Hasse–Weilゼータ関数

$x$ を含むアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$（$A$ は環として有限生成）をとり、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{q}$ とする。

$x$ が $X$ の閉点なら $U$ の閉点でもあるので $\mathfrak{q}$ は極大イデアルであり、$\kappa(x)=A/\mathfrak{q}$ は環として有限生成な体である。Zariskiの補題 の命題「有限生成な環である体は有限体」により、$\kappa(x)$ は有限体である。

逆に $\kappa(x)$ が有限なら、整域 $A/\mathfrak{q}$ は $\kappa(x)$ の部分環なので有限集合である。有限な整域は体である（$0$ でない元 $a$ による掛け算は単射なので全射）から、$\mathfrak{q}$ は極大イデアルで、$x$ は $U$ の閉点である。この議論は $x$ を含むどのアフィン開集合でも成り立つ。$y$ を $\{x\}$ の閉包の点とし、$y$ を含むアフィン開集合 $V$ をとると、$V$ は $y$ の開近傍なので $x\in V$ であり、$x$ は $V$ の閉点だから $y=x$ である。よって $x$ は $X$ の閉点である（合同ゼータ関数 の補題「有限型スキームの閉点」と同じ議論）。$\square$

1：$x$ が $X$ の閉点なら、$x$ を含む $U_i$ の閉点でもある。$U_i=\operatorname{Spec}A$、$A=\mathbb{Z}[t_1,\dots,t_m]/I$ の閉点 $x$ で $N(x)=q$ となるものに、同型 $\kappa(x)\cong\mathbb{F}_q$ を 1 つ選んで準同型 $A\to\kappa(x)\cong\mathbb{F}_q$ を対応させる。その核は $x$ の極大イデアルなので、異なる $x$ には異なる準同型が対応する。準同型 $A\to\mathbb{F}_q$ は $t_1,\dots,t_m$ の像で決まるので $q^m$ 個以下である。$i$ について足せばよい。

2：$\sigma:=\operatorname{Re}s$ とする。1 より$$\sum_{x\in|X|}\bigl\lvert N(x)^{-s}\bigr\rvert\le N\sum_{q}q^{m-\sigma}\le N\sum_{n\ge2}n^{m-\sigma}$$（$q$ は素数冪を動く）であり、$\sigma>m+1$ なら右辺は有限である。$N(x)\ge2$ なので $\lvert N(x)^{-s}\rvert\le1/2$ であり、$\lvert z\rvert\le1/2$ のとき $\bigl\lvert\sum_{k\ge1}z^k/k\bigr\rvert\le\lvert z\rvert/(1-\lvert z\rvert)\le2\lvert z\rvert$ である。よって $\sum_x\sum_{k\ge1}N(x)^{-ks}/k$ は $\operatorname{Re}s\ge m+1+\delta$（$\delta>0$）で絶対かつ一様に収束し、正則関数の一様極限として正則である（Riemannゼータ関数 の補題「正則関数の一様極限」）。その $\exp$ が $\zeta_X(s)$ なので、$\zeta_X$ は正則で $0$ にならない。

3：各因子を $\sum_{k\ge0}N(x)^{-ks}$ と展開して掛け合わせると、閉点の形式和 $\sum_xn_xx$ ごとに項 $\prod_xN(x)^{-n_xs}$ がちょうど 1 回ずつ現れる。1 より $N(x)\le n$ となる閉点は有限個なので、$n$ を固定すると $\prod_xN(x)^{n_x}=n$ となる形式和は有限個である。絶対収束しているので、項を $n$ ごとにまとめてよい。$\square$

1：$\operatorname{Spec}\kappa(\mathfrak{p})\to\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$ は閉移入なので、その底変換 $X_{\mathfrak{p}}\to X$ も閉移入であり、アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A\subset X$ の上では $\operatorname{Spec}(A/\mathfrak{p}A)\to\operatorname{Spec}A$ である。$A/\mathfrak{p}A$ の素イデアルは、$\mathfrak{p}A$ を含む $A$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ と一対一に対応する。$\mathfrak{q}\cap\mathcal{O}_K$ は $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルで $\mathfrak{p}$ は極大なので、これは $f(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}$ となる $\mathfrak{q}$ の全体である。対応する点の剰余体はどちらも $A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{q}}$ である。閉移入は像への同相写像なので、前半が従う。

$x\in|X|$ とすると、lem-hwz-closed-point により $\kappa(x)$ は有限体である。$y:=f(x)$ の剰余体は $\kappa(x)$ に埋め込まれるので有限である。生成点の剰余体は無限体 $K$ なので、$y$ は生成点でなく、$0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ である。$x\in f^{-1}(\mathfrak{p})$ に対応する $X_{\mathfrak{p}}$ の点を $x'$ とすると $\kappa(x')\cong\kappa(x)$ である。$X$ も $X_{\mathfrak{p}}$ も $\mathbb{Z}$ 上有限型なので、lem-hwz-closed-point を両方に使うと、「$x$ が $X$ の閉点」「$\kappa(x)$ が有限」「$x'$ が $X_{\mathfrak{p}}$ の閉点」は互いに同値である。

2：$x'\in|X_{\mathfrak{p}}|$ の $\kappa(\mathfrak{p})$ 上の次数を $\deg x'$ とすると $N(x)=N\mathfrak{p}^{\deg x'}$ である。1 により Euler 積の因子を $\mathfrak{p}$ ごとにまとめてよく（絶対収束するので順序を変えてよい）、$$\zeta_X(s)=\prod_{\mathfrak{p}}\ \prod_{x'\in|X_{\mathfrak{p}}|}\frac{1}{1-(N\mathfrak{p}^{-s})^{\deg x'}}$$となる。合同ゼータ関数 の命題「Euler積表示」により、内側の積は形式的冪級数として $Z(X_{\mathfrak{p}},t)$ に等しい。係数が非負なので、積と冪級数は $\lvert t\rvert=N\mathfrak{p}^{-\operatorname{Re}s}$ で同時に絶対収束し、値も等しい。$\square$

1：閉点は $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ で、$N(x)=N\mathfrak{p}$ である。Dedekindゼータ関数 の定理「収束と Euler 積」の積と一致する。

2：$Y$ と $U$ も $\mathbb{Z}$ 上有限型である。$Y$ の点の剰余体は $X$ での剰余体と同じで、$U$ は開集合なので剰余体も同じである。lem-hwz-closed-point により閉点は剰余体だけで判定できるので、$|X|=|Y|\sqcup|U|$ であり、Euler 積が分かれる。

3：ファイバーは $X_{\mathfrak{p}}\times_{\kappa(\mathfrak{p})}\mathbb{A}^n_{\kappa(\mathfrak{p})}$ である。合同ゼータ関数 の命題「分解と積と底変換」の 2 により $Z(X_{\mathfrak{p}}\times\mathbb{A}^n,t)=Z(X_{\mathfrak{p}},N\mathfrak{p}^nt)$ であり、$t=N\mathfrak{p}^{-s}$ を代入すると $N\mathfrak{p}^{n-s}$ になる。thm-hwz-fibers の 2 で掛け合わせればよい。

4：前半は 1 と 3 による。$\mathbb{P}^n_{\mathcal{O}_K}$ は閉部分スキーム $\{x_0=0\}\cong\mathbb{P}^{n-1}_{\mathcal{O}_K}$ とその補集合 $\mathbb{A}^n_{\mathcal{O}_K}$ に分かれるので、2 と $n$ についての帰納法による（$\mathbb{P}^0_{\mathcal{O}_K}=\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$）。

5：閉点 $x$ の剰余体は $\mathbb{F}_q$ を含むので $N(x)=q^{\deg x}$（$\deg x:=[\kappa(x):\mathbb{F}_q]$）であり、$\zeta_X(s)=\prod_x(1-(q^{-s})^{\deg x})^{-1}$ である。合同ゼータ関数 の命題「Euler積表示」により、これは $Z(X,q^{-s})$ に等しい。$\square$

良い素数． $p\nmid N$ なら $\tilde E_p$ は $\mathbb{F}_p$ 上の楕円曲線で、合同ゼータ関数 の例「楕円曲線のゼータ関数」により $Z(\tilde E_p,t)=(1-a_pt+pt^2)/((1-t)(1-pt))$ である。

悪い素数． $p\mid N$ とし、$q:=p^r$（$r\ge1$）とする。$\tilde E_p$ は特異点をちょうど 1 つもち、それは $\mathbb{F}_p$ 有理点である（Tateのアルゴリズム の命題「特異点を原点に移す」）。特異点を原点に移すとアフィン部分は $y^2+a_1xy-a_2x^2=x^3$（係数は $\mathbb{F}_p$ の元）になる。楕円曲線のL関数 の命題「悪い素数での係数」の証明の数え方を、$\mathbb{F}_p$ の代わりに $\mathbb{F}_q$ で行う。傾き $\lambda\in\mathbb{F}_q$ の原点を通る直線は、$x=\lambda^2+a_1\lambda-a_2\ne0$ のときに限り原点以外の 1 点で曲線と交わり、原点以外のアフィンの点はすべて $x\ne0$ で、傾き $y/x$ で決まる。無限遠点は $[0:1:0]$ だけである。よって$$\#\tilde E_p(\mathbb{F}_q)=1+(q-r_q)+1=q+2-r_q$$（無限遠点、原点以外のアフィンの点、特異点）である。ここで $r_q$ は $\lambda^2+a_1\lambda-a_2$ の $\mathbb{F}_q$ での根の個数である。Tateのアルゴリズム の命題「乗法的還元の判定」により、この 2 次式の根は原点での接線の傾きであり、次の 3 通りがある。

• 分裂乗法的還元：$\mathbb{F}_p$ の異なる 2 根をもつので $r_q=2$、$\#\tilde E_p(\mathbb{F}_{p^r})=p^r$。
• 非分裂乗法的還元：$\mathbb{F}_p$ 上既約で 2 根は $\mathbb{F}_{p^2}$ にあるので $r_q=1+(-1)^r$、$\#\tilde E_p(\mathbb{F}_{p^r})=p^r+1-(-1)^r$。
• 加法的還元：重根をもつ。$p\ne2$ なら重根 $-a_1/2$ は $\mathbb{F}_p$ の元で、$p=2$ なら $a_1=0$ で $\lambda^2=a_2$ の根は $\mathbb{F}_2$ の元（有限体の上で 2 乗は全単射）なので、$r_q=1$、$\#\tilde E_p(\mathbb{F}_{p^r})=p^r+1$。

$\sum_rp^rt^r/r=-\log(1-pt)$、$\sum_rt^r/r=-\log(1-t)$、$\sum_r(-1)^rt^r/r=-\log(1+t)$ を使って $Z=\exp\sum_r\#\tilde E_p(\mathbb{F}_{p^r})t^r/r$ を計算すると、3 通りの順に$$Z(W_p,t)=\frac{1}{1-pt},\qquad\frac{1+t}{(1-t)(1-pt)},\qquad\frac{1}{(1-t)(1-pt)}$$となる。同じ命題「悪い素数での係数」により、それぞれ $a_p=1,-1,0$、すなわち $L_p(t)=1-t,\ 1+t,\ 1$ なので、主張の形である。

全体． 実数 $\sigma>2$ では、因子 $(1-p^{-\sigma})^{-1}$ と $(1-p^{1-\sigma})^{-1}$ の積はそれぞれ $\zeta(\sigma)$、$\zeta(\sigma-1)$ に収束し、Hasse の定理 $\lvert a_p\rvert\le2\sqrt p$（楕円曲線 の定理「Hasse の定理」）から $\sum_p\lvert L_p(p^{-s})-1\rvert\le\sum_p(2p^{1/2-\sigma}+p^{1-2\sigma})< \infty$ なので、$\prod_pL_p(p^{-s})$ は絶対収束して $1/L(E,s)$ に等しい。よって $\prod_pZ(W_p,p^{-\sigma})$ は有限であり、$\sum_x N(x)^{-\sigma}\le\sum_x\log(1-N(x)^{-\sigma})^{-1}=\log\prod_pZ(W_p,p^{-\sigma})$ から $\zeta_W$ の Euler 積も $\operatorname{Re}s>2$ で絶対収束する。thm-hwz-fibers の 2 により $\zeta_W(s)=\prod_pZ(W_p,p^{-s})$ で、各因子に上の式を代入すればよい。$\square$

1：$\sigma:=\operatorname{Re}s>1+m/2$ とする。$\lvert\lambda_\alpha N\mathfrak{p}^{-s}\rvert=N\mathfrak{p}^{m/2-\sigma}< N\mathfrak{p}^{-1}\le\frac12$ なので、$$\Bigl\lvert\log P_{m,\mathfrak{p}}(N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}\Bigr\rvert=\Bigl\lvert\sum_{\alpha}\sum_{k\ge1}\frac{(\lambda_\alpha N\mathfrak{p}^{-s})^k}{k}\Bigr\rvert\le2B_m\,N\mathfrak{p}^{m/2-\sigma}$$である。$K$ の素イデアルで素数 $p$ の上にあるものは $[K:\mathbb{Q}]$ 個以下で、そのノルムは $p$ 以上なので（代数体における素イデアルの分解 の定理「基本等式」）、$\sum_{\mathfrak{p}}N\mathfrak{p}^{m/2-\sigma}\le[K:\mathbb{Q}]\sum_pp^{m/2-\sigma}< \infty$ である（$m/2-\sigma<-1$）。$\operatorname{Re}s\ge1+m/2+\delta$ で一様に収束するので、prop-hwz-convergence の証明と同じく $L_S(H^m,s)$ は正則で $0$ にならない。

2：$\operatorname{Re}s>d+1$ ならすべての $m\le2d$ で $\operatorname{Re}s>1+m/2$ なので、1 の積はすべて絶対収束する。thm-hwz-deligne の式に $t=N\mathfrak{p}^{-s}$ を代入して $\mathfrak{p}$ について掛け合わせ、絶対収束を使って積の順序を入れ替えればよい。

3：合同ゼータ関数 の定理「Weil予想（Deligneの定理）」の 1 により $P_{2d,\mathfrak{p}}(t)=1-N\mathfrak{p}^dt$ なので、$$L_S(H^{2d},s)=\prod_{\mathfrak{p}\notin S}\frac{1}{1-N\mathfrak{p}^{d-s}}=\zeta_K(s-d)\prod_{\mathfrak{p}\in S}\bigl(1-N\mathfrak{p}^{d-s}\bigr)$$である。$\zeta_K$ は $\mathbb{C}$ 上有理型で、$\operatorname{Re}s>0$ での極は $s=1$ の 1 位の極だけである（Dedekindゼータ関数 の注意「全平面への延長と関数等式」、解析的類数公式 の定理「解析的類数公式」）。$S$ についての有限積は $s=d+1$ で $0$ でない。$m\le2d-1$ の因子は 1 により $\operatorname{Re}s>d+\frac12$ で正則で $0$ にならない。よって $\zeta_S(X,s)$ は $\operatorname{Re}s>d+\frac12$ で $\zeta_K(s-d)$ と正則で $0$ にならない関数との積である。$\square$