細分

反射性：$U\in\mathcal{U}$ に対し $U\subset U$ である。推移性：$W\in\mathcal{W}$ に対し、$\mathcal{W}\prec\mathcal{V}$ より $W\subset V$ となる $V\in\mathcal{V}$ があり、$\mathcal{V}\prec\mathcal{U}$ より $V\subset U$ となる $U\in\mathcal{U}$ がある。よって $W\subset U$ である。$\square$

1. $x\in X$ に対し $x\in U$、$x\in V$ となる $U\in\mathcal{U}$、$V\in\mathcal{V}$ があるので $x\in U\cap V$ であり、$\mathcal{U}\wedge\mathcal{V}$ は被覆である。各成員 $U\cap V$ は $U$ にも $V$ にも含まれる。(2) 二つの開集合の共通部分は開集合である。成員の個数は高々 $|\mathcal{U}|\cdot|\mathcal{V}|$ である。(3) $W\in\mathcal{W}$ に対し $W\subset U$、$W\subset V$ となる $U\in\mathcal{U}$、$V\in\mathcal{V}$ があるので $W\subset U\cap V\in\mathcal{U}\wedge\mathcal{V}$ である。$\square$

(1)⇒(2)：有限な部分被覆は有限な開細分である（ex-cover-refinement-subcover）。(2)⇒(3)：明らか。(3)⇒(1)：$\mathcal{U}$ を開被覆とし、有限な細分 $\mathcal{V}=\{V_1,\dots,V_k\}$ をとる。各 $i$ について $V_i\subset U_i$ となる $U_i\in\mathcal{U}$ を選ぶと、$X=\bigcup_iV_i\subset\bigcup_iU_i$ なので $\{U_1,\dots,U_k\}$ は $\mathcal{U}$ の有限な部分被覆である。$\square$

Lindelöf なら高々可算な部分被覆が可算細分である。逆に、開被覆 $\mathcal{U}$ の可算細分 $\mathcal{V}$ をとる。$X=\emptyset$ なら $\mathcal{U}$ の空な部分族が部分被覆なので、$X\neq\emptyset$ とし、$\mathcal{V}=\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ と添字づける（$\mathcal{V}$ は空でなく、有限個のときは同じ集合を繰り返す）。各 $n$ について $V_n\subset U_n$ となる $U_n\in\mathcal{U}$ を選ぶ（可算選択公理を用いる）。$X=\bigcup_nV_n\subset\bigcup_nU_n$ なので $\{U_n\}_n$ は高々可算な部分被覆である。$\square$

選択公理により、各 $V\in\mathcal{V}$ に対し $V\subset U_{\alpha(V)}$ となる $\alpha(V)\in A$ を一つ選ぶ。$W_\alpha:=\bigcup\{V\in\mathcal{V}\mid\alpha(V)=\alpha\}$ とおく（該当する $V$ がなければ $W_\alpha=\emptyset$）。
(1) $\alpha(V)=\alpha$ なる $V$ は $U_\alpha$ に含まれるので $W_\alpha\subset U_\alpha$ である。各 $V\in\mathcal{V}$ は $W_{\alpha(V)}$ に含まれるので $\bigcup_\alpha W_\alpha=\bigcup\mathcal{V}=X$ であり、$\{W_\alpha\}$ は被覆である。開集合の合併は開集合である。
(2) $x\in X$ に対し、$x$ の近傍 $N$ で、$N$ と交わる $\mathcal{V}$ の成員が $V_1,\dots,V_k$ の有限個であるものをとる。$N\cap W_\alpha\neq\emptyset$ ならば、$\alpha(V)=\alpha$ かつ $N\cap V\neq\emptyset$ となる $V\in\mathcal{V}$ があり、$V$ は $V_1,\dots,V_k$ のいずれかである。よって $N$ と交わる $W_\alpha$ の添字 $\alpha$ は $\alpha(V_1),\dots,\alpha(V_k)$ に限られ、有限個である。$\square$

$\mathcal{B}:=\{B(x,r)\mid x\in X,\ r>0,\ B(x,2r)\subset U\text{ となる }U\in\mathcal{U}\text{ が存在する}\}$ とおく。各 $x\in X$ はある $U\in\mathcal{U}$ に属し、$U$ は開集合なので $B(x,2r)\subset U$ となる $r>0$ があるから、$\mathcal{B}$ は $X$ の開被覆である。コンパクト性により $X=B(x_1,r_1)\cup\cdots\cup B(x_k,r_k)$ となる有限個の $B(x_i,r_i)\in\mathcal{B}$ がある（$X\neq\emptyset$ なので $k\ge1$）。各 $i$ について $B(x_i,2r_i)\subset U_i$ となる $U_i\in\mathcal{U}$ を一つずつとり（有限回の選択）、$\delta:=\min\{r_1,\dots,r_k\}>0$ とおく。
$y\in X$ をとると、$y\in B(x_i,r_i)$ となる $i$ がある。$z\in B(y,\delta)$ に対し、三角不等式より $d(z,x_i)\le d(z,y)+d(y,x_i)<\delta+r_i\le2r_i$ なので $z\in B(x_i,2r_i)\subset U_i$ である。よって $B(y,\delta)\subset U_i$ である。
最後の主張：$A\neq\emptyset$ の直径が $\delta$ 未満なら、$a\in A$ をとると任意の $x\in A$ について $d(a,x)\le\operatorname{diam}A<\delta$ なので $A\subset B(a,\delta)$ であり、$B(a,\delta)$ を含む $\mathcal{U}$ の成員に $A$ は含まれる。$\square$