Lindemann–Weierstrassの定理

段 1（係数を整数にする）．相異なる代数的数 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ と $0$ でない代数的数 $\beta_1,\dots,\beta_n$ で $\sum_i\beta_ie^{\alpha_i}=0$ となるものがあるとする（$0$ の係数の項は除いておく）。$\beta_i$ をすべて含む有限次 Galois 拡大 $L_1\subset\mathbb{C}$ をとり、$H:=\mathrm{Gal}(L_1/\mathbb{Q})$、$h:=\lvert H\rvert$ とする。$n$ 変数の多項式 $P(X):=\prod_{\sigma\in H}\bigl(\sum_i\sigma(\beta_i)X_i\bigr)$ の係数に $\tau\in H$ を作用させると因子が並べ替わるだけなので、$P$ の係数は固定体 $\mathbb{Q}$ に属する（Galois拡大）。因子 $\sigma=\mathrm{id}$ が $0$ になるので $P(e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n})=0$ である。$P=\sum_{\lvert k\rvert=h}a_kX^k$ と書くと $\sum_ka_ke^{k\cdot\alpha}=0$ であり、同じ値の $k\cdot\alpha$ をまとめると $\sum_{\gamma}c_\gamma e^\gamma=0$（$c_\gamma:=\sum_{k\cdot\alpha=\gamma}a_k\in\mathbb{Q}$）を得る。$\alpha_{i_0}$ を $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ の辞書式順序での最大元とすると、$\lvert k\rvert=h$ で $k$ が $(0,\dots,h,\dots,0)$（$i_0$ 番目が $h$）でなければ、$k_i>0$ となる $i\neq i_0$ があるので $k\cdot\alpha\prec h\alpha_{i_0}$ である。よって $c_{h\alpha_{i_0}}=\prod_{\sigma\in H}\sigma(\beta_{i_0})\neq0$ である。分母を払い、$0$ の係数の項を除けば、相異なる代数的数 $\gamma_1,\dots,\gamma_r$ と $0$ でない整数 $c_1,\dots,c_r$ で $\sum_jc_je^{\gamma_j}=0$ となるものが得られる。

段 2（指数を共役で閉じる）．$\gamma_j$ をすべて含む有限次 Galois 拡大 $L\subset\mathbb{C}$ をとり、$G:=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ とする。因子 $\sigma=\mathrm{id}$ が $0$ なので$$\prod_{\sigma\in G}\Bigl(\sum_{j=1}^{r}c_je^{\sigma(\gamma_j)}\Bigr)=0$$である。左辺を展開すると、写像 $\varphi\colon G\to\{1,\dots,r\}$ にわたる和 $\sum_\varphi c_\varphi e^{s(\varphi)}$ になる。ここで $c_\varphi:=\prod_\sigma c_{\varphi(\sigma)}$、$s(\varphi):=\sum_\sigma\sigma(\gamma_{\varphi(\sigma)})\in L$ である。$s(\varphi)$ のとる値全体を $A_0$、$\alpha\in A_0$ について $b(\alpha):=\sum_{s(\varphi)=\alpha}c_\varphi\in\mathbb{Z}$ とおくと $\sum_{\alpha\in A_0}b(\alpha)e^\alpha=0$ である。$\tau\in G$ について $\varphi^\tau(\rho):=\varphi(\tau^{-1}\rho)$ とおくと、$\varphi\mapsto\varphi^\tau$ は全単射で、$s(\varphi^\tau)=\sum_\rho\rho(\gamma_{\varphi(\tau^{-1}\rho)})=\sum_\sigma\tau\sigma(\gamma_{\varphi(\sigma)})=\tau(s(\varphi))$、$c_{\varphi^\tau}=c_\varphi$ である。よって $\tau(A_0)=A_0$、$b(\tau(\alpha))=b(\alpha)$ である。各 $\sigma$ について $\sigma(\gamma_1),\dots,\sigma(\gamma_r)$ は相異なるので、その辞書式順序での最大元を $\sigma(\gamma_{j(\sigma)})$ とすると、$\varphi\neq j$ なら $s(\varphi)\prec s(j)$ であり、$b(s(j))=\prod_\sigma c_{j(\sigma)}\neq0$ である。$A:=\{\alpha\in A_0\mid b(\alpha)\neq0\}$ は空でなく、$b$ が $G$ の作用で不変なので $\sigma(A)=A$ を満たし、$\sum_{\alpha\in A}b(\alpha)e^\alpha=0$ である。$\square$

$y:=x-\alpha_k$ とおくと $f_i(x)=l^{np}\prod_{m=1}^{n}(y+\alpha_k-\alpha_m)^{e_m}$（$e_m=p$、ただし $e_i=p-1$）であり、$f_i^{(j)}(\alpha_k)/j!$ はこの式の $y^j$ の係数である。$m=k$ の因子は $y^{e_k}$ なので、$j< e_k$ なら係数は $0$ である。$y^j$ の係数は $l^{np}$ と「$\alpha_k-\alpha_m$ の形の数 $np-1-j$ 個の積」の和との積であり、$l^{np}=l^{1+j}\cdot l^{np-1-j}$ と分けると、$l^{1+j}$ と代数的整数 $l\alpha_k-l\alpha_m$ たちの積の和になるので代数的整数である（代数的整数 の定理「代数的整数全体のなす環」）。$j\ge p$ なら $j!$ は $p!$ で割り切れる。$k=i$、$j=p-1$ の係数は $l^{np}\prod_{m\neq i}(\alpha_i-\alpha_m)^p$ である。