Wronski行列式
概要
Wronski行列式（Wronskian）とは、$n-1$ 回微分可能な関数 $y_1,\dots,y_n$ とその $n-1$ 階までの導関数を並べた $n$ 次正方行列の行列式 $W(y_1,\dots,y_n)$ である。区間上で関数が1次従属なら $W$ は恒等的に $0$ になるが、逆は一般には成り立たず、$W(y_1,\dots,y_{n-1})$ に零点がない場合や関数が解析的な場合に成り立つ。開区間上の連続な係数の方程式 $y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)y=0$ の解については、Liouville の公式 $W(t)=W(t_0)\exp\bigl(-\int_{t_0}^{t}a_{n-1}(s)\,ds\bigr)$ が成り立ち、$W$ が $0$ でないことが基本解系であることの判定になる。
$g=cf$（$c$ は定数）なら $fg'-f'g=0$ である。$n$ 個の関数とその $n-1$ 階までの導関数を並べた行列の行列式を Wronski 行列式 といい、定数係数の 1 次関係があるかを微分で調べる道具である。1 次関係があれば Wronski 行列式は恒等的に $0$ になるが、その逆は一般の関数では成り立たない。ところが関数が区間上で連続な係数をもつ同じ正規形（最高階の係数が $1$）の線形微分方程式の解であるときは逆も成り立ち、さらに Wronski 行列式そのものが方程式の係数から指数関数の形で求まる（Liouville の公式）。
定義
以下、$\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、$J\subset\mathbb{R}$ は区間（1 点ではないもの）とする。関数は $J$ 上の $\mathbb{K}$ 値関数で、微分は実数の変数 $t$ についての微分である（区間の端点では片側の微分係数をとる）。$y^{(0)}:=y$ とする。
$n\ge1$ とし、$y_1,\dots,y_n\colon J\to\mathbb{K}$ を $n-1$ 回微分可能な関数とする。$t\in J$ について、$(i,j)$ 成分が $y_j^{(i-1)}(t)$ の $n$ 次正方行列
$$
\mathcal{W}(y_1,\dots,y_n)(t):=\begin{pmatrix}y_1(t)&\cdots&y_n(t)\\y_1'(t)&\cdots&y_n'(t)\\\vdots&&\vdots\\y_1^{(n-1)}(t)&\cdots&y_n^{(n-1)}(t)\end{pmatrix}
$$
を Wronski 行列 といい、その行列式
$$
W(y_1,\dots,y_n)(t):=\det\mathcal{W}(y_1,\dots,y_n)(t)
$$
を $y_1,\dots,y_n$ の Wronski 行列式（Wronskian、ロンスキアン）という。$W(y_1,\dots,y_n)$ は $J$ 上の関数である。
$n=1$ では $W(y_1)=y_1$、$n=2$ では $W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_1'y_2$ である。たとえば $W(\cos t,\sin t)=\cos^2t+\sin^2t=1$ である。
連立の方程式を扱うときは、ベクトル値関数の版を使う。
$x^{(1)},\dots,x^{(n)}\colon J\to\mathbb{K}^n$ を $n$ 個のベクトル値関数とするとき、これらを列に並べた行列の行列式
$$
W(t):=\det\bigl(x^{(1)}(t),\dots,x^{(n)}(t)\bigr)
$$
を $x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ の Wronski 行列式という。
$y_j$ からベクトル値関数 $\bigl(y_j,\dots,y_j^{(n-1)}\bigr)^{\mathsf T}$ を作れば、2 つの定義は一致する。
関数 $y_1,\dots,y_n$ が $J$ 上で 1 次従属 であるとは、すべては $0$ でない定数 $c_1,\dots,c_n\in\mathbb{K}$ で、すべての $t\in J$ について $c_1y_1(t)+\cdots+c_ny_n(t)=0$ となるものがあることをいう。1 次従属でないとき 1 次独立 という。区間 $J$ を取り替えると結論が変わりうる（ex-wr-tabs）。ベクトル値関数でも同じように定める。
基本の性質
$y_1,\dots,y_n\colon J\to\mathbb{K}$ を $n-1$ 回微分可能な関数とする。
(R1) $C=(c_{jk})$ を定数を成分とする $n$ 次正方行列とし、$z_k:=\sum_{j}c_{jk}y_j$（$1\le k\le n$）とおくと、$W(z_1,\dots,z_n)=\det C\cdot W(y_1,\dots,y_n)$ である。また $W$ は各 $y_j$ について線形であり、2 つの関数を入れ替えると符号が変わる。
(R2) $g\colon J\to\mathbb{K}$ が $n-1$ 回微分可能なら、$W(gy_1,\dots,gy_n)=g^n\,W(y_1,\dots,y_n)$ である。
(R3) $y_1,\dots,y_n$ が $n$ 回微分可能なら、$W(y_1,\dots,y_n)$ は微分可能で、その導関数は、Wronski 行列の最後の行を $\bigl(y_1^{(n)},\dots,y_n^{(n)}\bigr)$ に取り替えた行列の行列式である。
要点：(R1) は $\mathcal{W}(z_1,\dots,z_n)=\mathcal{W}(y_1,\dots,y_n)\,C$、(R2) は Leibniz の公式による下三角行列の掛け算、(R3) は行ごとの微分で、最後の行以外は同じ行が 2 つ現れて消える。
詳しい証明を開く
(R1)：微分は線形なので $z_k^{(i)}=\sum_jc_{jk}y_j^{(i)}$ であり、行列の積として $\mathcal{W}(z_1,\dots,z_n)=\mathcal{W}(y_1,\dots,y_n)\,C$ である。行列式の乗法性から結論を得る。各 $y_j$ についての線形性は、定数 $\alpha,\beta$ と $n-1$ 回微分可能な $z$ について $(\alpha y_j+\beta z)^{(i)}=\alpha y_j^{(i)}+\beta z^{(i)}$ であることと、行列式の列についての多重線形性から従う。$C$ として単位行列の 2 つの列を入れ替えたもの（$\det C=-1$）をとれば、入れ替えで符号が変わることが分かる。
(R2)：Leibniz の公式から $(gy_j)^{(i)}=\sum_{k=0}^{i}\binom{i}{k}g^{(i-k)}y_j^{(k)}$（$0\le i\le n-1$）である。行と列の番号を $0$ から数え、$(i,k)$ 成分が $\binom{i}{k}g^{(i-k)}$（$k\le i$）、$0$（$k>i$）の行列を $T$ とすると、$\mathcal{W}(gy_1,\dots,gy_n)=T\,\mathcal{W}(y_1,\dots,y_n)$ である。$T$ は対角成分がすべて $g$ の下三角行列なので $\det T=g^n$ である。
(R3)：$\det\mathcal{W}=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}y_{\sigma(i)}^{(i-1)}$ は成分の積の和なので、積の微分法から、$W'$ は「第 $i$ 行だけを各成分の導関数に取り替えた行列の行列式」の $i=1,\dots,n$ についての和である。$i\le n-1$ のとき、第 $i$ 行を微分したものは第 $i+1$ 行と同じなので、その行列式は $0$ である。残るのは $i=n$ の項だけである。$\square$
1 次従属なら Wronski 行列式は 0
$y_1,\dots,y_n\colon J\to\mathbb{K}$ が $n-1$ 回微分可能で $J$ 上 1 次従属なら、$W(y_1,\dots,y_n)$ は $J$ 上で恒等的に $0$ である。対偶をとると、ある $t_0\in J$ で $W(y_1,\dots,y_n)(t_0)\ne0$ なら、$y_1,\dots,y_n$ は $J$ 上 1 次独立である。
すべては $0$ でない定数 $c=(c_1,\dots,c_n)^{\mathsf T}$ で $\sum_jc_jy_j=0$（$J$ 上の恒等式）となるとする。$c_j$ は定数なので、両辺を $i$ 回微分して $\sum_jc_jy_j^{(i)}(t)=0$（$0\le i\le n-1$、$t\in J$）を得る。これは $\mathcal{W}(y_1,\dots,y_n)(t)\,c=0$ ということであり、$c\ne0$ なので $\mathcal{W}(y_1,\dots,y_n)(t)$ は正則でない。よって各 $t$ で $W(y_1,\dots,y_n)(t)=0$ である。$\square$
ベクトル値関数でも同じで、$\sum_jc_jx^{(j)}=0$ なら各 $t$ で列 $x^{(1)}(t),\dots,x^{(n)}(t)$ が 1 次従属なので $W(t)=0$ である。
$\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{C}$ とすると、
$$
W\bigl(e^{\lambda_1t},\dots,e^{\lambda_nt}\bigr)=e^{(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)t}\prod_{1\le i< j\le n}(\lambda_j-\lambda_i)
$$
である。
計算を開く
第 $j$ 列は $e^{\lambda_jt}\bigl(1,\lambda_j,\dots,\lambda_j^{n-1}\bigr)^{\mathsf T}$ なので、各列から $e^{\lambda_jt}$ をくくり出すと、残るのは Vandermonde 行列の転置であり、その行列式は Vandermondeの行列式 の定理「Vandermonde の行列式の公式」で与えられる。
したがって $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ が相異なれば、thm-wr-dependent から $e^{\lambda_1t},\dots,e^{\lambda_nt}$ はどの区間の上でも 1 次独立である。
$W(1,t,t^2,\dots,t^{n-1})=\prod_{k=0}^{n-1}k!$ である。行と列の番号を $0$ から数えると、$(i,k)$ 成分は $(t^k)^{(i)}$ で、$k< i$ なら $0$、$k=i$ なら $i!$ である。よって Wronski 行列は対角成分が $0!,1!,\dots,(n-1)!$ の上三角行列である。たとえば $W(1,t,t^2)=1\cdot1\cdot2=2$ である。
逆が成り立たない例と、逆が成り立つ条件
thm-wr-dependent の逆、すなわち「Wronski 行列式が恒等的に $0$ なら 1 次従属」は、一般の関数では成り立たない。
$\mathbb{R}$ 上の $f(t)=t^2$、$g(t)=t\lvert t\rvert$ を考える。$g$ は $t>0$ で $t^2$、$t< 0$ で $-t^2$ であり、$t=0$ でも $g(h)/h=\lvert h\rvert\to0$ なので微分可能で、$g'(t)=2\lvert t\rvert$ である。よってすべての $t$ で
$$
W(f,g)(t)=t^2\cdot2\lvert t\rvert-2t\cdot t\lvert t\rvert=0
$$
である。一方 $af+bg=0$ とすると、$t=1$ で $a+b=0$、$t=-1$ で $a-b=0$ なので $a=b=0$ であり、$f,g$ は $\mathbb{R}$ 上 1 次独立である。満たす性質は「$W(f,g)\equiv0$」、満たさない性質は「1 次従属」である。
$(0,\infty)$ では $g=f$、$(-\infty,0)$ では $g=-f$ で、1 次関係の係数が区間によって違うことが原因である。
逆を成り立たせるには、関数の個数を 1 つ減らした Wronski 行列式が $0$ にならないことを仮定すればよい。
$n\ge2$ とし、$y_1,\dots,y_n\colon J\to\mathbb{K}$ を $n-1$ 回微分可能な関数とする。$J$ 上で $W(y_1,\dots,y_n)\equiv0$ であり、かつ $W(y_1,\dots,y_{n-1})$ が $J$ 上に零点をもたないなら、定数 $c_1,\dots,c_{n-1}\in\mathbb{K}$ があって、$J$ 上で
$$
y_n=c_1y_1+\cdots+c_{n-1}y_{n-1}
$$
となる。とくに $y_1,\dots,y_n$ は $J$ 上 1 次従属である。
各 $t\in J$ で、$y_1,\dots,y_{n-1}$ の Wronski 行列 $V(t):=\mathcal{W}(y_1,\dots,y_{n-1})(t)$（$n-1$ 次）は仮定から正則である。
段 1（係数の関数を作る）．$r(t):=\bigl(y_n(t),y_n'(t),\dots,y_n^{(n-2)}(t)\bigr)^{\mathsf T}$ とおき、
$$
b(t)=\bigl(b_1(t),\dots,b_{n-1}(t)\bigr)^{\mathsf T}:=-V(t)^{-1}r(t)
$$
と定める。$V(t)$ と $r(t)$ の成分は $n-2$ 階までの導関数なので、まだ 1 回微分できる。Cramerの公式 により $V(t)^{-1}$ の成分は $V(t)$ の成分の多項式を零点のない微分可能な関数 $\det V(t)$ で割ったものなので、$b_1,\dots,b_{n-1}$ は微分可能である。定め方から
$$
\sum_{j=1}^{n-1}b_j(t)\,y_j^{(i)}(t)+y_n^{(i)}(t)=0\qquad(0\le i\le n-2)\qquad\text{(1)}
$$
である。
段 2（最後の行でも成り立つ）．$s(t):=\sum_{j< n}b_j(t)y_j^{(n-1)}(t)+y_n^{(n-1)}(t)$ とおく。$n$ 次の Wronski 行列 $\mathcal{W}(y_1,\dots,y_n)(t)$ の最後の列に、第 $j$ 列（$j< n$）の $b_j(t)$ 倍を加えても行列式は変わらない。(1) から、こうして得た行列の最後の列は $(0,\dots,0,s(t))^{\mathsf T}$ である。最後の列について展開すると
$$
0=W(y_1,\dots,y_n)(t)=s(t)\,W(y_1,\dots,y_{n-1})(t)
$$
となり、$W(y_1,\dots,y_{n-1})(t)\ne0$ から $s(t)=0$ である。よって (1) は $i=n-1$ でも成り立つ。
段 3（係数は定数）．$0\le i\le n-2$ について (1) を微分すると
$$
\sum_{j=1}^{n-1}b_j'y_j^{(i)}+\Bigl(\sum_{j=1}^{n-1}b_jy_j^{(i+1)}+y_n^{(i+1)}\Bigr)=0
$$
であり、括弧の中は段 2 までに示した (1)（$i+1\le n-1$）により $0$ である。したがって $V(t)\,b'(t)=0$ であり、$V(t)$ は正則なので $b'(t)=0$ である。$J$ は区間なので、平均値の定理 の系「導関数が0なら定数」（複素数値なら実部と虚部のそれぞれに使う）により $b_j$ は定数である。(1) の $i=0$ の式から $c_j:=-b_j$ とおけばよい。$\square$
$n=2$ では、$\bigl(y_2/y_1\bigr)'=W(y_1,y_2)/y_1^2$ から $y_2/y_1$ が定数になる、という計算と同じである。ex-wr-tabs では $W(f)=t^2$ が $t=0$ で $0$ になるので、この定理は使えない。
関数が解析的なら、零点の仮定は外せる。区間 $J$ が開区間で、関数 $y\colon J\to\mathbb{K}$ が各点 $c\in J$ の近くで収束する冪級数 $\sum_ka_k(t-c)^k$ に等しいとき、$y$ は $J$ 上で 解析的 であるという。多項式、$e^{\lambda t}$、$\cos t$、$\sin t$ は $\mathbb{R}$ 上で解析的であり、解析的な関数は何回でも微分できる（冪級数 の系「何回でも微分できることと係数の公式」）。
$J$ を開区間とし、$y_1,\dots,y_n\colon J\to\mathbb{K}$ を $J$ 上で解析的な関数とする。$y_1,\dots,y_n$ が $J$ 上 1 次従属であることと、$W(y_1,\dots,y_n)$ が $J$ 上で恒等的に $0$ であることは同値である。
要点：$n$ についての帰納法。$W(y_1,\dots,y_{n-1})$ が $0$ でない小区間で thm-wr-partial-converse を使い、得た 1 次関係を解析性で $J$ 全体へ広げる。
詳しい証明を開く
1 次従属なら $W\equiv0$ であることは thm-wr-dependent である。逆を $n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では $W(y_1)=y_1$ なので明らかである。$n\ge2$ で $W(y_1,\dots,y_n)\equiv0$ とする。$w:=W(y_1,\dots,y_{n-1})$ が恒等的に $0$ なら、帰納法の仮定から $y_1,\dots,y_{n-1}$ が 1 次従属で、$y_1,\dots,y_n$ も 1 次従属である。そうでなければ $w(t_1)\ne0$ となる $t_1$ があり、$w$ は連続なので $t_1$ を含む開区間 $I\subset J$ で $w$ は零点をもたない。$I$ の上で thm-wr-partial-converse を使うと、定数 $c_j$ があって $h:=y_n-\sum_{j< n}c_jy_j$ は $I$ 上で $0$ である。$h$ は解析的な関数の定数倍の和なので解析的である（冪級数 の命題「冪級数の和・定数倍・積」）。
残りは「$J$ 上で解析的な $h$ が空でない開区間 $I$ の上で $0$ なら $J$ 上で $h=0$」である。解析的な関数は 冪級数 の系「何回でも微分できることと係数の公式」により何回でも微分でき（複素数値なら実部と虚部に分ける）、点 $c$ の近くで $h(t)=\sum_k\frac{h^{(k)}(c)}{k!}(t-c)^k$ と書ける。$S:=\{t\in J\mid\text{すべての }k\text{ で }h^{(k)}(t)=0\}$ は $I$ を含むので空でなく、各 $h^{(k)}$ の連続性から $J$ の中で閉じている。$c\in S$ なら $c$ の近くで $h=0$ なので、$c$ の近くは $S$ に含まれ、$S$ は開いている。区間 $J$ は連結なので $S=J$ である。$\square$
解析的という仮定は外せない。無限回微分可能というだけでは足りないことを、反例の節の ex-wr-smooth で示す。
線形微分方程式の解の Wronski 行列式
この節では $J$ を開区間とし、連続な行列値関数 $A\colon J\to M_n(\mathbb{K})$ による斉次方程式 $x'=A(t)x$ と、連続関数 $a_0,\dots,a_{n-1}\colon J\to\mathbb{K}$ による $n$ 階の斉次方程式
$$
L[y]:=y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0
$$
を考える。任意の $t_0\in J$ と初期値に対して $J$ 上の解がただ 1 つあること（線形微分方程式 の定理「解の存在と解空間」）を使う。$n$ 階の方程式は $x=\bigl(y,\dots,y^{(n-1)}\bigr)^{\mathsf T}$ とおけば連立の方程式になり、Wronski 行列式も一致する。
$x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ を $x'=A(t)x$ の $J$ 上の解とし、$W(t)=\det\bigl(x^{(1)}(t),\dots,x^{(n)}(t)\bigr)$ とする。$W$ は微分可能で $W'(t)=\operatorname{tr}A(t)\,W(t)$ であり、任意の $t_0,t\in J$ について
$$
W(t)=W(t_0)\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t}\operatorname{tr}A(s)\,ds\Bigr)
$$
である。$n$ 階の方程式 $L[y]=0$ の解 $y_1,\dots,y_n$ については
$$
W(y_1,\dots,y_n)(t)=W(y_1,\dots,y_n)(t_0)\exp\Bigl(-\int_{t_0}^{t}a_{n-1}(s)\,ds\Bigr)
$$
である（Abel の公式）。
解を列に並べた行列を $U(t)$ とすると $U'=A(t)U$ である。prop-wr-basic の (R3) の証明と同じく、$W'$ は「$U$ の第 $i$ 行だけを導関数に取り替えた行列の行列式」の $i$ についての和である。$U'$ の第 $i$ 行は $\sum_kA_{ik}(t)\cdot(U\text{ の第 }k\text{ 行})$ なので、行列式の行についての多重線形性から、第 $i$ 行を取り替えた行列式は
$$
\sum_{k=1}^{n}A_{ik}(t)\det\bigl(U\text{ の第 }i\text{ 行を第 }k\text{ 行で置き換えた行列}\bigr)=A_{ii}(t)\,W(t)
$$
である（$k\ne i$ の項は同じ行を 2 つもつので $0$）。$i$ について足して $W'=\operatorname{tr}A(t)\,W$ を得る。$\tau(t):=\int_{t_0}^{t}\operatorname{tr}A(s)\,ds$ とおくと、$\operatorname{tr}A$ は連続なので $\tau'=\operatorname{tr}A$ であり、
$$
\bigl(e^{-\tau(t)}W(t)\bigr)'=e^{-\tau(t)}\bigl(W'(t)-\operatorname{tr}A(t)\,W(t)\bigr)=0
$$
である。$J$ は区間なので $e^{-\tau(t)}W(t)$ は定数 $W(t_0)$ に等しい。
$n$ 階の場合は、連立に書き直したときの係数行列（線形微分方程式 の命題「同伴行列による書き換え」）の対角成分が $0,\dots,0,-a_{n-1}$ なので、跡は $-a_{n-1}$ である。$\square$
$n$ 階の場合を直接示す
prop-wr-basic の (R3) から、$W'$ は最後の行を $\bigl(y_j^{(n)}\bigr)_j=\bigl(-\sum_{k=0}^{n-1}a_ky_j^{(k)}\bigr)_j$ に取り替えた行列式である。最後の行について線形に分けると、$k\le n-2$ の項は第 $k+1$ 行と同じ行をもつので $0$ であり、$W'=-a_{n-1}W$ となる。
この公式から、解の Wronski 行列式は恒等的に $0$ であるか、どこでも $0$ でないかのどちらかである。定数係数 $A(t)=A$ で解行列として $e^{tA}$ をとると、$\det e^{tA}=e^{t\operatorname{tr}A}$ が得られる（行列の指数関数）。
$x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ を $x'=A(t)x$ の $J$ 上の解とし、$W$ をその Wronski 行列式とする。次は同値である。
(R1) $x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ は $J$ 上 1 次独立である。
(R2) ある $t_0\in J$ で $W(t_0)\ne0$ である。
(R3) すべての $t\in J$ で $W(t)\ne0$ である。
$n$ 階の方程式 $L[y]=0$ の $J$ 上の解 $y_1,\dots,y_n$ と $W(y_1,\dots,y_n)$ についても同じことが成り立つ。
(R3)⇒(R2) は明らかで、(R2)⇒(R1) は thm-wr-dependent の対偶（ベクトル値の場合）である。
(R1)⇒(R3)：ある $t_1\in J$ で $W(t_1)=0$ とする。列 $x^{(1)}(t_1),\dots,x^{(n)}(t_1)$ は 1 次従属なので、すべては $0$ でない定数 $c_j$ で $\sum_jc_jx^{(j)}(t_1)=0$ となるものがある。$x:=\sum_jc_jx^{(j)}$ は斉次方程式の解で $x(t_1)=0$ を満たす。恒等的に $0$ の関数も同じ初期値の解なので、解の一意性から $x\equiv0$ であり、$x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ は 1 次従属である。これは (R1) に反する。
$n$ 階の場合：$y\mapsto\bigl(y,y',\dots,y^{(n-1)}\bigr)^{\mathsf T}$ は線形な単射なので、$y_1,\dots,y_n$ が 1 次独立であることと、対応するベクトル値の解が 1 次独立であることは同値であり、Wronski 行列式も一致するので、上のことに帰着する。$\square$
1 次独立な $n$ 個の解は $n$ 次元の解空間の基底（基本解系）である。この定理から、ex-wr-tabs の $t^2$ と $t\lvert t\rvert$ は、$0$ を含む開区間で連続な係数をもつどんな方程式 $y''+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ の解の組にもならない。
$t>0$ で $t^2y''-3ty'+4y=0$ を考える。$J=(0,\infty)$ で $t^2$ で割ると $y''-\frac3ty'+\frac4{t^2}y=0$ で、係数は連続であり $a_1(t)=-\frac3t$ である。$y_1=t^2$、$y_2=t^2\log t$ は解である。
代入の計算を開く
$y_2'=2t\log t+t$、$y_2''=2\log t+3$ なので $t^2(2\log t+3)-3t(2t\log t+t)+4t^2\log t=0$ である。$y_1$ も $2t^2-6t^2+4t^2=0$ を満たす。
Wronski 行列式は
$$ W(y_1,y_2)=t^2(2t\log t+t)-2t\cdot t^2\log t=t^3 $$
で、どこでも $0$ でないので基本解系である。Abel の公式は $W(t)=W(1)\exp\bigl(\int_1^t\frac3s\,ds\bigr)=t^3$ を与え、直接の計算と一致する。
1 つの解から 2 つ目の解を作る
2 階の方程式では、解を 1 つ知っていれば、Liouville の公式から 2 つ目の解が積分で求まる（階数低下法）。
連続関数 $a_0,a_1\colon J\to\mathbb{K}$ について $y''+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ を考え、$y_1$ を $J$ 上に零点をもたない解、$t_0\in J$ とする。
$$
w(t):=\exp\Bigl(-\int_{t_0}^{t}a_1(s)\,ds\Bigr),\qquad y_2(t):=y_1(t)\int_{t_0}^{t}\frac{w(s)}{y_1(s)^2}\,ds
$$
とおくと、$y_2$ は解であり、$W(y_1,y_2)=w$ である。とくに $y_1,y_2$ は基本解系である。
$v(t):=\int_{t_0}^{t}w(s)/y_1(s)^2\,ds$ とおくと $y_2=y_1v$ で、$W(y_1,y_2)=y_1(y_1'v+y_1v')-y_1'\,y_1v=y_1^2v'=w$ である。$y_2$ が解であることは代入して確かめる。
詳細
$w$ は微分可能で $w'=-a_1w$、$y_1$ は 2 回微分可能で零点がないので、$v'=w/y_1^2$ は微分可能である。$y_2'=y_1'v+w/y_1$ であり、$y_2''=y_1''v+y_1'v'+\frac{w'y_1-wy_1'}{y_1^2}=y_1''v-\frac{a_1w}{y_1}$ である（$y_1'v'=wy_1'/y_1^2$ が打ち消し合う）。よって $y_2''+a_1y_2'+a_0y_2=v\bigl(y_1''+a_1y_1'+a_0y_1\bigr)-\frac{a_1w}{y_1}+\frac{a_1w}{y_1}=0$ である。
$W(y_1,y_2)=w$ はどこでも $0$ でないので、thm-wr-criterion から基本解系である。$\square$
公式は $\bigl(y_2/y_1\bigr)'=W(y_1,y_2)/y_1^2$ を積分したものである。ex-wr-euler で $y_1=t^2$、$t_0=1$ とすると $w=t^3$ で、$y_2=t^2\int_1^t\frac{s^3}{s^4}\,ds=t^2\log t$ を得る。
$y''-2ty'-2y=0$ は $y_1=e^{t^2}$ を解にもつ（$y_1''-2ty_1'-2y_1=(2+4t^2-4t^2-2)e^{t^2}=0$）。$a_1(t)=-2t$、$t_0=0$ とすると $w(t)=e^{t^2}$ なので、
$$
y_2(t)=e^{t^2}\int_0^{t}\frac{e^{s^2}}{e^{2s^2}}\,ds=e^{t^2}\int_0^{t}e^{-s^2}\,ds
$$
が 2 つ目の解で、$W(y_1,y_2)=e^{t^2}$ である。誤差関数 $\operatorname{erf}t:=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^te^{-s^2}\,ds$ を使えば $y_2=\frac{\sqrt\pi}{2}e^{t^2}\operatorname{erf}t$ である（Tes12 §3.5 の例、p. 89）。
反例：条件を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 関数が連続な係数の同じ正規形の線形方程式の解であること（thm-wr-criterion） | $\mathbb{R}$ 上の $t^2$ と $t\lvert t\rvert$（ex-wr-tabs） | 「$W\equiv0$ なら 1 次従属」 |
| $W(y_1,\dots,y_{n-1})$ が零点をもたないこと（thm-wr-partial-converse） | 同じ $t^2$ と $t\lvert t\rvert$（$W(t^2)=t^2$ は $t=0$ で $0$） | 「$W\equiv0$ なら 1 次従属」 |
| 関数が解析的であること（cor-wr-analytic） | 無限回微分可能な $\varphi(t)$ と $\varphi(-t)$（ex-wr-smooth） | 「$W\equiv0$ なら 1 次従属」 |
| 定義域が区間であること（thm-wr-criterion） | $(-1,0)\cup(0,1)$ 上の $y''=0$ の解（ex-wr-disconnected） | 解の $W$ が「恒等的に $0$ かどこでも $0$ でないか」のどちらかであること、「$W\equiv0$ なら 1 次従属」 |
| 正規形の係数が連続であること（thm-wr-criterion） | $t^2y''-2ty'+2y=0$ の解 $t$ と $t^2$（ex-wr-singular） | 解の $W$ が「恒等的に $0$ かどこでも $0$ でないか」のどちらかであること |
$\varphi(t):=e^{-1/t^2}$（$t>0$）、$\varphi(t):=0$（$t\le0$）とおくと、$\varphi$ は $\mathbb{R}$ 上で無限回微分可能で、$t\le0$ ですべての導関数が $0$ である。
詳細
$t>0$ では、帰納法により $\varphi^{(k)}(t)=P_k(1/t)\,e^{-1/t^2}$（$P_k$ は多項式）と書ける：$P_0=1$、$P_{k+1}(u)=2u^3P_k(u)-u^2P_k'(u)$ である。$u=1/t\to\infty$ とすると任意の $m$ で $u^me^{-u^2}\to0$ なので、$\varphi^{(k)}(t)\to0$、$\varphi^{(k)}(t)/t\to0$（$t\to+0$）である。$k$ についての帰納法で、$\varphi^{(k)}(0)=0$ と $\varphi^{(k)}$ が $0$ で微分可能で $\varphi^{(k+1)}(0)=0$ であることが分かる（右側の差分商は $\varphi^{(k)}(t)/t\to0$、左側は $0$）。
$f(t):=\varphi(t)$、$g(t):=\varphi(-t)$ とすると、各点で $f,f'$ か $g,g'$ のどちらかの組が $0$ なので $W(f,g)=fg'-f'g\equiv0$ である。一方 $af+bg=0$ なら $t=\pm1$ を代入して $a=b=0$ であり、$f,g$ は 1 次独立である。$f$ は $t=0$ ですべての導関数が $0$ なのに $0$ の右側で $0$ でないので、解析的でない。満たす性質は「無限回微分可能」「$W\equiv0$」、満たさない性質は「解析的」「1 次従属」である。
$J_0:=(-1,0)\cup(0,1)$ の上で $y''=0$ を考える（係数は $J_0$ 上で連続）。$y_1:=1$、$y_2:=\chi$（$(-1,0)$ で $0$、$(0,1)$ で $1$）、$y_3:=$（$(-1,0)$ で $0$、$(0,1)$ で $t$）はどれも $J_0$ 上の解である。
$W(y_1,y_2)=y_2'=0$ だが、$c_1+c_2\chi=0$ なら $(-1,0)$ で $c_1=0$、$(0,1)$ で $c_2=0$ となり、$y_1,y_2$ は 1 次独立である（$W(y_1)=1$ なので thm-wr-partial-converse も崩れる）。$W(y_1,y_3)=y_3'$ は $(-1,0)$ で $0$、$(0,1)$ で $1$ である。満たす性質は「係数が連続」、満たさない性質は「定義域が区間（連結）」である。
$\mathbb{R}$ 上で $t^2y''-2ty'+2y=0$ を考える。$y_1=t$、$y_2=t^2$ は代入すると解である（$-2t+2t=0$、$2t^2-4t^2+2t^2=0$）。
$$
W(y_1,y_2)=t\cdot2t-1\cdot t^2=t^2
$$
は $t=0$ だけで $0$ になり、$W(1)\ne0$ なので $y_1,y_2$ は 1 次独立である。正規形 $y''-\frac2ty'+\frac2{t^2}y=0$ の係数が $t=0$ で定義されないことが原因である。満たす性質は「係数 $t^2,-2t,2$ が多項式で連続」、満たさない性質は「正規形の係数が $\mathbb{R}$ 上で連続」である。
補足
- 方程式 $(p(t)y')'+q(t)y=0$（$p>0$ は $C^1$ 級、$q$ は連続）の解では $p\,W(u,v)$ が定数になる（Liouville の公式の特別な場合。Sturmの比較定理 の命題「Wronski 行列式は一定」）。
- 非斉次方程式の特殊解を基本解系から作る定数変化法では、Wronski 行列式が分母に現れる（定数変化法）。thm-wr-criterion により、この割り算はいつでもできる。
- 基本解系は方程式を決める：$n$ 回連続微分可能な $y_1,\dots,y_n$ の $W$ に零点がなければ、$W(y_1,\dots,y_n,y)/W(y_1,\dots,y_n)=y^{(n)}+q_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+q_0y$ は連続な係数をもち、$y_1,\dots,y_n$ を解にもつ連続な係数の $n$ 階の正規形の方程式はこれに限る。$q_{n-1}=-W'/W$ である（Tes12 §3.5 の式 (3.111)、p. 88）。
証明を開く
$W(y_1,\dots,y_n,y)$ を最後の列について展開すると、$y^{(k)}$ の係数は余因子で連続であり、$y^{(n)}$ の係数は $W$、$y^{(n-1)}$ の係数は符号 $-1$ と「$y_j$ の $0,\dots,n-2,n$ 階の導関数を行に並べた行列式」の積で、後者は prop-wr-basic の (R3) により $W'$ である。$y=y_j$ なら同じ列が 2 つあるので $0$ で、$W\ne0$ と thm-wr-dependent から $y_j$ は 1 次独立な $n$ 個の解である。連続な係数の $L[y]=y^{(n)}+\sum_{k< n}a_ky^{(k)}$ も $y_j$ を解にもつなら、両方の解空間は $y_1,\dots,y_n$ の張る空間 $\mathcal{V}$ で、$t$ を固定すると $y\mapsto\bigl(y(t),\dots,y^{(n-1)}(t)\bigr)$ は $\mathcal{V}\to\mathbb{K}^n$ の同型である（線形微分方程式 の定理「解の存在と解空間」）。$y\in\mathcal{V}$ で $\sum_{k< n}\bigl(a_k(t)-q_k(t)\bigr)y^{(k)}(t)=0$ となり、$\bigl(y^{(k)}(t)\bigr)_k$ はすべてのベクトルをとるので $a_k=q_k$ である。
- 体 $M$ と、加法的で $(ab)'=ab'+a'b$ を満たす写像 $a\mapsto a'$ の組（微分体）では、$y_1,\dots,y_n\in M$ が定数の体 $\{a\mid a'=0\}$ 上 1 次従属であることと $W(y_1,\dots,y_n)=0$ が同値になる（微分Galois理論 の定理「Wronski 行列式による 1 次独立性の判定」）。
関数の場合との違いを開く
証明は thm-wr-partial-converse と同じで、関数のときに必要だった「$W(y_1,\dots,y_{n-1})$ に零点がない」という仮定が、体では「$0$ でない元は割れる」ことで不要になる。連結な開集合上の有理型関数の体に適用すると、正則関数については $W\equiv0$ と 1 次従属が同値になる。
関連項目
- 前提: 行列式, 1次独立, 線形微分方程式
- 直後に読む: 定数変化法
- 比較: Vandermondeの行列式, Sturmの比較定理
- 発展: 微分Galois理論, Sturm–Liouville問題
参考文献
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