J条件

$A$ 自身は新しい生成元を要しない有限型 $A$ 代数なので、J-2 の量化で $B=A$ とすれば J-1 を得る。J-1 で正則点集合が非空なら、その集合自身が非空開集合であるから J-0 である。
$C$ を有限型 $A$ 代数、$D$ を有限型 $C$ 代数とする。$C$ の有限個の $A$ 代数生成元と、$D$ の有限個の $C$ 代数生成元の像を合わせると、$D$ は有限型 $A$ 代数である。従って $A$ が J-2 なら $\operatorname{Reg}(D)$ は開であり、$C$ は J-2 となる。これらの環のNoether性は、Noether環上の有限変数多項式環とその商がNoetherであることによる。任意の商 $A/I$ は有限型 $A$ 代数であり、$A[1/f]\simeq A[U]/(fU-1)$ も有限型だから、二つの特殊例が従う。この証明は G 条件や普遍鎖状性の保存を用いない。$\square$

$\mathfrak p\in D(f)$ に対応する局所化環の素イデアルを $\mathfrak p'$ とすると、分数の普遍性から $(A[1/f])_{\mathfrak p'}\simeq A_{\mathfrak p}$ である。正則性を判定する局所環が同じだから集合の等式を得る。$\operatorname{Reg}(A)$ が開ならその $D(f)$ との交差も開である。逆に各 $\operatorname{Reg}(A)\cap D(f_i)$ が $D(f_i)$ 内で開なら、$D(f_i)$ 自体も全スペクトル内で開なので、その交差は全スペクトル内で開である。それらの和は $\operatorname{Reg}(A)$ となり、J-1 を得る。これは同一の局所環と開集合の比較であり、一般の正則点集合が常に開であるという主張ではない。$\square$

縮約の定義は $\mathfrak p=\{a\in A:a/1\in\mathfrak q\}$ である。$s\in S$ の像は単元なので素イデアルに入らず、$S$ は $\mathfrak p$ と交わらない。分数 $a/s$ が $\mathfrak q$ に入ることと $a/1$ が入ることは同値である。従って分母としてさらに逆にすべき元は、ちょうど分子が $\mathfrak p$ の外にある分数である。
具体的に
$$\frac{a/s}{b/t}\longmapsto\frac{at}{sb}$$
と定めると、$b/t\notin\mathfrak q$ から $b\notin\mathfrak p$、また $s\notin\mathfrak p$ なので右辺は $A_{\mathfrak p}$ の元である。逆方向は
$$\frac a b\longmapsto\frac{a/1}{b/1}$$
である。分数の等号はある分母を掛けると交叉積が一致することだから、いずれの写像も代表を変えても変わらない。二つの合成は元の分数に等しく、加法・乗法・単位元を保つ。よって環同型を得る。局所環の次元と余接空間の次元は環同型で保存され、正則性も同じである。$B=0$ なら素点がなく、この主張は空集合について成立する。$\square$

非零イデアル $I\subset k[T]$ に次数最小の非零多項式 $g$ を取る。任意の $f\in I$ を $g$ で割ると $f=qg+r$、$\deg r<\deg g$ である。$r\in I$ なので $r=0$、従って $I=(g)$ である。零イデアルも有限生成であり、環はNoetherである。非零素イデアルは既約多項式 $g$ によって生成され、商は体だから極大である。従って全素イデアルは $(0)$ と非零極大イデアルである。
$(0)$ での局所化は $k(T)$ という体で、次元も埋込次元も零となる。$\mathfrak p=(g)\ne0$ での局所化 $R=k[T]_{(g)}$ は極大イデアル $gR$ を持ち、素鎖は $(0)\subsetneq gR$ だけだから次元は1である。剰余体 $\kappa=k[T]/(g)$ に対する写像
$$\kappa\longrightarrow gR/g^2R,\qquad \bar a\longmapsto ag+g^2R$$
は全射である。$ag\in g^2R$ なら整域で $g$ を取消して $a\in gR$ となるので単射でもある。余接空間は一次元、従って $R$ は正則である。任意の局所化については、上の局所環同型で全素点の局所環がこの二種のどちらかとなる。Noether性も保存される。実際、局所化環のイデアル $J$ の縮約 $H=\{a:a/1\in J\}$ を取れば $J=S^{-1}H$、$H$ の有限生成元の像が $J$ を生成する。$\square$

$B$ の素イデアルは冪零元 $x$ を含み、$B/(x)=k[y]$ なので $\operatorname{Spec}B$ の点は $k[y]$ の素イデアルと対応する。$y$ を逆にした環では $xy=0$ から $x=0$ となるため
$$B[1/y]=k[y,1/y].$$
その局所環は、体または一変数多項式環の高さ一の局所環であり正則である。
$y$ を含む点は $\mathfrak m=(x,y)$ だけである。$B_{\mathfrak m}$ の次元は $k[y]_{(y)}$ と同じ $1$。定義関係は $(x,y)^2$ に入るので $x,y$ の像は $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の基底となり、埋込次元は $2$ である。従ってこの点は正則でない。
また $x$ の像はこの局所環で非零である。もし $s\notin(x,y)$ に対して $sx\in(x^2,xy)$ なら、多項式整域内で $x$ を約分して $s\in(x,y)$ となり矛盾する。極大イデアルの元はすべてこの非零元 $x$ を殺すので、極大イデアル内には非零因子がなく、深さは $0$。次元 $1$ と一致しない。
以上により $\operatorname{Reg}(B)=D(y)$ は開である。この計算は正則点開性と非CM性を同時に示すが、それだけで全有限型代数の正則点開性を検査したことにはならない。$\square$

J-0なら正則点だけからなる非空開集合 $U$ がある。その点 $\mathfrak p$ を一つ取る。Zariski位相の基本開が基底なので $\mathfrak p\in D(f)\subset U$ となる $f$ を取れる。反復局所化の補題により $A[1/f]$ の全局所環が正則となり、局所化のNoether性と合わせて正則環である。逆にこのような $f$ があれば $D(f)$ の全点が正則だからJ-0である。
$f$ が冪零なら全素イデアルに入るので $D(f)$ は空である。逆に $f$ が冪零でないなら $S=\{1,f,f^2,\ldots\}$ は零を含まない。$S$ と交わらないイデアルの包含順序にZornの補題を適用する。鎖の合併も $S$ と交わらず、極大のそのようなイデアル $P$ がある。$a,b\notin P$ なら $P+(a)$ と $P+(b)$ はそれぞれ $S$ に会う。従って $f^r=u+ca$、$f^t=v+db$ と書ける。もし $ab\in P$ なら積 $f^{r+t}$ が $P$ に入って矛盾する。よって $P$ は素で $f\notin P$、$D(f)$ は空でない。これは非空性の判定であって、正則性についての追加定理ではない。$\square$

$e=(1,0)$、$f=(0,1)$ とすると $e+f=1$、$ef=0$ である。素イデアル $P$ は一方を含み他方を含まない。従って全素イデアルは $P_1\times A_2$ または $A_1\times P_2$ である。前者の局所環は $(A_1)_{P_1}$、後者は $(A_2)_{P_2}$ と同型である。二つの成分は互いに素な開かつ閉の部分集合であり、スペクトルはその位相的直和となる。イデアルも $eI\oplus fI=I_1\times I_2$ に分解するので、両成分がNoetherなら有限生成性は直積に保存される。正則点集合も二成分の正則点集合の直和となり、J-1の主張が従う。非空の正則開集合があれば少なくとも一方の成分との交差が非空なので、J-0の主張も従う。
有限型 $A$ 代数 $B$ は、$e,f$ の像を使って $B\simeq eB\times fB$ に分解する。両因子は有限型 $A_i$ 代数である。実際、$B$ の有限代数生成元の $e$ 倍または $f$ 倍が対応因子を生成する。両 $A_i$ がJ-2なら両因子の正則点集合が開となり、$B$ の正則点集合も開となる。逆に $A$ がJ-2なら、任意の有限型 $A_1$ 代数は射影 $A\to A_1$ を通じて有限型 $A$ 代数でもある。従ってその正則点集合は開であり $A_1$ はJ-2となる。$A_2$ も同様である。零因子環を含む場合にも、空成分はこの分解から消えるだけで同じ計算が成立する。$\square$

まず $A[T]$ のイデアル $I$ を考える。$I=0$ は自明である。$J_n$ を、次数高々 $n$ の $I$ の多項式の $T^n$ 係数の集合とする。これはイデアルであり、$T$ 倍によって $J_n\subset J_{n+1}$ となる。Noether性からある $c$ 以降この列は一定である。各 $0\le n\le c$ で $J_n$ の有限生成元を取り、それぞれを次数高々 $n$ の $f_{ni}\in I$ の $T^n$ 係数として持ち上げる。零の $J_n$ では何も選ばない。
$g\in I$ の次数を $m$ とする。$m\le c$ なら最高次係数を $J_m$ の生成元で表し、対応する $f_{mi}$ の線形結合を引けば次数が下がる。$m>c$ なら $J_m=J_c$ を使い、$T^{m-c}f_{ci}$ の線形結合を引けば次数が下がる。この操作を有限回繰り返すと零になるので、選んだ有限個の多項式が $I$ を生成する。従って $A[T]$ はNoetherである。変数の数に関する帰納で有限変数多項式環もNoetherとなる。
任意の商 $R/K$ のイデアルの逆像は $R$ のイデアルであり、その有限生成元の像が商のイデアルを生成する。よって商もNoetherである。有限型代数は有限変数多項式環の商なので結論を得る。零環や零イデアルの枝では生成元の空族を使えばよく、最大次数を空集合から選ぶ必要はない。$\square$

$C=S^{-1}A$、$D$ を有限型 $C$ 代数とし、$D\simeq C[X_1,\ldots,X_n]/K$ と表示する。$C$ はNoetherであり、上の係数イデアルの証明からその有限変数多項式環もNoetherである。従って $K$ は有限個の多項式 $h_1,\ldots,h_r$ で生成される。各 $h_i$ に現れる有限個の係数の分母の積 $s_i\in S$ を取れば、$s_i h_i$ は $A[X_1,\ldots,X_n]$ の多項式 $g_i$ の像である。$s_i$ の像は $C$ で単元だから、$h_i$ と $g_i$ は同じイデアルを生成する。
$D_0=A[X_1,\ldots,X_n]/(g_1,\ldots,g_r)$ と置く。局所化と多項式を作る操作は、係数の分母を一つに合わせることによって可換し、商についても可換する。具体的に $(a+(g_i))/s$ を $a/s+(g_i)$ へ送る写像とその逆は、ある $t\in S$ を掛けて分子が $(g_i)$ に入るという零の判定からwell-definedとなる。よって $D\simeq S^{-1}D_0$ である。$D_0$ は有限型 $A$ 代数なので、J-2より正則点集合が開となる。反復局所化の局所環同型により $\operatorname{Reg}(D)$ は $\operatorname{Reg}(D_0)$ の逆像であり、開である。任意の有限型 $D$ でこれが成立するので $C$ はJ-2となる。$0\in S$ の場合は $C=0$、単位的な $C$ 代数も零環のみであり、同じ結論が空スペクトルから従う。$\square$

順方向は局所化保存から従う。逆方向では任意の有限型 $A$ 代数 $D$ を取る。環準同型に伴うスペクトル写像の逆像により $D(f_i)$ は $\operatorname{Spec}D$ も覆う。$D[1/f_i]$ は $A[1/f_i]$ 上有限型だから、その正則点集合は開である。すなわち全 $D[1/f_i]$ がJ-1である。J-1の基本開局所判定を $D$ に適用すると $D$ もJ-1となり、$A$ はJ-2である。被覆が無限族でも開集合の和の議論はそのまま成立し、有限被覆を追加仮定する必要はない。空スペクトルではJ-2の量化は零環のみとなる。$\square$