完全交叉局所環のGorenstein性
概要
完全交叉局所環のGorenstein性（Gorenstein property of complete intersections）とは、完備化が正則局所環を正則列で割った商として書けるネーター局所環 $A$ は、環自身の入射次元が有限なGorenstein局所環であり、したがってCohen–Macaulay局所環であるという定理である。さらに $\operatorname{id}_AA=\dim A$ で、剰余体 $k$ との $\operatorname{Ext}^i_A(k,A)$ は $i=\dim A$ でだけ $k$ に同型になる。証明の要は、非零因子 $x$ で割ると環の入射次元が有限のまま 1 つ以上下がるという補題で、正則局所環の入射次元が次元に等しいことと、完備化からの降下とを組み合わせる。逆は成り立たず、Gorensteinだが完全交叉でない零次元の局所環がある。
前提知識: 完全交叉局所環, Gorenstein環, 入射次元, Ext関手, 正則局所環
ネーター局所環の性質には、強い順に「正則」「完全交叉」「Gorenstein」「Cohen–Macaulay」という段階がある。この記事の主題は、そのうちの真ん中の含意、すなわち完全交叉局所環はGorenstein局所環であり、したがってCohen–Macaulay局所環であるという定理（thm-cig-main）である。
完全交叉局所環は、完備化が正則局所環を正則列で割った商として書ける環であり、Gorenstein環は環自身の入射次元が有限な環である。この二つは見かけがまったく違う条件だが、「非零因子で 1 つ割るごとに、環の入射次元は有限のまま 1 つ以上下がる」という一つの補題（lem-cig-rees）がその間をつなぐ。証明は次の 3 段からなる。
- 正則局所環 $Q$ は自己入射次元 $\dim Q$ をもつ（prop-cig-regular）。
- 正則列の元で 1 つずつ割ると、自己入射次元は有限のまま少なくとも 1 つずつ下がる（lem-cig-rees）。
- 完備化で有限なら元の環でも有限である（lem-cig-completion）。
同じ議論から、剰余体との $\operatorname{Ext}$ が次元の次数だけに 1 次元だけ現れることも分かり、これが Cohen–Macaulay 性と「型が 1」であることを与える。
用語と記号
環は単位元をもつ可換環とする。ネーター局所環を $(A,\mathfrak m,k)$ と書き、$\widehat A=\varprojlim_nA/\mathfrak m^n$ をその極大イデアル進完備化とする。
- 入射次元：加群 $M$ の入射次元 $\operatorname{id}_AM$ は、入射加群による長さ $n$ の分解 $0\to M\to I^0\to\cdots\to I^n\to0$ が存在する最小の $n$ である（入射次元 の定義「入射次元」）。
- Gorenstein：ネーター局所環 $A$ が Gorenstein であるとは、$\operatorname{id}_AA<\infty$ であることをいう（Gorenstein環 の定義「Gorenstein環」）。
- 完全交叉：ネーター局所環 $A$ が 完全交叉局所環であるとは、正則局所環 $(Q,\mathfrak n)$ と $\mathfrak n$ の元からなる $Q$-正則列 $f_1,\ldots,f_c$ があって $\widehat A\cong Q/(f_1,\ldots,f_c)$ となることをいう（完全交叉局所環 の定義「完全交叉局所環」）。この表示を完全交叉の表示と呼ぶ。このとき $\dim A=\dim Q-c$ である（同じ記事の命題「方程式数と次元」）。
$\operatorname{Ext}$ は第 1 変数の射影分解で計算しても、第 2 変数の入射分解で計算しても同じ値になる（Ext関手 の命題「射影計算と入射計算の一致」）。以下ではこの二つの計算を自由に行き来する。入射次元は $\operatorname{Ext}$ で判定できる。
入射次元の判定（入射次元 の定理「Ext による入射次元の判定」）：環 $A$、加群 $M$、$n\ge0$ について、$\operatorname{id}_AM\le n$ であることと、すべてのイデアル $J$ について $\operatorname{Ext}^{n+1}_A(A/J,M)=0$ であることは同値である。また $\operatorname{id}_AM\le n$ なら、すべての加群 $N$ と $i>n$ について $\operatorname{Ext}^i_A(N,M)=0$ である。
非零因子で割ると入射次元が下がる
証明の中心は次の補題である。$x$ が非零因子なら、$R/xR$ の入射分解は $R$ の入射分解の「$x$ で消される部分」から、最初の 1 項を切り落として作れる。
$R$ を可換環、$x\in R$ を非零因子かつ非単元とし、$B=R/xR$ とおく（$B\neq0$）。
- 任意の $B$ 加群 $N$ について $\operatorname{Hom}_R(N,R)=0$ であり、すべての $i\ge0$ について $R$ 加群の同型
$$\operatorname{Ext}^{i+1}_R(N,R)\cong\operatorname{Ext}^i_B(N,B)$$
がある。 - $\operatorname{id}_RR=n<\infty$ なら $n\ge1$ であり、$\operatorname{id}_BB\le n-1$ である。
要点：$0\to R\xrightarrow{x}R\to B\to0$ から $\operatorname{Ext}^j_R(B,R)$ は $j=1$ でだけ $B$ に等しい。$R$ の入射分解 $E^\bullet$ の「$x$ で消される部分」$X^j=\{e\in E^j:xe=0\}$ は入射 $B$ 加群の複体で、コホモロジーは $\operatorname{Ext}^j_R(B,R)$ である。$H^0=0$ なので最初の項 $X^0$ は $X^1$ の直和因子として切り離せ、残りを 1 つずらすと $B$ の入射分解になる。
詳しい証明を開く
$\operatorname{Ext}_R(B,R)$ の計算。 $x$ が非零因子なので $0\to R\xrightarrow{x}R\to B\to0$ は $B$ の自由分解である。$\operatorname{Hom}_R(-,R)$ を施すと複体 $R\xrightarrow{x}R$（次数 $0,1$）を得るので、$\operatorname{Ext}^0_R(B,R)=0$、$\operatorname{Ext}^1_R(B,R)\cong R/xR=B$、$j\ge2$ で $\operatorname{Ext}^j_R(B,R)=0$ である。
$x$ で消される部分の複体。 $R$ の入射分解 $0\to R\to E^0\to E^1\to\cdots$ をとる（$\operatorname{id}_RR=n$ なら長さ $n$ のものをとる）。$X^j=\{e\in E^j:xe=0\}$ は $B$ 加群で、微分は $X^j$ を $X^{j+1}$ に写す。$N$ が $B$ 加群なら、$R$ 線形写像 $N\to E^j$ の像は $x$ で消され、$B$ 加群の間の $R$ 線形写像は $B$ 線形なので、等式 $\operatorname{Hom}_B(N,X^j)=\operatorname{Hom}_R(N,E^j)$ が成り立つ（以下これを (∗) と呼ぶ）。$B$ 加群の単射 $U\subset V$ に対し $\operatorname{Hom}_R(V,E^j)\to\operatorname{Hom}_R(U,E^j)$ は $E^j$ の入射性から全射なので、(∗) により $X^j$ は入射 $B$ 加群である。(∗) を $N=B$ に使うと $X^\bullet=\operatorname{Hom}_R(B,E^\bullet)$ であり、そのコホモロジーは $\operatorname{Ext}^j_R(B,R)$ である。よって $H^0(X^\bullet)=0$、$H^1(X^\bullet)\cong B$、$j\ge2$ で $H^j(X^\bullet)=0$ である。$H^1$ の同型は $x$ で消される加群の間の $R$ 線形同型なので $B$ 線形でもある。
最初の項を切り落とす。 $H^0=0$ より $d^0\colon X^0\to X^1$ は単射で、$X^0$ は入射的だから像 $D=d^0(X^0)$ は直和因子であり、$X^1=D\oplus T$ となる $B$ 部分加群 $T$ がとれる。$d^1$ は $D$ 上で零である。$J^0=T$、$i\ge1$ で $J^i=X^{i+1}$ とおき、$J^0\to J^1$ を $d^1|_T$、その先を $X^\bullet$ の微分とする。$D\subset\ker d^1$ だから $\ker d^1=D\oplus(\ker d^1\cap T)$ であり、$\ker(d^1|_T)\cong\ker d^1/D=H^1(X^\bullet)\cong B$ である。$d^1(X^1)=d^1(T)$ なので、$J^\bullet$ の正の次数のコホモロジーは $j\ge2$ の $H^j(X^\bullet)$ に等しく零である。$T$ は入射加群の直和因子なので入射的である。以上で $0\to B\to J^0\to J^1\to\cdots$ は $B$ の入射 $B$ 分解である。
1 の証明。 $X^\bullet$ は、次数 $0,1$ に置いた同型 $X^0\to D$ だけからなる複体 $C^\bullet$ と、$J^\bullet$ を次数 $1$ だけずらした複体との直和に、微分も込めて分解する。$B$ 加群 $N$ に対し $\operatorname{Hom}_B(N,C^\bullet)$ はコホモロジーをもたないので、(∗) と入射分解による $\operatorname{Ext}$ の計算から $\operatorname{Ext}^{i+1}_R(N,R)=H^{i+1}\operatorname{Hom}_B(N,X^\bullet)=H^i\operatorname{Hom}_B(N,J^\bullet)=\operatorname{Ext}^i_B(N,B)$ となる。各段の同一視は $R$ 線形である。$\operatorname{Hom}_R(N,R)=0$ は、$f\colon N\to R$ について $xf(u)=f(xu)=0$ と $x$ が非零因子であることから $f(u)=0$ となることによる。
2 の証明。 $E^\bullet$ を長さ $n$ にとると、$j\gt n$ で $X^j=0$ だから $i\ge n$ で $J^i=0$ であり、$\operatorname{id}_BB\le n-1$ である。$n=0$ なら $X^1=0$ となり $H^1(X^\bullet)\cong B\neq0$ に反するので、$n\ge1$ である。$\square$
この補題は Mat89 §18 Lemma 2 (i)（p. 140）で、$M=A$ とした場合にあたる。そこでは $\operatorname{Ext}^{\bullet+1}_R(-,R)$ が $\operatorname{Hom}_B(-,B)$ の導来関手であることを確かめる形で証明されている。上の証明は入射分解を直接切り落とすので、入射次元の評価（2）まで同時に得られる。
補題の 2 は、$R$ がネーター局所環なら「$R$ がGorensteinなら $R/xR$ もGorenstein」と読める。逆向き（$R/xR$ がGorensteinなら $R$ もGorenstein）も成り立つが、こちらは有限生成加群の $\operatorname{Ext}$ への中山の補題を要する（Gorenstein環 の定理「非零因子による商の同値性」）。主定理には順向きだけを使う。
正則局所環の自己入射次元
$(Q,\mathfrak n,k)$ を $d$ 次元の正則局所環とする。このとき $\operatorname{id}_QQ=d$ であり、
$$\operatorname{Ext}^j_Q(k,Q)\cong\begin{cases}k&(j=d),\\0&(j\neq d)\end{cases}$$
が $Q$ 加群の同型として成り立つ。とくに正則局所環はGorensteinである。
上界。 Serreの判定法(正則性) の定理「Serreの判定法」により $\operatorname{gldim}Q=d$ である。とくにすべてのイデアル $J$ について $\operatorname{pd}_Q(Q/J)\le d$ であり、$\operatorname{Ext}^{d+1}_Q(Q/J,Q)=0$ となる。入射次元の判定により $\operatorname{id}_QQ\le d$ である。
剰余体との Ext。 正則パラメータ系 $x_1,\ldots,x_d$ は $Q$-正則列であり（正則局所環 の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」）、$Q_i=Q/(x_1,\ldots,x_i)$ とおくと $Q_d=k$ である。$x_{i+1}$ の像は $Q_i$ の非零因子かつ非単元で、$k$ はどの $Q_i$ の上でも $x_{i+1}$ に消される。そこで lem-cig-rees の 1 を $Q_0,Q_1,\ldots$ に順に当てる。$j\ge d$ なら
$$\operatorname{Ext}^j_Q(k,Q)\cong\operatorname{Ext}^{j-1}_{Q_1}(k,Q_1)\cong\cdots\cong\operatorname{Ext}^{j-d}_k(k,k)$$
であり、右辺は $j=d$ で $\operatorname{Hom}_k(k,k)=k$、$j\gt d$ で $0$ である。$j< d$ なら $j$ 回当てると $\operatorname{Hom}_{Q_j}(k,Q_j)$ に達し、これは同じ補題の 1 の前半により零である。各同型は $Q$ 線形である。
下界。 $\operatorname{Ext}^d_Q(k,Q)\neq0$ なので、入射次元の判定の後半により $\operatorname{id}_QQ\ge d$ である。$\square$
$d=0$ のとき $Q$ は体で、体はそれ自身の上で入射的である。$d=1$ の例として $Q=k[\![t]\!]$ では、入射分解は $0\to k[\![t]\!]\to k(\!(t)\!)\to k(\!(t)\!)/k[\![t]\!]\to0$ で与えられ（単項イデアル整域上では可除加群が入射的である。Baerの判定法 の例「単項イデアル整域上の可除加群」）、長さはちょうど $1$ である。
完備化から元の環へ
完全交叉の条件は完備化 $\widehat A$ について述べられているので、最後に $\widehat A$ から $A$ へ戻る必要がある。
$(A,\mathfrak m,k)$ をネーター局所環とする。
- 有限生成 $A$ 加群 $M$ とすべての $i\ge0$ について、$\widehat A$ 加群の同型
$$\operatorname{Ext}^i_A(M,A)\otimes_A\widehat A\cong\operatorname{Ext}^i_{\widehat A}(M\otimes_A\widehat A,\widehat A)$$
がある。 - $\operatorname{id}_{\widehat A}\widehat A\le n$ なら $\operatorname{id}_AA\le n$ である。
- すべての $i$ について $\operatorname{Ext}^i_A(k,A)$ と $\operatorname{Ext}^i_{\widehat A}(k,\widehat A)$ は同じ次元の $k$ ベクトル空間である。
要点：$\widehat A$ は $A$ 上忠実平坦である（完備化 の定理「Noether 環の完備化は平坦」）。有限階数の自由分解に平坦な基底変換を施すと $\operatorname{Hom}$ 複体の基底変換になり、平坦性がコホモロジーと交換する。2 はこれを $M=A/J$ に当て、忠実平坦性と入射次元の判定を使う。
詳しい証明を開く
1：$A$ はネーター環なので、$M$ は各項が有限階数の自由加群である自由分解 $P_\bullet\to M$ をもつ。平坦性により $P_\bullet\otimes_A\widehat A$ は $M\otimes_A\widehat A$ の自由分解である。$\operatorname{Hom}_A(A^r,A)\otimes_A\widehat A=\widehat A^r=\operatorname{Hom}_{\widehat A}(\widehat A^r,\widehat A)$ であり、微分はどちらも同じ行列の転置なので、複体として $\operatorname{Hom}_A(P_\bullet,A)\otimes_A\widehat A\cong\operatorname{Hom}_{\widehat A}(P_\bullet\otimes_A\widehat A,\widehat A)$ となる。平坦な加群とのテンソル積は核と像を保つので、左辺のコホモロジーは $\operatorname{Ext}^i_A(M,A)\otimes_A\widehat A$、右辺のコホモロジーは $\operatorname{Ext}^i_{\widehat A}(M\otimes_A\widehat A,\widehat A)$ である。
2：イデアル $J$ に 1 を当てると、$(A/J)\otimes_A\widehat A=\widehat A/J\widehat A$ だから $\operatorname{Ext}^{n+1}_A(A/J,A)\otimes_A\widehat A\cong\operatorname{Ext}^{n+1}_{\widehat A}(\widehat A/J\widehat A,\widehat A)=0$ である。忠実平坦性から $\operatorname{Ext}^{n+1}_A(A/J,A)=0$ であり、入射次元の判定により $\operatorname{id}_AA\le n$ である。
3：$V=\operatorname{Ext}^i_A(k,A)$ は $\mathfrak m$ に消される有限生成加群なので $V\cong k^r$ と書ける。$k\otimes_A\widehat A=\widehat A/\mathfrak m\widehat A\cong k$（完備化 の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」の 3）だから $V\otimes_A\widehat A\cong k^r$ であり、1 によりこれが $\operatorname{Ext}^i_{\widehat A}(k,\widehat A)$ に等しい。$\square$
主定理
$(A,\mathfrak m,k)$ を完全交叉局所環とし、$n=\dim A$ とする。このとき次が成り立つ。
- $A$ はGorenstein局所環であり、$\operatorname{id}_AA=n$ である。
- $\operatorname{Ext}^i_A(k,A)\cong k$（$i=n$）、$\operatorname{Ext}^i_A(k,A)=0$（$i\neq n$）である。
- $A$ はCohen–Macaulay局所環であり、$\operatorname{depth}A=\dim A$ である。
さらに $\widehat A\cong Q/(f_1,\ldots,f_c)$ を完全交叉の表示とすると、任意の $\widehat A$ 加群 $N$ と $i\ge0$ について
$$\operatorname{Ext}^i_{\widehat A}(N,\widehat A)\cong\operatorname{Ext}^{i+c}_Q(N,Q)$$
が成り立つ。
完全交叉の表示 $\widehat A\cong Q/(f_1,\ldots,f_c)$ を固定し、$d=\dim Q$ とおく。$H=\widehat A$ と書き、$i=0,1,\ldots,c$ について
$$R_i=Q/(f_1,\ldots,f_i)$$
とおく。$R_0=Q$、$R_c=H$ である。$f_j$ はどれも $\mathfrak n$ に入るので、$R_i$ は非零のネーター局所環である。$Q$-正則列の定義により、$f_{i+1}$ の $R_i$ での像は非零因子であり、極大イデアルに入るので非単元である。
入射次元を下げる。 prop-cig-regular により $\operatorname{id}_{R_0}R_0=d$ である。lem-cig-rees の 2 を $R_0,R_1,\ldots,R_{c-1}$ に順に当てると、各段で自己入射次元は有限のまま 1 以上下がるので
$$\operatorname{id}_HH\le d-c$$
を得る。$H$ 加群 $N$ はどの $R_i$ の上でも $f_{i+1}$ に消される加群なので、lem-cig-rees の 1 を順に当てて
$$\operatorname{Ext}^i_H(N,H)\cong\operatorname{Ext}^{i+1}_{R_{c-1}}(N,R_{c-1})\cong\cdots\cong\operatorname{Ext}^{i+c}_Q(N,Q)$$
となる。これが最後の主張である。
剰余体との Ext。 $H$ の剰余体は $k$ で、$Q$ の剰余体でもある。上の同型を $N=k$ に当て、prop-cig-regular を使うと、$\operatorname{Ext}^i_H(k,H)\cong\operatorname{Ext}^{i+c}_Q(k,Q)$ は $i+c=d$ のときだけ $k$ で、それ以外は零である。完全交叉局所環 の命題「方程式数と次元」により $n=\dim A=d-c$ だから、これは $i=n$ のときだけ $k$ ということである。lem-cig-completion の 3 により、$A$ についても $\operatorname{Ext}^i_A(k,A)$ は $i=n$ で 1 次元、それ以外で零である。これが 2 である。
$A$ の入射次元。 lem-cig-completion の 2 と $\operatorname{id}_HH\le d-c=n$ から $\operatorname{id}_AA\le n$ である。とくに $A$ はGorensteinである。一方 $\operatorname{Ext}^n_A(k,A)\neq0$ なので、入射次元の判定の後半により $\operatorname{id}_AA\ge n$ である。これで 1 が示された。
Cohen–Macaulay 性。 ネーター局所環の深さは、剰余体との $\operatorname{Ext}$ が最初に零でなくなる次数で読める：$\operatorname{depth}A=\min\{i:\operatorname{Ext}^i_A(k,A)\neq0\}$（Cohen–Macaulay環 の補題「イデアルの深さを Ext で読む」をイデアル $\mathfrak m$ に当てたもの）。2 によりこの最小値は $n=\dim A$ であり、$A$ はCohen–Macaulayである。
$c=0$（$\widehat A$ 自身が正則）の場合や $n=0$ の場合も、以上の議論にそのまま含まれる。$\square$
Mat89 Theorem 21.3（p. 171）は同じ定理を、「$A$ が完全交叉なら $\widehat A$ も完全交叉で、$\widehat A$ がGorensteinなら $A$ もGorensteinなので完備な場合に帰着でき、Gorenstein 局所環を正則列で割った商は Gorenstein である（§18 の演習 18.1、p. 152）」という形で示している。上の証明はその二つの段を lem-cig-rees と lem-cig-completion で記事の中で完結させたものである。
主定理の 2 は、深さ $n$ での $\operatorname{Ext}^n_A(k,A)$ の次元、すなわち $A$ の型が $1$ であることを述べている。とくに $n=0$（Artin 局所環）のときは $\operatorname{Ext}^0_A(k,A)=\operatorname{Hom}_A(k,A)$ が ソクル $\operatorname{Soc}A=\{a\in A:\mathfrak ma=0\}$ と同一視されるので、零次元の完全交叉局所環のソクルは 1 次元である。
証明の第 1 段は正則局所環の性質を一つしか使っていない。すなわち「$\operatorname{id}_QQ<\infty$」である。したがって同じ議論で、Gorenstein 局所環 $Q$ を極大イデアルに含まれる $Q$-正則列で割った商は Gorenstein であることも示される（Mat89 演習 18.1 の一方向）。
正則列 $f_1,\ldots,f_c$ の Koszul複体 は $Q/(f_1,\ldots,f_c)$ の長さ $c$ の自由分解であり、その双対複体は（符号を除いて）同じ Koszul 複体を逆順に並べたものになる。このことから $\operatorname{Ext}^j_Q(Q/(f),Q)$ は $j=c$ でだけ $Q/(f)$ に同型で、それ以外は零であることが一度に分かる。上の証明は $c$ 個の元を一つずつ割ることで、この計算を $c=1$ の場合（$0\to Q\xrightarrow{f}Q\to Q/fQ\to0$）だけに帰着させている。
例
以下 $k$ は体である。
正則局所環 $Q$ の極大イデアルの零でない元 $f$ に対し、$A=Q/(f)$ は完全交叉局所環である（正則局所環 の命題「正則局所環は整域」により $f$ は非零因子で、完全交叉局所環 の命題「正則局所環の商の局所化」を極大イデアルに当てればよい）。したがって $A$ はGorensteinかつCohen–Macaulayで、$\operatorname{id}_AA=\dim Q-1$ である。たとえば節点 $k[\![x,y]\!]/(xy)$ や尖点 $k[\![x,y]\!]/(y^2-x^3)$ は 1 次元のGorenstein局所環であり、どちらも正則ではない（方程式が $(x,y)^2$ に入るので極大イデアルの最小生成元は 2 個、次元は 1）。このような環は 超曲面局所環 と呼ばれる。
$A=k[\![x,y]\!]/(x^2,y^2)$ は、正則列 $x^2,y^2$ による商なので完全交叉局所環である（$x^2,y^2$ が正則列であることは 完全交叉局所環 の例「二つの方程式：零次元の例」）。$A$ は $1,x,y,xy$ を $k$ 基底とする 4 次元の Artin 局所環である。主定理の 2 を直接確かめる。$u=a+bx+cy+e\,xy$ について
$$xu=ax+c\,xy,\qquad yu=ay+b\,xy$$
だから、$\mathfrak mu=0$ となるのは $a=b=c=0$ のときに限る。よって $\operatorname{Soc}A=k\cdot xy$ は 1 次元である。$\operatorname{Hom}_A(k,A)\cong\operatorname{Soc}A$ なので、$\operatorname{Ext}^0_A(k,A)\cong k$ となり、$n=\dim A=0$ での主定理の 2 と一致する。$A$ は自分自身の上で入射的である（$\operatorname{id}_AA=0$）。
反例：含意の逆と条件を外した場合
主定理は、ネーター局所環の 4 つの条件の間の含意の鎖
$$\text{正則}\Longrightarrow\text{完全交叉}\Longrightarrow\text{Gorenstein}\Longrightarrow\text{Cohen–Macaulay}$$
の真ん中の段である。最初の含意は、正則局所環の完備化がまた正則局所環であること（完全交叉局所環 の系「正則局所環の完成は正則」）から、$Q=\widehat A$ と空の正則列（$c=0$）をとればよいことによる。最後の含意は一般のGorenstein局所環で成り立つ（Mat89 Theorem 18.1、pp. 141–143。この記事では証明しない）。どの含意も逆は成り立たない。
| 含意 | 逆が成り立たない例 | 理由 |
|---|---|---|
| 正則 ⇒ 完全交叉 | $k[\![x,y]\!]/(xy)$ | 完全交叉（超曲面）だが、埋め込み次元 2 が次元 1 より大きい |
| 完全交叉 ⇒ Gorenstein | $k[\![x,y,z]\!]/(x^2-y^2,\,y^2-z^2,\,xy,\,yz,\,zx)$ | ex-cig-gor-not-ci |
| Gorenstein ⇒ Cohen–Macaulay | $k[\![x,y]\!]/(x,y)^2$ | 零次元なので CM だが、ソクル $kx\oplus ky$ が 2 次元 |
最後の行は、Gorenstein環 の注意「CMであってもGorensteinとは限らない」で確かめられている。零次元のネーター局所環がGorensteinであることとソクルが 1 次元であることは同値である（Gorenstein環 の定理「Artin局所環のソクル判定」）。
$P=k[\![x,y,z]\!]$、$I=(x^2-y^2,\ y^2-z^2,\ xy,\ yz,\ zx)$、$D=P/I$ とする（同じ形の環が Mat89 §21 の演習 21.3、p. 172 にある）。$D$ では異なる 2 変数の積は零で、$x^2=y^2=z^2$ である。この共通の値を $t$ と書く。
基底。 3 次の単項式は異なる変数の積を含むか、$x^3=x\cdot y^2=(xy)y=0$ のように零になる（$y^3$、$z^3$ も同様）。したがって $D$ は $1,x,y,z,t$ で張られる。これらが一次独立であることは、次の 5 次元の $k$ 代数 $V$ へ写して確かめる。
一次独立であることの確かめ
$V=k1\oplus kx\oplus ky\oplus kz\oplus kt$ に、$1$ を単位元とし、$x^2=y^2=z^2=t$、異なる $x,y,z$ どうしの積を零、$t$ と $x,y,z,t$ の積を零とする双線形な積を入れる。これは可換であり、結合的でもある：3 つの基底元のうち 1 つが $1$ なら単位元の規則で両辺が一致し、どれも $1$ でなければ 2 つの積は $0$ か $t$ で、それにもう 1 つの非単位の基底元を掛けると零なので、どちらの括弧づけでも零になる。$V$ では $x,y,z$ の 3 次の積がすべて零なので、多項式環からの代入 $k[x,y,z]\to V$ は $(x,y,z)^3$ を零に送り、$P\to P/(x,y,z)^3\cong k[x,y,z]/(x,y,z)^3\to V$ という環準同型を与える。$I$ の 5 つの生成元はこれで零に送られるので、$D\to V$ が得られる。この写像は $1,x,y,z,t$ を $V$ の基底に送るから、$D$ でもこれらは一次独立である。
Gorenstein であること。 $u=a+bx+cy+e z+ft$ について
$$xu=ax+bt,\qquad yu=ay+ct,\qquad zu=az+et$$
である（$xt=x^3=0$ などを使った）。$\mathfrak m_Du=0$ となるのは $a=b=c=e=0$ のときに限るので、$\operatorname{Soc}D=k\cdot t$ は 1 次元である。零次元なので、Artin 局所環のソクル判定により $D$ はGorensteinである。
完全交叉でないこと。 $I$ の 5 つの生成元は 2 次で、その像は $\mathfrak n^2/\mathfrak n^3$（$\mathfrak n=(x,y,z)$。2 次の単項式 6 個が基底）の中で一次独立である。よって $I$ の最小生成元数は $\mu(I)=5$、$I\subset\mathfrak n^2$ より $D$ の埋め込み次元は $3$ である。Koszulホモロジーによる完全交叉の判定 の定理「方程式の数の公式」から $\varepsilon_1(D)=\mu(I)-\dim P+\operatorname{edim}D=5$ となり、同じ記事の定理「Koszulホモロジーによる完全交叉の判定」が完全交叉に求める $\varepsilon_1(D)=\operatorname{edim}D-\dim D=3$ と一致しない。よって $D$ は完全交叉局所環でない。
直観的には、完全交叉なら次元 0 の点を 3 次元の空間から「3 本の方程式」で切り出せるはずだが、$D$ にはどうしても 5 本の方程式が要る。それでもソクルは 1 次元で、Gorenstein性は保たれている。
主定理の仮定のうち 1 つだけを外すと、結論が崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 方程式が正則列であること（$Q$ は正則のまま） | $Q=k[\![x,y]\!]$、方程式 $x^2,\ xy$ | Gorenstein性とCM性（ex-cig-not-regular-sequence） |
| 割られる環 $Q$ が正則であること（正則列で割るのは同じ） | $Q=k[\![x,y,z]\!]/(x,y)^2$、正則な元 $z$ | Gorenstein性（CM性は残る。ex-cig-not-regular-source） |
$C=k[\![x,y]\!]/(x^2,xy)$ とする。$C$ の元は $g(y)+bx$（$g\in k[\![y]\!]$、$b\in k$）と一意に書け、極小素イデアルは $(x)$ の像だけなので $\dim C=1$ である（完全交叉局所環 の例「反例：方程式の数は余次元以上だが順に非零因子にならない」）。$xy$ は $k[\![x,y]\!]/(x^2)$ で $x$ を掛けると零になるので零因子であり、$x^2,xy$ は正則列でない。
$u=g(y)+bx$ について $xu=g(0)x$、$yu=yg(y)$ だから、$\mathfrak m_Cu=0$ となるのは $g=0$ のときに限り、$\operatorname{Soc}C=k\cdot x$ である。したがって $\operatorname{Hom}_C(k,C)\neq0$、すなわち $\operatorname{depth}C=0<1=\dim C$ で、$C$ はCohen–Macaulayでない。また $\operatorname{Ext}^0_C(k,C)\neq0$ かつ $\dim C=1$ なので、Gorenstein局所環の剰余体との $\operatorname{Ext}$ は次数 $\dim C$ にしか現れないこと（Gorenstein環 の定理「剰余体を使ったホモロジー的判定」）から、$C$ はGorensteinでもない。主定理の 3 の対偶から、$C$ は完全交叉局所環でもない。
$B_0=k[x,y]/(x,y)^2$（$k$ 基底 $1,x,y$）とし、$Q=k[\![x,y,z]\!]/(x,y)^2$ とおく。$Q$ の元は $\sum_{i\ge0}(a_i+b_ix+c_iy)z^i$ と一意に書けるので、$Q$ は $B_0$ 係数の冪級数環 $B_0[\![z]\!]$ と同一視できる。$z$ を掛けると係数が 1 つずれるだけなので、$z$ は $Q$ の非零因子であり、$z$ 1 つは $Q$-正則列である。しかし
$$Q/zQ\cong B_0=k[x,y]/(x,y)^2$$
のソクルは $kx\oplus ky$ で 2 次元なので、$Q/zQ$ はGorensteinでない（Artin 局所環のソクル判定）。$Q/zQ$ は零次元なので CM ではある。lem-cig-rees の 2 の対偶から、$Q$ 自身も $\operatorname{id}_QQ=\infty$ でGorensteinでない。割る前の環が正則（より一般にGorenstein）であるという仮定は、正則列だけでは補えない。
局所化と一般の環
完全交叉局所環の素イデアルでの局所化はまた完全交叉局所環であり（完全交叉性の局所化と平坦下降 の系「任意の素イデアルでの局所化」）、Gorenstein 局所環の局所化もGorensteinである（Gorenstein環 の命題「ネーター環の入射加群の局所化」）。ネーター環 $R$ のすべての素イデアルでの局所環が完全交叉局所環であるとき $R$ を局所完全交叉環というが、主定理を各局所環に当てれば、局所完全交叉環はGorenstein環であり、Cohen–Macaulay環である。たとえば体 $k$ 上の多項式環を正則列で割った環 $k[x_1,\ldots,x_m]/(f_1,\ldots,f_c)$ はこの形である（その素イデアルでの局所環は、正則局所環である多項式環の局所化を、局所化しても正則列のままの $f_1,\ldots,f_c$ で割ったものなので、完全交叉局所環 の命題「正則局所環の商の局所化」が当てはまる）。
関連項目
- 前提: 完全交叉局所環, Gorenstein環, 入射次元, Ext関手
- 基礎: 正則局所環, 正則列, Serreの判定法(正則性), 完備化
- 比較: Cohen–Macaulay環, 超曲面局所環, ソクル
- 発展: Koszulホモロジーによる完全交叉の判定, 完全交叉性の局所化と平坦下降, 完全交叉
参考文献
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