放物型誘導表現
概要
放物型誘導表現（parabolic induction）とは、放物型部分群のLevi商の表現を膨張し、全群へ誘導して得られる表現である。放物型制限とのFrobenius相互律を通じて、有限簡約群の表現を小さい群の表現から構成する。
概要
放物型誘導表現（parabolic induction）とは、放物型部分群のLevi商の表現を膨張し、全群へ誘導して得られる表現である。放物型制限とのFrobenius相互律を通じて、有限簡約群の表現を小さい群の表現から構成する。
本記事では有限群 $G=\operatorname{GL}_n(\mathbb F_q)$ の複素表現を扱う。Levi部分群から $G$ へ向かう放物型誘導と、$G$ からLevi部分群へ戻る不変部分の操作を一組として説明する。誘導で構成されない既約表現の理論は 尖点表現 に分ける。
定義
$\operatorname{GL}_n(\mathbb F_q)$ の標準放物型部分群 $P$ を、対角ブロックの大きさが $n_1,\ldots,n_r$ であるブロック上三角行列全体とする。
そのLevi部分群 $L$ と冪単根基 $U$ は、それぞれ
$$
L=\left\{\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_r):
A_i\in\operatorname{GL}_{n_i}(\mathbb F_q)\right\},
$$
$$
U=\left\{u\in P:u\text{ の各対角ブロックが恒等行列である}\right\}
$$
である。このとき
$$
P=L\ltimes U,
\qquad
L\cong\prod_{i=1}^{r}\operatorname{GL}_{n_i}(\mathbb F_q)
$$
である。$r\geq2$ のとき $P$ を真の標準放物型部分群と呼ぶ。
一般の放物型部分群とは、標準放物型部分群の $G$ による共役とする。
$P=LU$ を標準放物型部分群、$(\sigma,W)$ を $L$ の有限次元複素表現とする。$U$ が自明に作用するように商準同型 $P\to L$ に沿って $\sigma$ を $P$ の表現へ膨張し、これを $\operatorname{Inf}_L^P\sigma$ と書く。
この表現の $G$ への誘導
$$
R_L^G(\sigma)
:=\operatorname{Ind}_P^G(\operatorname{Inf}_L^P\sigma)
=\mathbb C[G]\otimes_{\mathbb C[P]}W
$$
を $\sigma$ の放物型誘導表現、またはHarish-Chandra誘導という。$G$ はテンソル積の第1因子へ左から作用する。
$G$ の複素表現 $(\pi,V)$ に対し、冪単根基 $U$ による不変部分
$$
{}^{*}R_L^G(V):=V^U=\{v\in V\mid \pi(u)v=v\text{ for every }u\in U\}
$$
を $L$ への放物型制限（parabolic restriction, Harish-Chandra restriction）という。$U$ は $P$ の正規部分群なので $V^U$ は $L$ の作用で保たれる。有限群上の複素表現では平均作用素
$$
e_U=\frac1{|U|}\sum_{u\in U}u
$$
が $V$ から $V^U$ への射影を与える。
基本例
$P=G$ と取れば $L=G$、$U=\{1\}$ である。この場合、膨張も誘導も何も変えず、
$$
R_G^G(W)\cong W,
\qquad {}^{*}R_G^G(V)=V
$$
となる。したがって「真の」放物型部分群という条件を外すと、すべての表現が自分自身から誘導されるという自明な場合を含む。
$G=\operatorname{GL}_1(\mathbb F_q)=\mathbb F_q^\times$ には真の放物型部分群がない。従って $n=1$ では放物型誘導によるより小さい一般線形群からの構成は現れない。この境界例は、放物型誘導がブロック分割 $n=n_1+\cdots+n_r$ に基づく操作であることを示す。
$G=\operatorname{GL}_2(\mathbb F_q)$、$B=TU$ を上三角行列のBorel部分群とする。このとき
$$
T=\{\operatorname{diag}(a,d)\mid a,d\in\mathbb F_q^\times\}
\cong\mathbb F_q^\times\times\mathbb F_q^\times,
$$
$$
U=\left\{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}\mathrel{\Big|}x\in\mathbb F_q\right\}.
$$
$T$ の指標 $\chi_1\boxtimes\chi_2$ を $B$ へ膨張して得る
$$
R_T^G(\chi_1\boxtimes\chi_2)
$$
を主系列表現という。その次元は $[G:B]=q+1$ である。これは放物型誘導が小さい群の一次元表現から高次元表現を作る最初の具体例である。
性質と証明
有限次元 $L$ 表現 $W$ に対して
$$
\dim_{\mathbb C}R_L^G(W)=[G:P]\dim_{\mathbb C}W
$$
が成り立つ。
$G/P$ の各左剰余類 $tP$ から代表元を一つずつ選び、その集合を $T$ とする。群環は右 $\mathbb C[P]$ 加群として
$$
\mathbb C[G]=\bigoplus_{t\in T}t\mathbb C[P]
$$
と分解する。したがって
$$
\mathbb C[G]\otimes_{\mathbb C[P]}W
\cong\bigoplus_{t\in T}t\otimes W
$$
である。$|T|=[G:P]$ なので、両辺の次元を取れば主張を得る。$\square$
$L$ 表現 $W$ と $G$ 表現 $V$ に対し、自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_P(\operatorname{Inf}_L^P W,\operatorname{Res}_P^G V)
\cong
\operatorname{Hom}_L(W,V^U)
$$
が存在する。
$P$ 準同型 $\varphi:W\to V$ をとる。$U$ は $W$ 上で自明に作用するので、$u\in U$ と $w\in W$ に対して
$$
\pi(u)\varphi(w)=\varphi(uw)=\varphi(w)
$$
である。よって $\varphi(W)\subset V^U$ であり、$\varphi$ は $L$ 準同型 $W\to V^U$ を定める。
逆に $L$ 準同型 $\psi:W\to V^U$ をとる。$p=lu\in P$ に対し、$U$ が $W$ と $\psi(W)$ の両方へ自明に作用することから
$$
\pi(p)\psi(w)=\pi(l)\pi(u)\psi(w)=\pi(l)\psi(w)
=\psi(lw)=\psi(pw)
$$
である。したがって $\psi$ は $P$ 準同型でもある。二つの操作は互いに逆である。$\square$
$L$ 表現 $W$ と $G$ 表現 $V$ に対して自然な同型
$$
\operatorname{Hom}_G(R_L^G(W),V)
\cong\operatorname{Hom}_L(W,V^U)
$$
が存在する。
まず通常の誘導と制限の相互律をテンソル表示から確認する。$G$ 準同型
$$
T:\mathbb C[G]\otimes_{\mathbb C[P]}W\longrightarrow V
$$
に対し、$\varphi_T(w):=T(1\otimes w)$ と置く。$p\in P$ なら
$$
\varphi_T(pw)=T(1\otimes pw)=T(p\otimes w)
=\pi(p)T(1\otimes w)=\pi(p)\varphi_T(w)
$$
なので、$\varphi_T$ は $P$ 準同型である。
逆に $P$ 準同型 $\varphi:W\to V$ に対し
$$
T_\varphi(g\otimes w):=\pi(g)\varphi(w)
$$
と定める。関係 $gp\otimes w=g\otimes pw$ に対して
$$
\pi(gp)\varphi(w)=\pi(g)\varphi(pw)
$$
だからwell-definedであり、明らかに $G$ 準同型である。二つの対応は互いに逆なので
$$
\operatorname{Hom}_G(\operatorname{Ind}_P^GW,V)
\cong\operatorname{Hom}_P(W,\operatorname{Res}_P^GV)
$$
を得る。これと直前の命題を合成すれば主張が従う。$\square$
有限群の場合の注意
本記事では群が有限で係数体が $\mathbb C$ なので、平均作用素を用いることができ、表現はMaschkeの定理により完全可約である。これに対して非アルキメデス局所体上の簡約群では、滑らかな表現、Jacquet加群、モジュラー指標 $\delta_P^{1/2}$ を用いる正規化誘導を区別する必要がある。有限群における上の定義を、そのまま局所群の定義と同一視してはいけない。
放物型誘導の既約直和因子として現れない既約表現を検出するには、Frobenius相互律の右辺 $\operatorname{Hom}_L(W,V^U)$ を調べる。すべての真の放物型部分群に対して $V^U=0$ となる条件と、その表現論的意味は 尖点表現 が扱う。
定義と標準的な性質については DM20 を参照した。
関連項目
参考文献
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