。$\Omega$ は $\mathfrak{h}$ と可換なので $1$ 次元の $V_\lambda=\mathbb{C}v$ を保ち、$\Omega v=cv$ と書ける。$\operatorname{Ker}(\Omega-c)$ は $0$ でない部分加群なので $V$ 全体で、$\Omega$ は $V$ の上で $c$ 倍である。

$c$ の計算：$H=\sum_i\kappa(H,H_i')H_i$ なので $\sum_i\mu(H_i)\mu(H_i')=\mu\bigl(\sum_i\kappa(t_\mu,H_i')H_i\bigr)=\mu(t_\mu)=(\mu,\mu)$ であり、$\sum_iH_iH_i'$ は $V_\mu$ の上で $(\mu,\mu)$ 倍である。$\alpha\in-\Phi^+$ なら $f_\alpha\in\mathfrak{g}_{-\alpha}$ は正のルートのルート空間の元で、極大ベクトル $v$ を $0$ に写す。$\alpha\in\Phi^+$ なら $e_\alpha f_\alpha v=f_\alpha e_\alpha v+h_\alpha v=\lambda(h_\alpha)v$ である。余ルートの式から $\frac{(\alpha,\alpha)}{2}\lambda(h_\alpha)=(\lambda,\alpha)$ なので$$c=(\lambda,\lambda)+\sum_{\alpha\in\Phi^+}(\lambda,\alpha)=(\lambda,\lambda+2\rho)=c_\lambda$$である。

跡の計算：$\Omega$ の各項は $V_\mu$ を保つ。$V_\mu$ の上の跡をとると、左辺は $c_\lambda n_\mu$、$\sum_iH_iH_i'$ の項は $(\mu,\mu)n_\mu$、$e_\alpha f_\alpha$ の項は lem-wcf-weights の 3 により $\frac{(\alpha,\alpha)}{2}\sum_{i\ge0}(\mu+i\alpha)(h_\alpha)n_{\mu+i\alpha}=\sum_{i\ge0}(\mu+i\alpha,\alpha)n_{\mu+i\alpha}$ である。$\square$

どれも両辺が各変数について線形なので、$f=\mathbf{e}^\mu$、$g=\mathbf{e}^\nu$、$k=\mathbf{e}^\xi$ で確かめればよい。1 は $(\mu+\nu,\xi)=(\mu,\xi)+(\nu,\xi)$ と $(\mu,0)=0$、2 は $(\mu+\nu,\mu+\nu)=(\mu,\mu)+2(\mu,\nu)+(\nu,\nu)$ による。3 は $W$ が $(\ ,\ )$ を保つので $(w\mu,w\mu)=(\mu,\mu)$ となることによる。$\square$

thm-wcf-main の分母公式は prop-wcf-denominator である。$n_\mu:=\dim V(\lambda)_\mu$、$\chi:=\operatorname{ch}V(\lambda)$、$c_\lambda$ を lem-wcf-casimir のとおりとし、$A_\rho\chi=A_{\lambda+\rho}$ を 4 段で示す。

段 1（関係式を群環で書く）：$\alpha\in\Phi$ について $s^\alpha_\mu:=\sum_{i\ge0}(\mu+i\alpha,\alpha)n_{\mu+i\alpha}$、$S_\alpha:=\sum_{\mu\in\Lambda}s^\alpha_\mu\mathbf{e}^\mu$ とおく。lem-wcf-weights の 3 と余ルートの式により $s^\alpha_\mu=\frac{(\alpha,\alpha)}{2}\operatorname{tr}(e_\alpha f_\alpha|_{V(\lambda)_\mu})$ なので、$s^\alpha_\mu\neq0$ となる $\mu$ はウェイトに限られ、$S_\alpha\in\mathbb{C}[\Lambda]$ である。lem-wcf-casimir は$$c_\lambda\chi=L(\chi)+\sum_{\alpha\in\Phi}S_\alpha$$と書ける。$(\mathbf{e}^\alpha-1)S_\alpha$ の $\mathbf{e}^\mu$ の係数は $s^\alpha_{\mu-\alpha}-s^\alpha_\mu=(\mu-\alpha,\alpha)n_{\mu-\alpha}$ であり（2 つの和は $i\ge1$ の項と $i-1\ge0$ の項が打ち消し合う）、したがって$$(\mathbf{e}^\alpha-1)S_\alpha=\sum_\nu(\nu,\alpha)n_\nu\mathbf{e}^{\nu+\alpha}=Q(\chi,\mathbf{e}^\alpha)=Q(\chi,\mathbf{e}^\alpha-1)$$である（最後は lem-wcf-operators の 1 の $Q(\chi,1)=0$）。

段 2（分母を掛ける）：$P:=\prod_{\alpha\in\Phi}(\mathbf{e}^\alpha-1)$ とおく。関係式に $P$ を掛けると、各 $\alpha$ について $PS_\alpha=\prod_{\beta\neq\alpha}(\mathbf{e}^\beta-1)\cdot Q(\chi,\mathbf{e}^\alpha-1)$ であり、lem-wcf-operators の 1 の積の公式（$Q$ の対称性から第 2 変数についても成り立つ）を繰り返し使うと、その $\alpha$ についての和は $Q(\chi,P)$ になる。よって$$c_\lambda P\chi=P\,L(\chi)+Q(\chi,P)$$である。$\alpha\in\Phi^+$ について $(\mathbf{e}^\alpha-1)(\mathbf{e}^{-\alpha}-1)=-\mathbf{e}^\alpha(1-\mathbf{e}^{-\alpha})^2$ であり、$\sum_{\alpha\in\Phi^+}\alpha=2\rho$ なので、$D:=A_\rho$ とおくと分母公式から $P=(-1)^ND^2$ である。$Q(\chi,D^2)=2D\,Q(\chi,D)$ を使って $(-1)^ND$ をくくり出すと$$(-1)^ND\bigl(c_\lambda D\chi-D\,L(\chi)-2Q(\chi,D)\bigr)=0$$となる。$\mathbb{C}[\Lambda]$ は整域で $D\neq0$ なので（lem-wcf-lattice の 1、prop-wcf-denominator）、括弧の中は $0$ である。

段 3（固有ベクトルであること）：$F:=D\chi$ とおく。lem-wcf-operators の 2 と 3 から$$L(F)=L(D)\chi+2Q(D,\chi)+D\,L(\chi)=(\rho,\rho)F+c_\lambda F=(\lambda+\rho,\lambda+\rho)F$$である。よって $F=\sum_\nu f_\nu\mathbf{e}^\nu$ で $f_\nu\neq0$ なら $(\nu,\nu)=(\lambda+\rho,\lambda+\rho)$ である。

段 4（形を決める）：$\chi$ は $W$ 不変で（lem-wcf-weights の 2）$D$ は交代的なので、$F$ は交代的である。$\nu$ を $f_\nu\neq0$ となる狭義支配的な元とする。$F=\sum_{w}\sum_\mu\operatorname{sgn}(w)n_\mu\mathbf{e}^{\mu+w\rho}$ なので、あるウェイト $\mu$ と $w\in W$ で $\nu=\mu+w\rho$ である。$\theta:=\nu-\rho$ とおくと、$\theta(h_i)=\nu(h_i)-1\ge0$ なので $(\theta,\alpha_i)\ge0$ である。また $\theta=\mu-(\rho-w\rho)$ で、$w\rho\preceq\rho$（lem-wcf-lattice の 4）と $\mu\preceq\lambda$（最高ウェイト の定理「最高ウェイトの定理」の 1）から $\theta\preceq\lambda$ である。$\lambda-\theta=\sum_ic_i\alpha_i$（$c_i\ge0$）と書くと、$2(\rho,\alpha_i)=(\alpha_i,\alpha_i)$（lem-wcf-lattice の 3）から$$(\lambda+\rho,\lambda+\rho)-(\nu,\nu)=(\lambda+\theta+2\rho,\lambda-\theta)=\sum_ic_i\bigl((\lambda,\alpha_i)+(\theta,\alpha_i)+(\alpha_i,\alpha_i)\bigr)\ge\sum_ic_i(\alpha_i,\alpha_i)$$である。段 3 により左辺は $0$ なので、すべての $c_i$ が $0$ で、$\nu=\lambda+\rho$ である。

$f_{\lambda+\rho}$ を求める。$\mu+w\rho=\lambda+\rho$ となるのは $\mu=\lambda+(\rho-w\rho)\succeq\lambda$ のときで、$\mu$ がウェイトなら $\mu\preceq\lambda$ でもあるから $\mu=\lambda$、$w\rho=\rho$ であり、lem-wcf-lattice の 3 により $w=1$ である。よって $f_{\lambda+\rho}=n_\lambda=1$ である。lem-wcf-alternating の 2 により $F=A_{\lambda+\rho}$ であり、$A_\rho\chi=A_{\lambda+\rho}$ が示された。$\square$

$\xi\in\Lambda$ について、環の準同型 $\Psi_\xi\colon\mathbb{C}[\Lambda]\to\mathbb{C}[\![t]\!]$ を $\Psi_\xi(\mathbf{e}^\mu):=\exp((\mu,\xi)t)$ で定める（$\exp(at)\exp(bt)=\exp((a+b)t)$ なので準同型である）。$\mu,\xi\in\Lambda$ について、$(w\mu,\xi)=(\mu,w^{-1}\xi)$ と $\operatorname{sgn}(w^{-1})=\operatorname{sgn}(w)$ から$$\Psi_\xi(A_\mu)=\sum_w\operatorname{sgn}(w)\exp((\mu,w^{-1}\xi)t)=\Psi_\mu(A_\xi)$$である。分母公式と $(\rho,\mu)=\sum_{\alpha\in\Phi^+}(\alpha,\mu)/2$ から$$\Psi_\mu(A_\rho)=\prod_{\alpha\in\Phi^+}\Bigl(\exp\tfrac{(\alpha,\mu)t}{2}-\exp\bigl(-\tfrac{(\alpha,\mu)t}{2}\bigr)\Bigr)=\Bigl(\prod_{\alpha\in\Phi^+}(\alpha,\mu)\Bigr)t^N+(t^{N+1}\text{ 以上の項})$$である。thm-wcf-main の等式に $\Psi_\rho$ を当てると $\Psi_\rho(A_\rho)\Psi_\rho(\chi)=\Psi_\rho(A_{\lambda+\rho})=\Psi_{\lambda+\rho}(A_\rho)$ である。$\Psi_\rho(\chi)$ の定数項は $\sum_\mu n_\mu=\dim V(\lambda)$ なので、$t^N$ の係数を比べて $\prod_{\alpha}(\alpha,\rho)\cdot\dim V(\lambda)=\prod_\alpha(\alpha,\lambda+\rho)$ を得る。$(\alpha,\rho)>0$（lem-wcf-lattice の 3）で割ればよい。$\square$

$\alpha\in\Phi^+$ を固定する。$s_\alpha$ は列 $\mu+\mathbb{Z}\alpha$ をそれ自身に写す対合で、$(s_\alpha\nu,\alpha)=-(\nu,\alpha)$、$n_{s_\alpha\nu}=n_\nu$（lem-wcf-weights の 2）なので、$\sum_{j\in\mathbb{Z}}(\mu+j\alpha,\alpha)n_{\mu+j\alpha}=0$ である。lem-wcf-casimir の $-\alpha$ の項は $\sum_{i\ge0}(\mu-i\alpha,-\alpha)n_{\mu-i\alpha}=-\sum_{j\le0}(\mu+j\alpha,\alpha)n_{\mu+j\alpha}=\sum_{j\ge1}(\mu+j\alpha,\alpha)n_{\mu+j\alpha}$ である。$\alpha$ の項と足すと $(\mu,\alpha)n_\mu+2\sum_{i\ge1}(\mu+i\alpha,\alpha)n_{\mu+i\alpha}$ になる。$\alpha\in\Phi^+$ について足し、$(\mu,\mu)+(\mu,2\rho)=(\mu+\rho,\mu+\rho)-(\rho,\rho)$ を使えば等式を得る。

係数の正値性：ウェイト $\mu$ について、$u\mu$ が $\overline{C}$ に入る $u\in W$ をとり（Weylの部屋 の定理「Weyl群と部屋」の 3）、$\mu'':=u\mu$ とおく。$\mu''$ もウェイトで（lem-wcf-weights の 2）、$(\mu'',\alpha_i)\ge0$ である。lem-wcf-lattice の 4 により $\mu=u^{-1}\mu''\preceq\mu''$ なので $(\mu,\rho)\le(\mu'',\rho)$ で、$\mu\neq\mu''$ なら不等号は狭義である（$\rho$ と単純ルートの内積は正）。$(\mu,\mu)=(\mu'',\mu'')$ なので $(\mu+\rho,\mu+\rho)\le(\mu''+\rho,\mu''+\rho)$ である。さらに $\mu''\preceq\lambda$（最高ウェイト の定理「最高ウェイトの定理」の 1）なので、prf-thm-wcf-main の段 4 の不等式を $\theta=\mu''$ に当てると $(\mu''+\rho,\mu''+\rho)\le(\lambda+\rho,\lambda+\rho)$ で、等号は $\mu''=\lambda$ のときだけである。よって $\mu\neq\lambda$ なら係数は正である。$\square$