複素解析空間の特異点

$\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$ とみると、$\Phi$ は $C^\infty$ 級で、実の微分は複素線形写像 $J_\Phi$ を実線形写像とみたものであり、その行列式は $|\det J_\Phi|^2$ である。よって $p$ で実の微分は可逆で、逆関数定理 の定理「逆関数定理」により $D'$、$D''$ と $C^1$ 級の逆写像 $\Psi\colon D''\to D'$ があり、$D\Psi(w)=D\Phi(\Psi(w))^{-1}$ である。複素線形写像の逆は複素線形なので、$\Psi$ の微分は各点で複素線形であり、$\Psi$ の成分は各変数について Cauchy–Riemann の方程式を満たす $C^1$ 級関数、すなわち各変数について正則である。$\Psi$ は連続なので、多重円板 の定義「多変数の正則関数」により正則である。

2 を示す。$x$ のまわりの局所模型 $V(f_1,\dots,f_r)\subset D\subset\mathbb{C}^n$ をとり、$x=0$ とする。$s:=\operatorname{rank}J_f(0)$ とし、$f_i$ を並べ替えて $df_1(0),\dots,df_s(0)$ が一次独立とする。$j>s$ について $df_j(0)=\sum_{i\le s}c_{ji}df_i(0)$ と書き、$f_j$ を $f_j-\sum_{i\le s}c_{ji}f_i$ に取り替える。これはイデアル層 $(f_1,\dots,f_r)\mathcal{O}_D$ を変えないので局所模型も変わらず、$df_j(0)=0$（$j>s$）としてよい。座標を並べ替えて $\bigl(\partial f_i/\partial z_j(0)\bigr)_{i,j\le s}$ が可逆とすると、$$\Phi:=(f_1,\dots,f_s,z_{s+1},\dots,z_n)\colon D\to\mathbb{C}^n$$の Jacobi 行列は $0$ で可逆である。lem-cs-sing-ift により、$0$ の開近傍 $D'$ と開近傍 $D''$ があって $\Phi\colon D'\to D''$ は双正則である。$D''$ の座標を $u=(u_1,\dots,u_n)$ とすると $f_i=u_i\circ\Phi$（$i\le s$）なので、$\Phi$ は局所模型 $V(f_1,\dots,f_r)\cap D'$ を、$D''$ の中の局所模型 $V(u_1,\dots,u_s,\tilde g_{s+1},\dots,\tilde g_r)$（$\tilde g_j:=f_j\circ\Phi^{-1}$）に同型に写す。連鎖律により $d\tilde g_j(0)=df_j(0)\circ J_\Phi(0)^{-1}=0$ である。

$E:=\{u''\in\mathbb{C}^{n-s}\mid(0,u'')\in D''\}$、$\iota\colon E\to D''$、$u''\mapsto(0,u'')$、$g_j:=\tilde g_j\circ\iota$ とおく。$dg_j(0)=0$ である。制限 $h\mapsto h\circ\iota$ は層の射 $\mathcal{O}_{D''}/(u_1,\dots,u_s)\to\iota_\ast\mathcal{O}_E$ を定め、各点 $(0,p)$ での茎の写像 $\mathbb{C}\{u-(0,p)\}/(u_1,\dots,u_s)\to\mathbb{C}\{u''-p\}$ は lem-cs-sing-power-series の 1（平行移動したもの）により同型である。この同型は $\tilde g_j$ の類を $g_j$ に写すので、さらに割って $V(u_1,\dots,u_s,\tilde g)\cong V(g_{s+1},\dots,g_r)\subset E$ を得る。$E$ は $\mathbb{C}^{n-s}$ の開集合で、$n-s=\operatorname{emb}_xX$ である。

$x=0$ とし、$\mathfrak{p}:=I_0(A)$ とする。$\mathfrak{p}=0$ なら $A$ は原点の近傍を含み、そこで $I_y(A)=0$、次元は $n$ である（lem-cs-sing-power-series の 2）。$\mathfrak{p}\ne0$ のとき、Cartanの連接定理 の補題「有限分岐被覆としての局所表示」の座標・整数 $d_0$・$U$・$V$・$V^0$・$Q_j$ をとる（$U\subset D$ にとる）。$V$ の原点での芽は $V_0(\mathfrak{p})=(A,0)$ なので（解析集合(複素解析) の命題「芽とイデアルの対応」の 2）、原点の開近傍 $W\subset U$ で $A\cap W=V\cap W$ となるものがあり、$y\in A\cap W$ では $I_y(A)=I_y(V)$ である。$y\in A\cap W$ について $R_y:=\mathcal{O}_{D,y}/I_y(V)$、$S_y:=\mathbb{C}\{z'-y'\}$ とし、$S_y\to R_y$ を $z'$ だけの関数の芽の像とする。

有限性。 $Q_j(z',z_j)$ は $V$ の上で $0$ なので $I_y(V)$ に属する。$y_j$ は $Q_j(y',\cdot)$ の $e_j\ge1$ 重の根なので、Cartanの連接定理 の補題「モニック多項式の分解」で $Q_j=W_jH_j$（$H_j(y',y_j)\ne0$）と書くと、$W_j(z',z_j)=H_j^{-1}Q_j(z',z_j)\in I_y(V)$ である。$W_j$ は $z_j-y_j$ の Weierstrass 多項式で係数は $z'$ だけによるので、Weierstrass の割り算（Weierstrassの予備定理 の定理「Weierstrass の割り算定理」を $y$ に平行移動したもの）を $W_{d_0+1},\dots,W_n$ について順に行うと、$\mathcal{O}_{D,y}$ の任意の元は $I_y(V)$ を法として、$z_j$ の次数が $e_j$ 未満で係数が $S_y$ の元である $z''$ の多項式に等しい。よって $R_y$ は $S_y$ 上の有限生成加群である。

単射性。 $c\in S_y$ の像が $0$、すなわち $c$ が $y$ の近傍 $E\times N''$（$E\subset U'$ は $c$ が正則な連結な近傍）で $V$ の上で $0$ であるとする。Cartanの連接定理 の補題「有限分岐被覆としての局所表示」の 3 により $V^0\cap(E\times N'')$ は空でなく、その点 $x_1$ の近くで $V$ はグラフ $z''=F(z')$ なので（同じ補題の 2）、$x_1'$ の近傍 $E_1\subset E$ の上で $c=0$ である。一致の定理により $E$ の上で $c=0$ である。

次元。 $R_y$ は $S_y$ を部分環とする整拡大なので（整拡大 の定理「有限生成な加群による判定」）、$\dim R_y=\dim S_y=d_0$ である（同じ記事の系「整拡大と Krull 次元」、lem-cs-sing-power-series の 2）。$y=0$ として $d=d_0$ を得る。$\square$

被約な場合への帰着。 prop-cs-sing-nonreduced により $\operatorname{Sing}X=\operatorname{Sing}X_{\mathrm{red}}\cup N(X)$ であり、$N(X)$ は解析的部分集合である（複素空間の被約化 の定理「冪零元の層の連接性」）。$X_{\mathrm{red}}$ は $X$ と同じ台をもつ複素空間なので、1 は $X$ が被約な場合に示せばよい。

被約な空間の局所表示。 $X$ を被約とし、$x\in X$ のまわりの局所模型 $V(f_1,\dots,f_r)\subset D$ をとって、その台を $A$ と書く。被約なので各点 $y\in A$ でイデアル $(f_1,\dots,f_r)_y$ は根基イデアルであり、Rückertの零点定理 の定理「Rückert の零点定理」によりそれは $I_y(A)$ に等しい。よって $\mathcal{O}_{X,y}=\mathcal{O}_{D,y}/I_y(A)$ である。$x$ での既約分解 $(A,x)=X_1\cup\dots\cup X_m$（解析集合(複素解析) の定理「既約分解」）をとり、Cartanの連接定理 の定理「Cartan の連接定理」の証明と同じく、$x$ の開近傍 $W$ と $W$ の解析集合 $A_1,\dots,A_m$ を次を満たすようにとる。(a) $(A_i,x)=X_i$ で、$A\cap W=\bigcup_iA_i$。(b) 各 $i$ について、有限個の $\varphi_{i,1},\dots,\varphi_{i,N_i}\in\mathcal{O}(W)$ がすべての $y\in W$ で $I_y(A_i)$ を生成する（同じ定理を $A_i$ に使う）。(c) $d_i:=\dim\mathcal{O}_{D,y}/I_y(A_i)$ は $y\in A_i$ によらない（lem-cs-sing-prime-pure）。(d) $i\ne k$ なら $A_i\cap A_k$ は $A_i$ の中で内部をもたない。(d) は、$X_i\not\subset X_k$ なので $g\in I_x(A_k)\setminus I_x(A_i)$ がとれ、$W$ を小さくとれば $g$ は $A_k$ の上で $0$ で、解析集合(複素解析) の補題「素イデアルに属さない関数」により $A_i$ のどの空でない開集合の上でも恒等的に $0$ でないことによる。

特異点集合の記述。 $W$ の上で$$\operatorname{Sing}X\cap W=\bigcup_i\operatorname{Sing}A_i\ \cup\ \bigcup_{i\ne k}(A_i\cap A_k)$$を示す。ここで $\operatorname{Sing}A_i$ は局所模型 $V(\varphi_{i,1},\dots,\varphi_{i,N_i})\subset W$ の特異点集合で、(b) によりこの局所模型の茎は $\mathcal{O}_{D,y}/I_y(A_i)$ である。$y\in A_i\cap A_k$（$i\ne k$）が $X$ の正則点だったとすると、正則局所環は整域なので（AM69 Theorem 11.22・Lemma 11.23）$I_y(A)$ は素イデアルである。$I_y(A)=\bigcap_jI_y(A_j)$ であり（$y\notin A_j$ なら $I_y(A_j)=\mathcal{O}_{D,y}$）、素イデアルが有限個のイデアルの共通部分に等しければ、それはイデアルの積を含むのでどれか 1 つを含み、そのイデアルに等しい。よってある $j$ で $I_y(A)=I_y(A_j)$、すなわち $(A,y)=(A_j,y)$ であり（解析集合(複素解析) の命題「芽とイデアルの対応」の 3）、$i,k$ のうち $j$ と異なるほう、たとえば $i$ について、$y$ の近くで $A_i\subset A_j$ となる。これは $A_i\cap A_j$ が $A_i$ の空でない開集合を含むことであり、(d) に反する。よって $A_i\cap A_k\subset\operatorname{Sing}X$ である。次に、$y\in A_i$ がほかの $A_k$ に属さなければ、$y$ の近くで $A=A_i$ なので $\mathcal{O}_{X,y}=\mathcal{O}_{D,y}/I_y(A_i)$ であり、$y\in\operatorname{Sing}X$ と $y\in\operatorname{Sing}A_i$ は同値である。2 つを合わせると等式を得る。

解析性。 (b)・(c) により $\operatorname{Sing}A_i$ は $W$ の上で純 $d_i$ 次元の局所模型の特異点集合なので、thm-cs-sing-pure の 2 により解析的部分集合である。$A_i\cap A_k$ も解析的で、有限個の解析的部分集合の和は解析的なので（解析集合(複素解析) の命題「解析集合の基本性質」の 2）、$\operatorname{Sing}X\cap W$ は解析的である。解析的であることは局所的な性質なので 1 を得る。

稠密性。 $X$ が被約なら、局所模型の台 $A$ の正則点（解析集合(複素解析) の定義「正則点と次元」の意味）の全体は $A$ で稠密である（同じ記事の定理「正則点の稠密性」）。$y$ がその意味の正則点なら、座標の番号を付け替えて、$y$ の近くで $A$ は $z''=F(z')$（$z'\in\mathbb{C}^k$）の形のグラフである。正則な座標変換 $(z',z'')\mapsto(z',z''-F(z'))$ で $A$ は $\{u''=0\}$ に写り、その上で消える芽のイデアルは各点で $u''$ の成分で生成される（lem-cs-sing-power-series の 1 を平行移動したもの）。よって $y$ の近くでは $u''$ の $n-k$ 個の成分（を元の座標で書いたもの）が $I_{y_1}(A)$（$y_1$ は $y$ の近くの点）を生成し、$X$ の局所模型を与える。その Jacobi 行列の階数は関数の個数 $n-k$ に等しいので、thm-cs-sing-regular-point の 5 により $y$ は $X$ の正則点である。したがって $X\setminus\operatorname{Sing}X$ は稠密である。$\square$

$S:=\operatorname{Sing}X$ とし、局所模型 $A\subset D$ を上のとおりとる。$S$ は $A$ の解析的部分集合なので $D$ の解析集合である。$I_x(S)$ が単元を含むなら、$x$ の近くで $S$ は空になり $x\in S$ に反する。$I_x(S)=(\bar f)$（$f\in\mathcal{O}_{D,x}$、$\bar f$ はその像）と仮定して矛盾を導く。$\bar f$ は単元でないので $f(x)=0$ である。

同じ生成元が近くでも生成する。 Cartanの連接定理 の定理「Cartan の連接定理」により、$x$ の開近傍 $W$ と、すべての $y\in W$ でそれぞれ $I^D_y(S)$、$I_y(A)$ を生成する $\varphi_1,\dots,\varphi_N\in\mathcal{O}(W)$、$\psi_1,\dots,\psi_M\in\mathcal{O}(W)$ がある。$\varphi_{j,x}\in I^D_x(S)=(f)+I_x(A)$ なので、$W$ を縮めて $f$ を $W$ 上の正則関数とし、$\varphi_j=a_jf+\sum_kb_{jk}\psi_k$ が $W$ の上で成り立つとしてよい。$f$ は $S$ の近くで $0$ なので、さらに縮めて $f$ は $S\cap W$ の上で $0$ とする。すると $y\in W$ で $I^D_y(S)=(f_y)+I_y(A)$、すなわち $I_y(S)=(\bar f_y)$ である。とくに $y\in A\cap W$、$y\notin S$ なら $I_y(S)=\mathcal{O}_{X,y}$ なので $f(y)\ne0$ であり、$A\cap W\cap Z(f)=S\cap W$ である。

$\bar f$ は零因子でない。 $y\in A\cap W$ とし、$(A,y)$ の既約分解を $Y_1\cup\dots\cup Y_t$ とすると、$\mathcal{O}_{X,y}$ の極小素イデアルは $I_y(Y_i)$ の像 $\mathfrak{P}_i$ で、被約なので $\bigcap_i\mathfrak{P}_i=0$ である。$\bar f_y\notin\mathfrak{P}_i$ がすべての $i$ で成り立てば、$\bar f_yh=0$ から各 $i$ で $h\in\mathfrak{P}_i$、よって $h=0$ である。$\bar f_y\in\mathfrak{P}_i$、すなわち $f$ が $y$ の近くで $Y_i$ の上で $0$ だとする。$Y_i$ は既約でほかの $Y_k$ に含まれないので、$(Y_i,y)\not\subset\bigcup_{k\ne i}(Y_k,y)$ である（含まれれば $Y_i=\bigcup_{k\ne i}(Y_i\cap Y_k)$ と既約性からある $Y_k$ に含まれる）。よって $y$ のどの近傍にも、$Y_i$ に属しほかの $Y_k$ に属さない点 $y_1$ がある。$y_1$ の近くでは $A=Y_i$ なので、$f$ は $A$ の $y_1$ の近傍の上で $0$ であり、その近傍は $S$ に含まれる。これは $A\setminus S$ が稠密であること（thm-cs-sing-general の 2）に反する。

$S$ の正則点での計算。 $S\cap W$ は $x$ を含む空でない解析集合なので、その正則点 $y$（解析集合(複素解析) の定理「正則点の稠密性」）がある。prf-cs-sing-general の稠密性の段と同じく、座標の番号を付け替えて $y$ の近くで $S$ が $e$ 次元のグラフであるとすると、$\mathcal{O}_{D,y}/I^D_y(S)\cong\mathbb{C}\{u_1,\dots,u_e\}$ であり、これは次元 $e$ の正則局所環である。一方 $\mathcal{O}_{D,y}/I^D_y(S)=\mathcal{O}_{X,y}/(\bar f_y)$ で、$\bar f_y$ は極大イデアル $\mathfrak{m}_y$ に属する零因子でない元なので、$d:=\dim\mathcal{O}_{X,y}$ について $e=d-1$ である（AM69 Corollary 11.18）。商の極大イデアルを生成する $e$ 個の元を $\mathfrak{m}_y$ の元 $g_1,\dots,g_e$ に持ち上げると、$a\in\mathfrak{m}_y$ の像は $\sum_i\bar b_i\bar g_i$ と書けるので $a-\sum_ib_ig_i\in(\bar f_y)$ であり、$\mathfrak{m}_y=(\bar f_y,g_1,\dots,g_e)$ である。よって $\operatorname{emb}_yX=\dim_{\mathbb{C}}\mathfrak{m}_y/\mathfrak{m}_y^2\le e+1=d$ であり、$d\le\operatorname{emb}_yX$（埋め込み次元 の定理「次元不等式と正則局所環」）と合わせて $y$ は $X$ の正則点である。これは $y\in S=\operatorname{Sing}X$ に反する（$\bar f=0$ の場合は、零因子でないことを示す段ですでに矛盾が生じている）。$\square$

$R$ は Noether 環なので極小素イデアルは有限個で（極小素イデアル の定理「Noether環における有限性」）、$\mathfrak{P}_1,\dots,\mathfrak{P}_s$ とすると $s\ge1$、被約なので $\bigcap_i\mathfrak{P}_i=0$ である。すべての $\mathfrak{P}_i$ の外にある元は零因子でない（$ch=0$ なら各 $i$ で $h\in\mathfrak{P}_i$）。$s\ge2$ と仮定する。$I:=\mathfrak{P}_1$、$J:=\mathfrak{P}_2\cap\dots\cap\mathfrak{P}_s$ とおくと $I\cap J=0$ である。$k\ge2$ なら $I\not\subset\mathfrak{P}_k$ であり、$J$ は $b_j\in\mathfrak{P}_j\setminus\mathfrak{P}_1$ の積 $\prod_{j\ge2}b_j\notin\mathfrak{P}_1$ を含むので $J\not\subset\mathfrak{P}_1$ である。よって $I+J$ はどの $\mathfrak{P}_k$ にも含まれず、素イデアル回避 の定理「有限素イデアル回避補題」により $c=f+g$（$f\in I$、$g\in J$）ですべての $\mathfrak{P}_k$ の外にあるものがある。$c$ は零因子でなく、$fg\in I\cap J=0$ から $fc=f^2$ なので、$e:=f/c\in Q(R)$ は $e^2=e$ を満たし、$R$ 上整である。$e\in R$ なら、$e+(1-e)=1$ と局所性から $e$、$1-e$ の一方は単元で、$e(1-e)=0$ から他方は $0$ である。$e=0$ なら $f=0$、$c=g\in\mathfrak{P}_2$ となり、$e=1$ なら $g=0$、$c=f\in\mathfrak{P}_1$ となって、どちらも $c$ の選び方に反する。よって $e\notin R$ であり、整閉性に反する。したがって $s=1$、$\mathfrak{P}_1=0$ で、$R$ は整域、$Q(R)$ はその商体である。$\square$

$x\notin\operatorname{Sing}X$ なら示すことはない。$x\in\operatorname{Sing}X$ とする。$R:=\mathcal{O}_{X,x}$ は被約なので $x\notin N(X)$ であり、$N(X)$ は閉集合なので（複素空間の被約化 の定理「冪零元の層の連接性」）、$X$ を $x$ の開近傍に取り替えて $X$ は被約としてよい。lem-cs-sing-normal-domain により $R$ は整閉整域である。$S:=\operatorname{Sing}X$、$I:=I_x(S)$、$d:=\dim R$ とおく。$(S,x)$ の既約分解を $S_1\cup\dots\cup S_t$ とすると、$I$ は $I_x(S_i)$ の像 $\mathfrak{P}_i$（素イデアル）の共通部分で、$\dim R/I=\max_i\dim R/\mathfrak{P}_i$ である（Krull次元 の命題「剰余環と次元」の 1）。$\dim R/I\ge d-1$ と仮定して矛盾を導く。

高さ 1 の素イデアル。 $I\ne0$ である（$I=0$ なら $(S,x)=(A,x)$ となり、$X\setminus S$ の稠密性に反する）。各 $\mathfrak{P}_i\supset I$ は $0$ でないので $\operatorname{ht}\mathfrak{P}_i\ge1$ で、$\dim R/\mathfrak{P}_i\le d-1$ である（同じ命題の 2）。よってある $i$、たとえば $i=1$ で $\dim R/\mathfrak{P}_1=d-1$ である。$\mathfrak{P}:=\mathfrak{P}_1$ の高さは $1$ である：$0\subsetneq\mathfrak{Q}\subsetneq\mathfrak{P}$ となる素イデアル $\mathfrak{Q}$ があれば、$\mathfrak{P}$ から始まる長さ $d-1$ の素イデアルの鎖の前に $\mathfrak{Q}$ を付けて $\dim R/\mathfrak{Q}\ge d$ となるが、$\operatorname{ht}\mathfrak{Q}\ge1$ から $\dim R/\mathfrak{Q}\le d-1$ であり、矛盾する。

離散付値環。 $R_{\mathfrak{P}}$ は Noether 局所整域で、次元は $\operatorname{ht}\mathfrak{P}=1$（Krull次元 の命題「局所化と次元」の 2）、整閉である（整閉整域 の定理「整閉整域の局所化」）。よって $R_{\mathfrak{P}}$ は離散付値環であり（離散付値環 の定理「整閉性による特徴づけ」）、その極大イデアル $\mathfrak{P}R_{\mathfrak{P}}$ は 1 つの元で生成される。生成元に $R\setminus\mathfrak{P}$ の元を掛けて、生成元 $t$ は $\mathfrak{P}$ に属するとしてよい。$\mathfrak{P}=(\pi_1,\dots,\pi_k)$ とすると、$\pi_i\in tR_{\mathfrak{P}}$、$t\in\sum_i\pi_iR_{\mathfrak{P}}$ の分母をそろえて、$s\in R\setminus\mathfrak{P}$ と $r_i,c_i\in R$ で$$s\,\pi_i=r_i\,t\quad(i=1,\dots,k),\qquad s\,t=\sum_ic_i\pi_i$$となるものがある。

近くの点へ移る。 局所模型 $A\subset D$ をとる。Cartanの連接定理 の定理「Cartan の連接定理」により、$x$ の開近傍 $W$ と、すべての $y\in W$ で $I^D_y(S_1)$ を生成する $W$ 上の正則関数があり、その像を $\pi_1,\dots,\pi_k$ にとってよい。$s,t,r_i,c_i$ を $W$ 上の $\mathcal{O}_X$ の切断に代表させ、$W$ を縮めて上の等式が $W$ の上で成り立ち、$S\cap W=\bigcup_iS_i$ となるようにする。$s\notin\mathfrak{P}$ なので $s$ は $x$ の近くで $S_1$ の上で恒等的に $0$ ではなく、解析集合(複素解析) の補題「素イデアルに属さない関数」により、$W$ を小さくとれば $S_1\cap W$ のどの空でない開集合の上でも恒等的に $0$ でない。同じ補題を $I_x(S_k)\setminus I_x(S_1)$ の元に使うと、$k\ne1$ の $S_1\cap S_k$ は $S_1\cap W$ の中で内部をもたない。有限個の内部をもたない閉集合の和は内部をもたないので、$y\in S_1\cap W$ で $s(y)\ne0$、$y\notin S_k$（$k\ne1$）となるものがある。$y$ の近くで $S=S_1$ なので $I_y(S)=(\pi_{1,y},\dots,\pi_{k,y})$ であり、$s_y$ は単元なので、等式から $\pi_{i,y}\in(t_y)$、$t_y\in I_y(S)$ である。よって $I_y(S)=(t_y)$ は単項イデアルである。一方 $y\in S=\operatorname{Sing}X$ で $X$ は被約なので、prop-cs-sing-ideal-nonprincipal に反する。$\square$

$z^2-w^3$ は $z$ について 2 次の Weierstrass 多項式なので、Weierstrassの予備定理 の定理「Weierstrass の割り算定理」により、任意の $h\in\mathbb{C}\{z,w\}$ は $h=q\,(z^2-w^3)+a(w)+b(w)z$（$a,b\in\mathbb{C}\{w\}$）と書ける。$\nu^\sharp(h)=a(t^2)+b(t^2)t^3$ の第 1 項は偶数次、第 2 項は奇数次の項だけからなるので、$\nu^\sharp(h)=0$ なら $a=b=0$、すなわち $h\in(z^2-w^3)$ である。像は $t^1$ の係数が $0$ の級数の全体であり、逆にそのような収束級数 $\sum c_kt^k$ は $a(w)=\sum_kc_{2k}w^k$、$b(w)=\sum_kc_{2k+3}w^k$（どちらも収束する）から得られる。$\mathbb{C}\{t\}$ は整域なので、その部分環と同型な $\mathcal{O}_{C,0}$ も整域である。最後に $\sum_ka_kt^k=\sum_ka_{2k}t^{2k}+t\sum_ka_{2k+1}t^{2k}$ で、右辺の 2 つの級数は $S$ に属する。

正則写像 $D_2\to Y$ は、点 $y$ と、$y$ 上の摩天楼層 $\mathbb{C}[\varepsilon]$ への $\mathbb{C}$ 代数の層の射、すなわち $\mathbb{C}$ 代数の局所準同型 $\theta\colon\mathcal{O}_{Y,y}\to\mathbb{C}[\varepsilon]$ からなる。$\theta(f)=\theta_0(f)+\delta(f)\varepsilon$ と書くと、$\varepsilon^2=0$ により $\theta$ が準同型であることは、$\theta_0$ が $\mathbb{C}$ 代数の準同型で、$\delta$ が $\mathbb{C}$ 線形かつ $\delta(fg)=\theta_0(f)\delta(g)+\theta_0(g)\delta(f)$ を満たすことと同値である。局所準同型なので $\theta_0(\mathfrak{m}_y)=0$、すなわち $\theta_0(f)=f(y)$ である。このとき $\delta(1)=2\delta(1)$ から $\delta(\mathbb{C})=0$、$f,g\in\mathfrak{m}_y$ なら $\delta(fg)=0$ なので、$\delta$ は $\mathfrak{m}_y/\mathfrak{m}_y^2$ 上の線形形式 $v\in T_yY$ で決まる。逆に $v$ から $\delta(c+f):=v(f\bmod\mathfrak{m}_y^2)$（$c\in\mathbb{C}$、$f\in\mathfrak{m}_y$）とおくと、$(c+f)(c'+f')=cc'+(cf'+c'f)+ff'$ から上の等式が成り立ち、局所準同型を得る。2 つの構成は互いに逆である。$Y$ が $y$ の近くで複素多様体なら、$\mathcal{O}_{Y,y}\cong\mathbb{C}\{u_1,\dots,u_m\}$ で、lem-cs-sing-power-series の 2 により $f\in\mathfrak{m}_y$ の類は $\sum_i\partial f/\partial u_i(y)\,u_i$ の類なので、式を得る。