回転数

1：$t\mapsto|\gamma(t)-a|$ はコンパクトな $[\alpha,\beta]$ 上の正の連続関数なので、正の最小値 $\varepsilon$ をもつ。$\gamma$ は $[\alpha,\beta]$ 上で一様連続だから、分割 $\alpha=t_0< t_1<\dots< t_n=\beta$ を、同じ小区間 $[t_{j-1},t_j]$ に属する $s,t$ について $|\gamma(s)-\gamma(t)|<\varepsilon$ となるようにとれる。$t\in[t_{j-1},t_j]$ に対し
$$ q_j(t):=\frac{\gamma(t)-a}{\gamma(t_{j-1})-a} $$
とおくと、$|q_j(t)-1|=|\gamma(t)-\gamma(t_{j-1})|/|\gamma(t_{j-1})-a|<\varepsilon/\varepsilon=1$ なので $q_j(t)\in H$ である。$\gamma(\alpha)-a$ の偏角の 1 つ $\theta_0$ を選び、$j=1,\dots,n$ について順に
$$ \theta(t):=\theta(t_{j-1})+\operatorname{Arg}q_j(t)\qquad(t\in[t_{j-1},t_j]) $$
と定める（$\theta(t_0):=\theta_0$）。$q_j(t_{j-1})=1$、$\operatorname{Arg}1=0$ なので、隣り合う小区間の定義は分点で一致し、$\theta$ は $[\alpha,\beta]$ 上で連続である。$t\in[t_{j-1},t_j]$ について、帰納法の仮定 $\gamma(t_{j-1})-a=|\gamma(t_{j-1})-a|e^{i\theta(t_{j-1})}$ と $q_j(t)=|q_j(t)|e^{i\operatorname{Arg}q_j(t)}$ を掛け合わせると
$$ \gamma(t)-a=q_j(t)\bigl(\gamma(t_{j-1})-a\bigr)=|\gamma(t)-a|\,e^{i(\theta(t_{j-1})+\operatorname{Arg}q_j(t))}=|\gamma(t)-a|\,e^{i\theta(t)} $$
である。
2：$e^{i\theta_1(t)}=e^{i\theta_2(t)}$ だから、$(\theta_2(t)-\theta_1(t))/(2\pi)$ は各 $t$ で整数である。これは $[\alpha,\beta]$ 上の連続関数で整数値をとるので、中間値の定理 により定数である。

lem-wn-lift の証明の分割と $q_j$ をとり、さらに $\gamma$ が $C^1$ 級でない点をすべて分点に加えておく（分割を細かくしても証明の条件は保たれる）。$\operatorname{Log}w:=\log|w|+i\operatorname{Arg}w$ は $H$ 上の正則関数で $\operatorname{Log}'(w)=1/w$ を満たす（Cauchyの積分定理 の記事の命題「対数の主値の正則性」）。$[t_{j-1},t_j]$ 上で
$$ L(t):=\log|\gamma(t)-a|+i\theta(t)=\log|\gamma(t_{j-1})-a|+i\theta(t_{j-1})+\operatorname{Log}q_j(t) $$
である（実部・虚部をそれぞれ比べればよい）。右辺は小区間の内部で微分でき、合成関数の微分により
$$ L'(t)=\frac{q_j'(t)}{q_j(t)}=\frac{\gamma'(t)/(\gamma(t_{j-1})-a)}{(\gamma(t)-a)/(\gamma(t_{j-1})-a)}=\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-a} $$
である。$L$ は $[\alpha,\beta]$ 上で連続で、各小区間で $C^1$ 級なので、
$$ \oint_\gamma\frac{dz}{z-a}=\sum_{j=1}^n\int_{t_{j-1}}^{t_j}\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-a}\,dt=\sum_{j=1}^n\bigl(L(t_j)-L(t_{j-1})\bigr)=L(\beta)-L(\alpha) $$
である。$|\gamma(\beta)-a|=|\gamma(\alpha)-a|$ より実部は打ち消し合い、$L(\beta)-L(\alpha)=i(\theta(\beta)-\theta(\alpha))=2\pi i\,n(\gamma,a)$ を得る。

どれも偏角の連続な選び方を作って差を比べればよい。$\theta$ を $\gamma$ の $a$ から見た偏角の連続な選び方とする。
1：$(\gamma(t)-a)-0=\gamma(t)-a$ なので、$\theta$ はそのまま $\gamma-a$ の $0$ から見た偏角の連続な選び方である。
2：$\theta^-(t):=\theta(\alpha+\beta-t)$ は $\gamma^-$ の偏角の連続な選び方で、$\theta^-(\beta)-\theta^-(\alpha)=\theta(\alpha)-\theta(\beta)$ である。
3：$\theta_1,\theta_2$ をそれぞれ $\gamma_1,\gamma_2$ の偏角の連続な選び方とする。$\theta_1(\beta)$ と $\theta_2(\beta)$ はともに同じ複素数 $\gamma_1(\beta)-a$ の偏角だから、差は $2\pi$ の整数倍であり、$\theta_2$ に $2\pi$ の整数倍を足して $\theta_2(\beta)=\theta_1(\beta)$ にできる（lem-wn-lift の 2）。$[\alpha,\beta]$ 上で $\theta_1$、$[\beta,\delta]$ 上で $\theta_2$ に等しい関数は連続で、$\gamma$ の偏角の連続な選び方になる。その差は $\theta_2(\delta)-\theta_1(\alpha)=(\theta_2(\delta)-\theta_2(\beta))+(\theta_1(\beta)-\theta_1(\alpha))$ である。
4：$\theta_1,\theta_2$ をそれぞれ $\gamma_1,\gamma_2$ の $0$ から見た偏角の連続な選び方とすると、$\gamma_1\gamma_2=|\gamma_1||\gamma_2|e^{i(\theta_1+\theta_2)}=|\gamma_1\gamma_2|e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ なので、$\theta_1+\theta_2$ は $\gamma_1\gamma_2$ の偏角の連続な選び方である。商も同様に $\theta_1-\theta_2$ をとればよい。
5：$\theta\circ\varphi$ は $\gamma\circ\varphi$ の偏角の連続な選び方で、差は $\theta(\varphi(\beta'))-\theta(\varphi(\alpha'))=\theta(\beta)-\theta(\alpha)$ である。

三角不等式により $|\gamma_1(t)-a|\ge|\gamma_0(t)-a|-|\gamma_1(t)-\gamma_0(t)|>0$ なので、$a\notin\gamma_1^*$ である。$q(t):=\dfrac{\gamma_1(t)-a}{\gamma_0(t)-a}$ とおくと、$q$ は閉曲線で
$$ |q(t)-1|=\frac{|\gamma_1(t)-\gamma_0(t)|}{|\gamma_0(t)-a|}<1 $$
だから、$q(t)$ はいつも右半平面 $H$ にある。よって $\operatorname{Arg}\circ q$ は $q$ の $0$ から見た偏角の連続な選び方であり、$q(\beta)=q(\alpha)$ より $n(q,0)=(\operatorname{Arg}q(\beta)-\operatorname{Arg}q(\alpha))/(2\pi)=0$ である。$\gamma_1-a=(\gamma_0-a)\,q$ だから、prop-wn-basic の 1・4 により
$$ n(\gamma_1,a)=n(\gamma_1-a,0)=n(\gamma_0-a,0)+n(q,0)=n(\gamma_0,a) $$
である。

1：$a_0\notin\gamma^*$ とし、$d:=\min_t|\gamma(t)-a_0|>0$ とおく。$|a-a_0|< d$ なら、閉曲線 $\gamma_0:=\gamma-a_0$、$\gamma_1:=\gamma-a$ と点 $0$ について $|\gamma_1(t)-\gamma_0(t)|=|a_0-a|< d\le|\gamma_0(t)|$ が成り立つので、lem-wn-dog と prop-wn-basic の 1 により $n(\gamma,a)=n(\gamma-a,0)=n(\gamma-a_0,0)=n(\gamma,a_0)$ である。各点の近傍で一定な整数値関数は連続であり、連結な集合の上では一定である（値ごとの逆像が互いに交わらない開集合に分かれるため）。
2：$|a|>\rho$ とし、$\gamma_0$ を値がいつも $0$ の定数の閉曲線とする。$|\gamma(t)-\gamma_0(t)|=|\gamma(t)|\le\rho<|a|=|\gamma_0(t)-a|$ なので、lem-wn-dog により $n(\gamma,a)=n(\gamma_0,a)$ である。定数の曲線の偏角は定数にとれるので $n(\gamma_0,a)=0$ である。集合 $\{|a|>\rho\}$ は連結で $\gamma^*$ と交わらないので、$\mathbb{C}\setminus\gamma^*$ の 1 つの連結成分に含まれる。$\mathbb{C}\setminus\gamma^*$ の有界でない連結成分は $\{|a|>\rho\}$ と交わるので、この成分にほかならず、1 によりその上で $n(\gamma,a)=0$ である。

$H$ をホモトピーとする。$K:=[\alpha,\beta]\times[0,1]$ はコンパクトで、$|H-a|$ は $K$ 上の正の連続関数だから、正の最小値 $\varepsilon$ をもつ。$H$ は $K$ 上で一様連続なので、$\eta>0$ を、$|s-s'|<\eta$ ならすべての $t$ について $|H(t,s')-H(t,s)|<\varepsilon$ となるようにとれる。このとき
$$ |\gamma_{s'}(t)-\gamma_s(t)|<\varepsilon\le|\gamma_s(t)-a|\qquad(\alpha\le t\le\beta) $$
だから、lem-wn-dog により $n(\gamma_{s'},a)=n(\gamma_s,a)$ である。$0=s_0< s_1<\dots< s_N=1$ を $s_k-s_{k-1}<\eta$ となるようにとれば、$n(\gamma_0,a)=n(\gamma_{s_1},a)=\dots=n(\gamma_1,a)$ を得る。

1：定数の曲線の回転数は $0$ だから、thm-wn-homotopy による。3：$H(t,s):=(1-s)\gamma_0(t)+s\gamma_1(t)$ は連続で、$H(\alpha,s)=H(\beta,s)$ を満たし、仮定から $a$ を通らない。thm-wn-homotopy による。2：$c:=\gamma(\alpha)$ とし、$\gamma_1$ を値がいつも $c$ の定数の曲線とする。$D$ は凸なので線分 $[\gamma(t),c]$ は $D$ に含まれ、$a$ を通らない。3 と 1 による。

$p$ が根をもたないと仮定して矛盾を導く。$R:=1+\sum_{j=0}^{n-1}|c_j|$ とおき、$\gamma_1(t):=p(Re^{it})$、$\gamma_0(t):=(Re^{it})^n=R^ne^{int}$（$0\le t\le2\pi$）とする。
段 1（大きな円周の像は $n$ 回まわる）．$|z|=R\geq1$ のとき、$|z|^j\le R^{n-1}$（$j\le n-1$）だから
$$ |p(z)-z^n|\le\sum_{j=0}^{n-1}|c_j||z|^j\le\Bigl(\sum_{j=0}^{n-1}|c_j|\Bigr)R^{n-1}< R\cdot R^{n-1}=|z^n| $$
である。すなわち $|\gamma_1(t)-\gamma_0(t)|<|\gamma_0(t)-0|$ がすべての $t$ で成り立つ。lem-wn-dog により $n(\gamma_1,0)=n(\gamma_0,0)$ であり、$\gamma_0$ の偏角の連続な選び方は $\theta(t)=nt$ だから $n(\gamma_0,0)=n$ である。よって $n(\gamma_1,0)=n$ である。
段 2（円周を縮めると回転数は 0）．$H(t,s):=p(sRe^{it})$（$0\le t\le2\pi$、$0\le s\le1$）は連続で、$H(0,s)=H(2\pi,s)$ を満たし、仮定により値は $0$ にならない。$H(\cdot,1)=\gamma_1$ であり、$H(\cdot,0)$ は値がいつも $p(0)$ の定数の曲線である。thm-wn-homotopy により $n(\gamma_1,0)=n(H(\cdot,0),0)=0$ である。
段 1 と段 2 から $n=0$ となり、$n\geq1$ に反する。

矛盾なく定まること：基点を固定したホモトピー $H$ は $H(\alpha,s)=H(\beta,s)=b$ を満たすので、閉曲線としてのホモトピーであり、thm-wn-homotopy により回転数は類だけで決まる。準同型であること：道の積は 2 つの閉曲線をつないだものなので、prop-wn-basic の 3（区間のずらしは 5）による。
全射：$k\in\mathbb{Z}$ に対し $\gamma_k(t):=a+(b-a)e^{ikt}$（$0\le t\le2\pi$）は $b$ を基点とする閉曲線で、$b-a$ の偏角の 1 つを $\theta_0$ とすると $\theta(t)=\theta_0+kt$ が偏角の連続な選び方だから、$n(\gamma_k,a)=k$ である。
単射：準同型なので、$n(\gamma,a)=0$ なら $[\gamma]$ が単位元であることを示せばよい。$\gamma\colon[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}\setminus\{a\}$ を $b$ を基点とする閉曲線、$\theta$ をその偏角の連続な選び方とすると、$n(\gamma,a)=0$ より $\theta(\beta)=\theta(\alpha)=:\theta_0$ である。
$$ H(t,s):=a+|\gamma(t)-a|\,e^{i((1-s)\theta(t)+s\theta_0)},\qquad K(t,s):=a+\bigl((1-s)|\gamma(t)-a|+s|b-a|\bigr)e^{i\theta_0} $$
とおく。どちらも連続で、$a$ からの距離が正なので $a$ を通らない。$t=\alpha,\beta$ では $|\gamma(t)-a|=|b-a|$、$\theta(t)=\theta_0$ だから $H$ と $K$ の値はいつも $b$ であり、基点は固定される。$H(\cdot,0)=\gamma$、$H(\cdot,1)=K(\cdot,0)$、$K(\cdot,1)$ は値がいつも $a+|b-a|e^{i\theta_0}=b$ の定数の曲線である。よって $\gamma$ は基点を固定したまま定数の曲線にホモトピックであり、$[\gamma]$ は単位元である。