Poincaré双対
概要
Poincaré双対（Poincaré duality）とは、$R$ 向き付けられた $n$ 次元閉多様体 $M$ で、基本類 $[M]\in H_n(M;R)$ とのキャップ積 $H^k(M;R)\to H_{n-k}(M;R)$、$\alpha\mapsto[M]\frown\alpha$ がすべての $k$ で同型になるという定理である。体係数ではカップ積の対 $H^k\times H^{n-k}\to F$ が完全対になり、Betti 数の対称性 $b_k=b_{n-k}$ や $\mathbb{CP}^n$ のコホモロジー環の決定が従う。$\mathbb{RP}^2$ では整係数の双対は破れるが $\mathbb{Z}/2$ 係数では成り立つ。同じ形の主張が de Rham・エタール・結晶コホモロジーでも成り立ち、Weil コホモロジーの公理の一つになる。
前提知識: 特異ホモロジー, 特異コホモロジー, 位相多様体, カップ積, 完全列, 可換環
動機
向き付け可能な閉曲面のBetti数は、球面で $1,0,1$、トーラスで $1,2,1$、種数 $g$ の閉曲面で $1,2g,1$ と、左右対称に並ぶ。Poincaré は多様体を胞体に分割し、$k$ 次元の胞体に $(n-k)$ 次元の「双対胞体」を対応させて、この対称性が $n$ 次元の閉多様体一般で成り立つことを見出した（Hat02 §3.3）。現代の言い方では、コンパクトで境界のない向き付け可能な $n$ 次元多様体 $M$ について、コホモロジー $H^k(M)$ とホモロジー $H_{n-k}(M)$ が基本類 $[M]$ とのキャップ積で同型になる。これが Poincaré 双対（Poincaré duality）である。
この定理は、多様体のコホモロジーが「自分自身と対になる」構造をもつことを述べる。体係数では $H^k$ と $H^{n-k}$ の間のカップ積の対が非退化になり、コホモロジー環の積の計算、Euler標数の消滅、交叉形式や符号数といった不変量の定義の基礎になる。さらに、同じ形の主張がde Rhamコホモロジー、エタールコホモロジー、結晶コホモロジーでも成り立ち、Weilコホモロジーの公理の一つとして採用される。本記事は位相多様体の特異（コ）ホモロジーに対する定理を主題にし、その帰結と例・反例を扱い、代数幾何での類似は言明と出典にとどめる。
仮定と定理
多様体と向き
$n$ を非負整数とする。位相空間 $M$ が $n$ 次元位相多様体であるとは、$M$ がHausdorff空間で第2可算公理を満たし、各点 $x\in M$ が $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相（同相写像）な開近傍をもつことをいう。開近傍 $U$ と同相 $U\cong\mathbb{R}^n$ の組を $x$ のまわりの座標近傍という（開集合と同相な近傍の中の開球をとればよい）。$M$ が閉多様体（closed manifold）であるとは、$M$ がコンパクト（コンパクト空間）であることをいう。境界をもつ多様体（境界付き多様体）は別に扱い、本記事で「多様体」といえば境界のないものを指す。
以下、$R$ を可換環（単位元をもつ）とし、$H_i(X;R)$、$H^i(X;R)$ で $R$ 係数の特異ホモロジー・特異コホモロジーを表す。ホモロジーの計算と向きの定義には、一点の補集合に関する相対ホモロジー（相対ホモロジー）$H_i(M,M\setminus\{x\};R)$ を用いる。
$M$ を $n$ 次元位相多様体、$x\in M$ とする。任意の $i$ について
$$
H_i(M,M\setminus\{x\};R)\cong\begin{cases}R&(i=n)\\0&(i\ne n)\end{cases}
$$
である。より正確には、$x$ のまわりの任意の座標近傍 $U\cong\mathbb{R}^n$（$x\mapsto0$）について、包含が誘導する写像 $H_i(U,U\setminus\{x\};R)\to H_i(M,M\setminus\{x\};R)$ は同型であり、$H_i(U,U\setminus\{x\};R)\cong H_i(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\{0\};R)\cong\tilde H_{i-1}(S^{n-1};R)$ である。
証明は Hat02 §3.3 冒頭と 2.20・2.14 に譲る。筋：$M$ は Hausdorff なので $Z:=M\setminus U$ は閉集合で開集合 $M\setminus\{x\}$ の内部に含まれ、切除定理（Hat02 2.20）により $(U,U\setminus\{x\})\hookrightarrow(M,M\setminus\{x\})$ は相対ホモロジーの同型を誘導する。対 $(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\{0\})$ の被約ホモロジー（被約ホモロジー）の長完全列（長完全列）で $\mathbb{R}^n$ は可縮（可縮空間）だから $H_i(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\{0\};R)\cong\tilde H_{i-1}(\mathbb{R}^n\setminus\{0\};R)$ であり、$\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ は $S^{n-1}$ を変位レトラクトにもつ（ホモトピー同値）ので、球面の被約ホモロジー（Hat02 2.14）から従う（$n=1$ では $S^0$ は 2 点、$n=0$ では $M\setminus\{x\}$ が $x$ の成分を含まないことから直接わかる）。
$M$ を $n$ 次元位相多様体とする。点 $x\in M$ における $R$ 係数の局所的な向きとは、$R$ 加群 $H_n(M,M\setminus\{x\};R)\cong R$ の生成元 $\mu_x$（$\mathbb{Z}$ 係数の生成元の $\mathbb{Z}\to R$ による像の単元倍）のことである。$M$ の $R$ 向き付け（$R$-orientation）とは、各点 $x$ に局所的な向き $\mu_x$ を対応させる関数であって、次の意味で局所的に整合するものをいう：各 $x\in M$ に対し、$x$ のまわりの座標近傍 $U\cong\mathbb{R}^n$ の中の有限半径の開球 $B\ni x$ と類 $\mu_B\in H_n(M,M\setminus B;R)$ が存在して、任意の $y\in B$ について、包含が誘導する写像 $H_n(M,M\setminus B;R)\to H_n(M,M\setminus\{y\};R)$ による $\mu_B$ の像が $\mu_y$ に等しい。$R$ 向き付けをもつとき $M$ は $R$ 向き付け可能であるという。$R=\mathbb{Z}$ のとき単に向き付け可能という。
$B$ が座標近傍内の有限半径の開球のとき、$H_n(M,M\setminus B;R)\to H_n(M,M\setminus\{y\};R)$（$y\in B$）は同型である（lem-poincare-duality-local-homology と同じ切除で $\mathbb{R}^n$ に帰着し、$\mathbb{R}^n\setminus B$ が $\mathbb{R}^n\setminus\{y\}$ の変位レトラクトであることによる）。$R=\mathbb{Z}/2$ では各 $H_n(M,M\setminus\{x\};\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ の生成元がただ一つなので整合性は自動的に満たされ、すべての位相多様体は $\mathbb{Z}/2$ 向き付け可能である。一方、$\mathbb{Z}$ 向き付け可能性は真の条件で、実射影空間 $\mathbb{RP}^2$ や Möbiusの帯は満たさない（ex-poincare-duality-rp2）。$\mathbb{Z}$ 向き付け $x\mapsto\mu_x$ があれば環準同型（環準同型）$\mathbb{Z}\to R$ による像 $x\mapsto\mu_x\otimes1$ は $R$ 向き付けであり、逆に、連結（連結空間）な $M$ が $R$ 向き付け可能であることは、$M$ が向き付け可能であるか、または $R$ で $2=0$ であることと同値である（向きの二重被覆（被覆空間）に沿って局所的な向きは $\mu\mapsto-\mu$ と移り合うので、向き付け不可能な $M$ 上で整合的な生成元 $u$ をとるには単元（単元）$u$ について $u=-u$、つまり $2=0$ が必要十分である。Hat02 §3.3）。可微分多様体の接束による向きとの一致、および「連結な $M$ が向き付け可能 $\iff$ 向きの二重被覆が非連結。とくに単連結（単連結空間）な多様体は向き付け可能」は Hat02 3.25 に譲る。
$M$ を連結な $n$ 次元閉多様体とする。
- $M$ が $R$ 向き付け可能で $x\mapsto\mu_x$ を $R$ 向き付けとすると、ただ一つの類 $[M]\in H_n(M;R)$ が存在して、任意の $x\in M$ について $[M]$ の $H_n(M,M\setminus\{x\};R)$ における像が $\mu_x$ に等しい。さらに、任意の $x$ について $H_n(M;R)\to H_n(M,M\setminus\{x\};R)$ は同型である。とくに $H_n(M;R)\cong R$。
- $M$ が $R$ 向き付け可能でなければ、$H_n(M;R)\to H_n(M,M\setminus\{x\};R)\cong R$ は単射で、その像は $\{r\in R\mid 2r=0\}$ である。とくに $M$ が向き付け不可能なら $H_n(M;\mathbb{Z})=0$。
- $i>n$ ならば $H_i(M;R)=0$。
1 の $[M]$ を（$R$ 向き付けに対する）$M$ の基本類（fundamental class）という。連結でない閉多様体では、各連結成分の基本類の和を基本類という。
証明は Hat02 3.26 とその基礎の補題 3.27 に譲る。筋：コンパクト集合 $A\subset M$ に対し「$A$ 上で整合的に与えた局所的な向きを制限にもつ $H_n(M,M\setminus A;R)$ の元がただ一つ存在し、$H_i(M,M\setminus A;R)=0$（$i>n$）」を示し、$A=M$ とする（$H_n(M,M\setminus M)=H_n(M)$）。$A$ が一つの座標近傍 $\mathbb{R}^n$ 内の凸コンパクト集合なら $\mathbb{R}^n\setminus A$ が $\mathbb{R}^n\setminus\{x\}$ の変位レトラクトなので明らかで、$A=A_1\cup A_2$ については三つ組の相対 Mayer–Vietoris完全列 $0=H_{n+1}(M,M\setminus(A_1\cap A_2))\to H_n(M,M\setminus A)\to H_n(M,M\setminus A_1)\oplus H_n(M,M\setminus A_2)\to H_n(M,M\setminus(A_1\cap A_2))$ で帰納的に示す。一般のコンパクト $A\subset\mathbb{R}^n$ は有限個の閉立方体の和集合で外側から近似して帰納極限で扱い、一般の $A$ は有限個の座標近傍に入るコンパクト集合の和集合として同じ論法で帰着する。2 は向きの二重被覆の切断の言葉で示され、3 は上の主張の一部である。
キャップ積
Poincaré 双対の写像はキャップ積で与えられる。以下、特異 $n$ 単体 $\sigma\colon\Delta^n=[v_0,\dots,v_n]\to X$ に対し、$\sigma|[v_0,\dots,v_k]$ で前の $k$ 次元の面への制限、$\sigma|[v_k,\dots,v_n]$ で後ろの $(n-k)$ 次元の面への制限を表す。カップ積 $\varphi\smile\psi$ は 特異コホモロジー の記事の定義（$(\varphi\smile\psi)(\sigma)=\varphi(\sigma|[v_0,\dots,v_p])\,\psi(\sigma|[v_p,\dots,v_{p+q}])$）に従う。
$X$ を位相空間、$k\le n$ とする。特異 $n$ 単体 $\sigma$ と余鎖 $\varphi\in C^k(X;R)$ に対し
$$
\sigma\frown\varphi:=\varphi\bigl(\sigma|[v_0,\dots,v_k]\bigr)\,\sigma|[v_k,\dots,v_n]\in C_{n-k}(X;R)
$$
と定め、これを $\sigma$ について $R$ 線型に延ばして得られる双線型写像 $C_n(X;R)\times C^k(X;R)\to C_{n-k}(X;R)$、$(c,\varphi)\mapsto c\frown\varphi$ をキャップ積（cap product）という。
符号と前後の面のとり方の規約は Hat02 に従う。文献によっては $\alpha\frown[M]$ と書き、余鎖を後ろの面で評価する規約をとるものもある。規約が違うと双対写像は符号 $\pm1$ だけ変わりうるが、同型であることと以下の帰結は変わらない。
$c\in C_n(X;R)$、$\varphi\in C^k(X;R)$、$\psi\in C^{n-k}(X;R)$ に対し次が成り立つ。
- $\partial(c\frown\varphi)=(-1)^k\bigl(\partial c\frown\varphi-c\frown\delta\varphi\bigr)$。
- $\psi(c\frown\varphi)=(\varphi\smile\psi)(c)$。
したがってキャップ積は輪体と余輪体の類の間に定まり、双線型写像 $H_n(X;R)\times H^k(X;R)\to H_{n-k}(X;R)$、$([c],[\varphi])\mapsto[c\frown\varphi]$ を誘導する。また $k=n$ のとき、$\varepsilon\colon C_0(X;R)\to R$ を各点を $1$ に送る添加写像とすると $\varepsilon(c\frown\varphi)=\varphi(c)$ である。
証明は Hat02 §3.3（キャップ積の導入部）に譲る。筋は次のとおり。線型性により $c=\sigma$ としてよい。$\partial\sigma=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma|[v_0,\dots,\hat v_i,\dots,v_n]$ と $\varphi$ のキャップ積を $i\le k$ の項と $i\ge k+1$ の項に分けると、$i\le k$ の項は $\sigma\frown\delta\varphi=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i\varphi(\sigma|[v_0,\dots,\hat v_i,\dots,v_{k+1}])\,\sigma|[v_{k+1},\dots,v_n]$ の $i\le k$ の項と一致して差 $\partial\sigma\frown\varphi-\sigma\frown\delta\varphi$ で打ち消し合い、残りは $(-1)^k\varphi(\sigma|[v_0,\dots,v_k])\,\partial(\sigma|[v_k,\dots,v_n])=(-1)^k\partial(\sigma\frown\varphi)$ にまとまる。これが 1 である。2 は両辺を定義で書けば同じ式になる。1 により、輪体と余輪体のキャップ積は輪体で、一方を境界（余境界）に替えると結果は境界になるので、キャップ積は類の間に矛盾なく定まる。最後の主張は 2 で $\psi=1\in C^0(X;R)$ とおけばよい（$1(c\frown\varphi)=\varepsilon(c\frown\varphi)$、$\varphi\smile1=\varphi$）。
キャップ積は連続写像 $f\colon X\to Y$ について $f_*(c\frown f^*\varphi)=f_*c\frown\varphi$ を満たし（定義から直接確かめられる。Hat02 §3.3）、相対版 $H_n(X,A;R)\times H^k(X;R)\to H_{n-k}(X,A;R)$ および $H_n(X,A;R)\times H^k(X,A;R)\to H_{n-k}(X;R)$ も同じ式で定まる。
Poincaré 双対定理
$M$ を $R$ 向き付け可能な $n$ 次元閉多様体とし、$[M]\in H_n(M;R)$ を $R$ 向き付けに対する基本類（thm-poincare-duality-fundamental-class）とする。このとき、すべての整数 $k$ について、基本類とのキャップ積
$$
D_M\colon H^k(M;R)\longrightarrow H_{n-k}(M;R),\qquad D_M(\alpha):=[M]\frown\alpha
$$
は $R$ 加群の同型である。とくに $k>n$ または $k<0$ のとき $H^k(M;R)=0$ であり、$M$ が連結なら $H^n(M;R)\cong H_0(M;R)\cong R$ である。
証明は Hat02 3.30（補題 3.36 と定理 3.35 を経由する）に譲る。次の節で証明の構造を述べる。$M$ が閉多様体でなくても、コンパクト台コホモロジーを使えば同じ形の定理が成り立つ（thm-poincare-duality-compact-support）。
証明
thm-poincare-duality-main の証明（Hat02 3.30・3.35・3.36）の構造を述べる。鍵は、コンパクトとは限らない向き付けられた多様体に対して定理を「コンパクト台コホモロジー」の形で一般化し、開集合について帰納法を回すことである。
段 1（コンパクト台コホモロジーと双対写像）．$R$ 向き付けられた $n$ 次元多様体 $M$ の開集合 $U$ に対し、コンパクト部分集合 $K\subset U$ を包含で順序づけた有向集合（有向集合）に沿った帰納極限 $H^k_c(U;R):=\varinjlim_KH^k(U,U\setminus K;R)$ を $U$ のコンパクト台コホモロジー（コンパクト台コホモロジー）という（$U$ がコンパクトなら $K=U$ が最大元で $H^k_c(U;R)=H^k(U;R)$）。各コンパクト $K\subset U$ に対し、thm-poincare-duality-fundamental-class の注意の補題により $U$ の向きに整合する類 $\mu_K\in H_n(U,U\setminus K;R)$ がただ一つ定まり、相対キャップ積 $\alpha\mapsto\mu_K\frown\alpha$ は $K\subset K'$ について両立する（$\mu_{K'}$ の制限が $\mu_K$）ので、帰納極限で写像 $D_U\colon H^k_c(U;R)\to H_{n-k}(U;R)$ が定まる。$U=M$ がコンパクトのときは $\mu_M=[M]$ であり、$D_M$ は定理の写像である。
段 2（$\mathbb{R}^n$ の場合）．原点を中心とする閉球 $\bar B_r$ の族が共終なので $H^k_c(\mathbb{R}^n;R)=\varinjlim_rH^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\bar B_r;R)$ であり、各項は $k=n$ で $R$、それ以外で $0$ である（lem-poincare-duality-local-homology のコホモロジー版）。$k=n$ では、lem-poincare-duality-cap-boundary の最後の式 $\varepsilon(\mu\frown\alpha)=\alpha(\mu)$ と普遍係数定理 $H^n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\bar B_r;R)\cong\operatorname{Hom}_R(H_n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n\setminus\bar B_r;R),R)$ により、$D_{\mathbb{R}^n}$ は生成元を $H_0(\mathbb{R}^n;R)\cong R$ の生成元に送る同型である。
段 3（Mayer–Vietoris による貼り合わせ）．開集合 $U,V\subset M$ について、コンパクト台コホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列 $\cdots\to H^k_c(U\cap V)\to H^k_c(U)\oplus H^k_c(V)\to H^k_c(U\cup V)\to H^{k+1}_c(U\cap V)\to\cdots$（コンパクト $K\subset U$、$L\subset V$ に関する三つ組の相対コホモロジーの Mayer–Vietoris 列の帰納極限としてつくる）とホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列 $\cdots\to H_{n-k}(U\cap V)\to H_{n-k}(U)\oplus H_{n-k}(V)\to H_{n-k}(U\cup V)\to H_{n-k-1}(U\cap V)\to\cdots$ を、縦の写像 $D_{U\cap V}$、$D_U\oplus D_V$、$D_{U\cup V}$、$D_{U\cap V}$ で結んだ図式は符号を除いて可換である（Hat02 3.36。連結準同型を含む四角の可換性がもっとも手間のかかる部分で、lem-poincare-duality-cap-boundary の 1 を鎖のレベルで使う）。したがって五項補題により、$D_{U\cap V}$、$D_U$、$D_V$ が同型なら $D_{U\cup V}$ も同型である。
段 4（増大列との両立）．開集合の増大列 $U_1\subset U_2\subset\cdots$ と $U=\bigcup_iU_i$ について、特異単体の像はコンパクトなので $H_*(U;R)=\varinjlim_iH_*(U_i;R)$、$U$ のコンパクト集合はある $U_i$ に含まれるので $H^k_c(U;R)=\varinjlim_iH^k_c(U_i;R)$ であり、$D$ はこれらの極限と両立する。よって各 $D_{U_i}$ が同型なら $D_U$ も同型である。添字が任意の全順序集合でも同じ論法が通用する。
段 5（帰納法）．$M$ が $\mathbb{R}^n$ の開集合なら、$M$ は可算個の凸開集合 $B_i$ の和集合であり、凸開集合は $\mathbb{R}^n$ と同相なので段 2 が使える。有限和 $B_1\cup\cdots\cup B_m$ は、$B_m\cap(B_1\cup\cdots\cup B_{m-1})=\bigcup_{i< m}(B_m\cap B_i)$ が $m-1$ 個の凸開集合の和集合であることから $m$ に関する帰納法と段 3 で、可算和は段 4 で扱う。一般の $M$ では、$D_U$ が同型となる開集合 $U\subset M$ の族は全順序部分族の和で閉じる（段 4）ので、Zornの補題により極大元 $U$ をもつ。$U\ne M$ なら $U$ に含まれない座標近傍 $V\cong\mathbb{R}^n$ をとると、$V$ と $U\cap V$（$\mathbb{R}^n$ の開集合）について $D$ は同型なので、段 3 により $D_{U\cup V}$ も同型となり、極大性に反する。よって $U=M$ である（第 2 可算なら Zorn の補題は可算個の座標近傍に関する帰納法で置き換えられる）。
以上で、任意の $R$ 向き付けられた $n$ 次元多様体 $M$（コンパクトでなくてよい）について $D_M\colon H^k_c(M;R)\to H_{n-k}(M;R)$ は同型であり、$M$ が閉多様体のときこれが thm-poincare-duality-main である。
帰結と補足
体係数の完全対と Betti 数
$M$ を $R$ 向き付けられた $n$ 次元閉多様体とする。カップ積とキャップ積を組み合わせて、双線型形式（双線型形式）
$$
\langle\ ,\ \rangle_M\colon H^k(M;R)\times H^{n-k}(M;R)\to R,\qquad\langle\alpha,\beta\rangle_M:=\varepsilon\bigl([M]\frown(\alpha\smile\beta)\bigr)=(\alpha\smile\beta)([M])
$$
を定める（$\varepsilon\colon H_0(M;R)\to R$ は添加写像）。lem-poincare-duality-cap-boundary の 2 により、Kronecker 対 $(\beta,z)\mapsto\beta(z)$ を用いて $\langle\alpha,\beta\rangle_M=\beta([M]\frown\alpha)=\beta(D_M\alpha)$ とも書ける。この対を Poincaré 双対の対、あるいはカップ積の対という。
$F$ を体、$M$ を $F$ 向き付けられた $n$ 次元閉多様体とする。このとき各 $k$ について $H^k(M;F)$ は有限次元の $F$ ベクトル空間であり、対 $\langle\ ,\ \rangle_M\colon H^k(M;F)\times H^{n-k}(M;F)\to F$ は完全対である。すなわち $\alpha\mapsto\langle\alpha,-\rangle_M$ と $\beta\mapsto\langle-,\beta\rangle_M$ がそれぞれ同型 $H^k(M;F)\to\operatorname{Hom}_F(H^{n-k}(M;F),F)$、$H^{n-k}(M;F)\to\operatorname{Hom}_F(H^k(M;F),F)$ を与える。
コンパクト多様体のホモロジー群 $H_j(M;\mathbb{Z})$ は有限生成（有限生成アーベル群）である（コンパクト多様体は有限な単体複体のレトラクトになる。Hat02 系 A.8・A.9）。ホモロジーの普遍係数定理 $H_j(M;F)\cong H_j(M;\mathbb{Z})\otimes F\oplus\operatorname{Tor}(H_{j-1}(M;\mathbb{Z}),F)$（Hat02 3A.3、Tor関手）により $H_j(M;F)$ は有限次元であり、コホモロジーの普遍係数定理（特異コホモロジー の記事の定理。体係数では $\operatorname{Ext}$ 項が消える）により $h\colon H^j(M;F)\to\operatorname{Hom}_F(H_j(M;F),F)$ は同型なので $H^j(M;F)$ も有限次元である。
$L\colon H^k(M;F)\to\operatorname{Hom}_F(H^{n-k}(M;F),F)$ を $L(\alpha)(\beta):=\langle\alpha,\beta\rangle_M=\beta(D_M\alpha)$ で定める。$V:=H_{n-k}(M;F)$、$\operatorname{ev}\colon V\to\operatorname{Hom}_F(\operatorname{Hom}_F(V,F),F)$ を $\operatorname{ev}(z)(\lambda)=\lambda(z)$ とすると $L(\alpha)=\operatorname{ev}(D_M\alpha)\circ h$、すなわち $L$ は合成
$$
H^k(M;F)\xrightarrow{\ D_M\ }V\xrightarrow{\ \operatorname{ev}\ }\operatorname{Hom}_F(\operatorname{Hom}_F(V,F),F)\xrightarrow{\ h^*\ }\operatorname{Hom}_F(H^{n-k}(M;F),F)
$$
である。$D_M$ は thm-poincare-duality-main により同型、$\operatorname{ev}$ は $V$ が有限次元なので同型（双対ベクトル空間の二重双対への自然な同型）、$h^*$ は同型 $h$ の双対なので同型である。よって $L$ は同型である。もう一方の $L'\colon H^{n-k}(M;F)\to\operatorname{Hom}_F(H^k(M;F),F)$、$L'(\beta)(\alpha)=\langle\alpha,\beta\rangle_M$ は、カップ積の次数付き可換性 $\alpha\smile\beta=(-1)^{k(n-k)}\beta\smile\alpha$ により、$k$ を $n-k$ に替えた $L$ の $\pm1$ 倍なので同型である。
- $M$ を向き付け可能な $n$ 次元閉多様体とすると、Betti数 $b_k(M):=\dim_{\mathbb{Q}}H^k(M;\mathbb{Q})$ について $b_k(M)=b_{n-k}(M)$ が成り立つ。
- 任意の $n$ 次元閉多様体 $M$ について、$\mathbb{Z}/2$ 係数の Betti 数 $d_k(M):=\dim_{\mathbb{Z}/2}H^k(M;\mathbb{Z}/2)$ は $d_k(M)=d_{n-k}(M)$ を満たす。
- $n$ が奇数なら、任意の $n$ 次元閉多様体 $M$ についてEuler標数 $\chi(M):=\sum_k(-1)^k\operatorname{rank}H_k(M;\mathbb{Z})$ は $0$ である。
1 と 2 は cor-poincare-duality-field から従う：完全対をもつ有限次元ベクトル空間 $H^k$ と $H^{n-k}$ は互いの双対に同型なので次元が等しい（2 ではすべての多様体が $\mathbb{Z}/2$ 向き付け可能であることを使う）。3 を示す。有限生成アーベル群 $H_k(M;\mathbb{Z})$ を階数 $r_k$ の自由部分と巡回群の直和に分解し、位数が偶数の巡回因子の個数を $t_k$ とする。$\mathbb{Z}/m\otimes\mathbb{Z}/2$ と $\operatorname{Tor}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z}/2)$ は $m$ が偶数なら $\mathbb{Z}/2$、奇数なら $0$ なので、ホモロジーの普遍係数定理 $H_k(M;\mathbb{Z}/2)\cong H_k(M;\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Z}/2\oplus\operatorname{Tor}(H_{k-1}(M;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}/2)$ とコホモロジーの普遍係数定理により $d_k(M)=\dim H_k(M;\mathbb{Z}/2)=r_k+t_k+t_{k-1}$ である（$t_{-1}=0$。$H_k(M;\mathbb{Z})=0$（$k>n$）は thm-poincare-duality-fundamental-class の 3）。よって
$$
\sum_k(-1)^kd_k(M)=\sum_k(-1)^kr_k+\sum_k(-1)^k(t_k+t_{k-1})=\chi(M)
$$
である（$t_k$ の項が交代和で打ち消し合う）。$n$ が奇数のとき、2 により $\sum_k(-1)^kd_k=\sum_k(-1)^kd_{n-k}=\sum_j(-1)^{n-j}d_j=-\sum_j(-1)^jd_j$ なので $\chi(M)=\sum_k(-1)^kd_k(M)=0$ である。
整数係数では、thm-poincare-duality-main の同型 $H^k(M;\mathbb{Z})\cong H_{n-k}(M;\mathbb{Z})$ と普遍係数定理を合わせると、自由部分と捩れ部分に分けた対称性が得られる。
$M$ を向き付けられた $n$ 次元閉多様体とし、$T^k\subset H^k(M;\mathbb{Z})$ を捩れ部分群（捩れ部分群）とする。
- カップ積の対は捩れを法として完全である：$\langle\ ,\ \rangle_M$ は $T^k\times H^{n-k}$ と $H^k\times T^{n-k}$ の上で $0$ であり、誘導される対 $\bigl(H^k(M;\mathbb{Z})/T^k\bigr)\times\bigl(H^{n-k}(M;\mathbb{Z})/T^{n-k}\bigr)\to\mathbb{Z}$ は、自由アーベル群の間の同型 $H^k/T^k\cong\operatorname{Hom}\bigl(H^{n-k}/T^{n-k},\mathbb{Z}\bigr)$ を誘導する（対の行列はユニモジュラーである）。
- $H_k(M;\mathbb{Z})$ と $H_{n-k}(M;\mathbb{Z})$ の自由部分の階数は等しく、$H_k(M;\mathbb{Z})$ の捩れ部分群と $H_{n-k-1}(M;\mathbb{Z})$ の捩れ部分群は同型である。
$H_j:=H_j(M;\mathbb{Z})$ は有限生成である（cor-poincare-duality-field の証明の冒頭）。コホモロジーの普遍係数定理の短完全列
$$
0\to\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(H_{k-1},\mathbb{Z})\to H^k(M;\mathbb{Z})\xrightarrow{\ h\ }\operatorname{Hom}(H_k,\mathbb{Z})\to0
$$
において、$\operatorname{Hom}(H_k,\mathbb{Z})=\operatorname{Hom}(H_k/\text{捩れ},\mathbb{Z})$ は有限生成自由アーベル群であり、$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(H_{k-1},\mathbb{Z})$ は $H_{k-1}$ の捩れ部分群に同型な有限群である（$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/m$、$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0$。Ext関手）。よって $\ker h$ は捩れ群で、捩れ元は自由群に $0$ で写るから $\ker h=T^k$ であり、$h$ は同型 $H^k/T^k\cong\operatorname{Hom}(H_k,\mathbb{Z})$ を誘導する。
対の式 $\langle\alpha,\beta\rangle_M=h(\beta)(D_M\alpha)$ により、$\beta\in T^{n-k}$ なら $h(\beta)=0$、$\alpha\in T^k$ なら $D_M\alpha$ は捩れ元で $\mathbb{Z}$ 値の準同型 $h(\beta)$ はそれを $0$ に送るので、いずれの場合も対は $0$ である。次に、$\alpha\mapsto\langle\alpha,-\rangle_M$ が誘導する写像 $H^k/T^k\to\operatorname{Hom}(H^{n-k}/T^{n-k},\mathbb{Z})$ を考える。次数付き可換性により $\langle\alpha,\beta\rangle_M=\pm h(\alpha)(D_M\beta)$ なので、この写像は、同型 $h\colon H^k/T^k\to\operatorname{Hom}(H_k,\mathbb{Z})$ と、同型 $D_M\colon H^{n-k}\to H_k$ が誘導する同型 $H^{n-k}/T^{n-k}\cong H_k/\text{捩れ}$ の双対 $\operatorname{Hom}(H_k/\text{捩れ},\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(H^{n-k}/T^{n-k},\mathbb{Z})$ との合成の $\pm1$ 倍であり、同型である。自由アーベル群 $A$ から $\operatorname{Hom}(B,\mathbb{Z})$ への同型を与える双線型形式 $A\times B\to\mathbb{Z}$ の基底に関する行列は正方で行列式が $\pm1$ なので、対はユニモジュラーである。これで 1 が示された。
2 について、$D_M$ により $H^{n-k}\cong H_k$、$H^{k+1}\cong H_{n-k-1}$ である。普遍係数定理により $H^{n-k}$ の自由部分の階数は $\operatorname{rank}H_{n-k}$、$H^{k+1}$ の捩れ部分群は $H_k$ の捩れ部分群に同型なので、$\operatorname{rank}H_k=\operatorname{rank}H_{n-k}$ であり、$H_k$ の捩れ部分群 $\cong T^{k+1}\cong$ $H_{n-k-1}$ の捩れ部分群である。
$n=4m$ の向き付けられた閉多様体では、$k=2m$ の対 $H^{2m}(M;\mathbb{Z})/T^{2m}\times H^{2m}(M;\mathbb{Z})/T^{2m}\to\mathbb{Z}$ は対称なユニモジュラー形式であり、これを $M$ の交叉形式、その符号数を $M$ の符号数という。$n=4m+2$ では対は交代的である。
例と反例
$n\ge1$ とし、$S^n$ に向き付けを与えて基本類 $[S^n]\in H_n(S^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ をとる。$D_{S^n}(1)=[S^n]\frown1=[S^n]$ は $H_n(S^n;\mathbb{Z})$ の生成元である。$H^n(S^n;\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(H_n(S^n;\mathbb{Z}),\mathbb{Z})$（普遍係数定理）の生成元 $\omega$ を $\omega([S^n])=1$ で定めると、lem-poincare-duality-cap-boundary の最後の式により $\varepsilon([S^n]\frown\omega)=1$ なので、$D_{S^n}(\omega)$ は $H_0(S^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元（一点の類）である。$0< k< n$ では両辺とも $0$ である。したがって $D_{S^n}$ は各次数で同型であり、対 $\langle1,\omega\rangle_{S^n}=1$ は完全である。
$n$ 次元トーラス $T^n=(S^1)^n$ は向き付け可能な閉多様体で、Künneth公式により $H^k(T^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{\binom nk}$ であり、$\binom nk=\binom n{n-k}$ は cor-poincare-duality-betti の対称性の例である。$n=2$ のとき $H^1(T^2;\mathbb{Z})$ は $a,b$ で生成され、$a\smile b=-b\smile a$ が $H^2(T^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ を生成し、$a\smile a=b\smile b=0$ である（特異コホモロジー の記事のトーラスの例）。基本類を $(a\smile b)([T^2])=1$ となるようにとると、対 $H^1\times H^1\to\mathbb{Z}$ の基底 $a,b$ に関する行列は $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ で、行列式 $1$ のユニモジュラーな交代形式である（prop-poincare-duality-integral）。
$n$ 次元複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ の整係数コホモロジー環は、$H^2(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元 $\alpha$ について
$$
H^*(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})
$$
である。これを Poincaré 双対から導く。使う事実は、加法的な構造 $H^k(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$（$0\le k\le2n$、$k$ 偶数）、その他で $0$（各偶数次元に一つずつ胞体をもつ CW複体の構造から従う。特異コホモロジー の記事の例、Hat02 3.12）と、$\mathbb{CP}^n$ が単連結（1 次元の胞体がない。Hat02 1.26）な $2n$ 次元閉多様体であり、したがって向き付け可能（Hat02 3.25）であることだけである。
$n$ に関する帰納法で「$\alpha^k$ が $H^{2k}(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})$ を生成する（$0\le k\le n$）」を示す。$n=0$ は自明である。$n\ge1$ とし、包含 $i\colon\mathbb{CP}^{n-1}\hookrightarrow\mathbb{CP}^n$ を考える。$\mathbb{CP}^n/\mathbb{CP}^{n-1}\cong S^{2n}$ なので $H^k(\mathbb{CP}^n,\mathbb{CP}^{n-1};\mathbb{Z})\cong\tilde H^k(S^{2n};\mathbb{Z})$ は $k\ne2n$ で $0$ であり、対の長完全列から $i^*\colon H^k(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\to H^k(\mathbb{CP}^{n-1};\mathbb{Z})$ は $k\le2n-2$ で同型である。$i^*$ は環準同型なので $i^*\alpha$ は $H^2(\mathbb{CP}^{n-1};\mathbb{Z})$ の生成元であり、帰納法の仮定により $i^*(\alpha^k)=(i^*\alpha)^k$ は $H^{2k}(\mathbb{CP}^{n-1};\mathbb{Z})$ を生成する（$k\le n-1$）から、$i^*$ が同型なので $\alpha^k$ は $H^{2k}(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})$ を生成する（$k\le n-1$）。残る $k=n$ について、$\mathbb{CP}^n$ のコホモロジーは捩れをもたないので、prop-poincare-duality-integral により対 $H^2(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\times H^{2n-2}(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\to\mathbb{Z}$ はユニモジュラーであり、両辺が $\alpha$、$\alpha^{n-1}$ で生成される階数 $1$ の自由群だから $\langle\alpha,\alpha^{n-1}\rangle_{\mathbb{CP}^n}=\pm1$ である。一方 $\langle\alpha,\alpha^{n-1}\rangle_{\mathbb{CP}^n}=\varepsilon([\mathbb{CP}^n]\frown\alpha^n)=\alpha^n([\mathbb{CP}^n])$ であり、$H^{2n}(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\to\mathbb{Z}$、$\theta\mapsto\theta([\mathbb{CP}^n])$ は同型（普遍係数定理と $H_{2n}\cong\mathbb{Z}[\mathbb{CP}^n]$）なので、$\alpha^n$ は $H^{2n}(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})$ の生成元である。次数の理由で $\alpha^{n+1}=0$ だから、環の同型 $\mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})\to H^*(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})$ が得られる。同じ論法は、偶数次元にだけ胞体をもつ閉多様体（四元数射影空間 $\mathbb{HP}^n$ など）にそのまま適用できる。
$\mathbb{RP}^2$ は 2 次元閉多様体で、整係数の（コ）ホモロジーは
$$
H_0\cong\mathbb{Z},\ H_1\cong\mathbb{Z}/2,\ H_2=0;\qquad H^0\cong\mathbb{Z},\ H^1=0,\ H^2\cong\mathbb{Z}/2
$$
である（Hat02 2.42 と普遍係数定理。特異コホモロジー の記事の例）。$H^1(\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z})=0\not\cong H_1(\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z})$、$H^2(\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\not\cong H_0(\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z})$ なので、整係数の Poincaré 双対 $H^k\cong H_{2-k}$ は成り立たない。これは thm-poincare-duality-main の仮定のうち $\mathbb{Z}$ 向き付け可能性が破れているためで、実際 $H_2(\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z})=0$ は thm-poincare-duality-fundamental-class の 2 のとおり基本類が存在しないことを示す。満たす性質：コンパクト、境界なし、位相多様体。満たさない性質：向き付け可能性。破る含意：「閉多様体ならば整係数で $H^k\cong H_{n-k}$」。一方、$\mathbb{Z}/2$ 係数では向き付け可能であり、prop-poincare-duality-rpn-mod2 により $H^*(\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z}/2)\cong(\mathbb{Z}/2)[\alpha]/(\alpha^3)$ で、対 $H^1\times H^1\to\mathbb{Z}/2$ は $\langle\alpha,\alpha\rangle=\alpha^2([\mathbb{RP}^2])=1$ により完全、$H^0\times H^2\to\mathbb{Z}/2$ も完全である。Betti 数で見れば、$\mathbb{Q}$ 係数の $1,0,0$ は対称でないが、$\mathbb{Z}/2$ 係数の $1,1,1$ は対称である（cor-poincare-duality-betti の 2）。同様のことは Kleinの壺や、任意の向き付け不可能な閉多様体で起こる。
$n\ge1$ とし、$\alpha$ を $H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ の生成元とする。このとき
$$
H^*(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong(\mathbb{Z}/2)[\alpha]/(\alpha^{n+1})
$$
である。とくに、$\mathbb{Z}/2$ 係数の Poincaré 双対の対 $H^k\times H^{n-k}\to\mathbb{Z}/2$ は $\langle\alpha^k,\alpha^{n-k}\rangle=1$ で与えられる完全対である。
加法的な構造 $H^k(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$（$0\le k\le n$）、その他で $0$ は、各次元に一つずつ胞体をもち胞体境界写像が $\mathbb{Z}/2$ 係数で $0$ になる CW 構造から従う（Hat02 2.42、3.12）。$\mathbb{RP}^n$ は $n$ 次元閉多様体（$S^n$ の対蹠写像による商空間）で $\mathbb{Z}/2$ 向き付け可能なので、cor-poincare-duality-field により $\mathbb{Z}/2$ 係数の対は完全である。
$n$ に関する帰納法で「$\alpha^k$ が $H^k(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$ を生成する（$0\le k\le n$）」を示す。$n=1$ では $\mathbb{RP}^1\cong S^1$ で自明である。$n\ge2$ とし、包含 $i\colon\mathbb{RP}^{n-1}\hookrightarrow\mathbb{RP}^n$ を考える。$\mathbb{RP}^n/\mathbb{RP}^{n-1}\cong S^n$ なので $H^k(\mathbb{RP}^n,\mathbb{RP}^{n-1};\mathbb{Z}/2)$ は $k\ne n$ で $0$ であり、対の長完全列から $i^*\colon H^k(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\to H^k(\mathbb{RP}^{n-1};\mathbb{Z}/2)$ は $k\le n-2$ で同型である。$k=n-1$ については、長完全列の末尾
$$
0\to H^{n-1}(\mathbb{RP}^n)\xrightarrow{i^*}H^{n-1}(\mathbb{RP}^{n-1})\xrightarrow{\delta}H^n(\mathbb{RP}^n,\mathbb{RP}^{n-1})\to H^n(\mathbb{RP}^n)\to H^n(\mathbb{RP}^{n-1})=0
$$
（係数 $\mathbb{Z}/2$）において、右の二つの群はともに $\mathbb{Z}/2$ でその間の写像は全射、よって同型であり、$\delta=0$ となって $i^*$ は $k=n-1$ でも同型である。$i^*$ は環準同型で $i^*\alpha$ は $H^1(\mathbb{RP}^{n-1};\mathbb{Z}/2)$ の生成元だから、帰納法の仮定により $i^*(\alpha^k)=(i^*\alpha)^k$ は $H^k(\mathbb{RP}^{n-1};\mathbb{Z}/2)$ を生成し、$i^*$ が同型なので $\alpha^k$ は $H^k(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$ を生成する（$k\le n-1$）。最後に $k=n$：完全対 $H^1\times H^{n-1}\to\mathbb{Z}/2$ において両辺は $\alpha$、$\alpha^{n-1}$ で生成される 1 次元空間なので $\langle\alpha,\alpha^{n-1}\rangle=\alpha^n([\mathbb{RP}^n])=1$、とくに $\alpha^n\ne0$ で $H^n(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ の生成元である。$\alpha^{n+1}=0$ は次数の理由による。対の値 $\langle\alpha^k,\alpha^{n-k}\rangle=\alpha^n([\mathbb{RP}^n])=1$ も同時に示された。
$n\ge1$ とし、閉円板 $D^n$ を考える。$D^n$ はコンパクトで向き付け可能な $n$ 次元の境界付き多様体（境界は $S^{n-1}$）であり、可縮なので $H^0(D^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$、$H_n(D^n;\mathbb{Z})=0$ で、$H^0\cong H_n$ は成り立たない。満たす性質：コンパクト、向き付け可能、境界を除けば局所 Euclid。満たさない性質：境界をもたないこと（境界の点は $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相な近傍をもたない）。破る含意：「コンパクトかつ向き付け可能なら $H^k\cong H_{n-k}$」。正しい形は境界を相対化した Lefschetz 双対（thm-poincare-duality-lefschetz）$H^k(D^n)\cong H_{n-k}(D^n,S^{n-1})$ で、実際 $H_n(D^n,S^{n-1};\mathbb{Z})\cong\tilde H_{n-1}(S^{n-1};\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}\cong H^0(D^n;\mathbb{Z})$ である。
- 8 の字 $X=S^1\vee S^1$（ウェッジ和）はコンパクトな 1 次元 CW 複体で、$\mathbb{Q}$ 係数の Betti 数 $1,2$ は対称でなく、1 次元閉多様体（円周の非交和）に対する $b_0=b_1$ が破れる。分岐点（2 つの円周の共有点）は $\mathbb{R}$ の開集合と同相な近傍をもたない。
- つぶしたトーラス $P:=S^2/(N\sim S)$（北極と南極を同一視した球面）は $S^2\vee S^1$ とホモトピー同値で（Hat02 例 0.8 と同じ論法）、$\mathbb{Q}$ 係数の Betti 数 $1,1,1$ は対称である。しかし $H^1(P;\mathbb{Q})$ は 1 次元で、その生成元 $\gamma$ は次数付き可換性から $\gamma\smile\gamma=-\gamma\smile\gamma$、よって $\gamma^2=0$ を満たすので、対 $H^1(P;\mathbb{Q})\times H^1(P;\mathbb{Q})\to H^2(P;\mathbb{Q})$ は恒等的に $0$ で退化し、cor-poincare-duality-field の結論が破れる（トーラス $T^2$ では ex-poincare-duality-torus のとおり対は完全である）。満たす性質：コンパクト、Hausdorff、$H_2(P;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$（「基本類」らしきものはある）。満たさない性質：同一視した点 $[N]$ の小さい近傍は $\mathbb{R}^2$ の開集合と同相でない（$[N]$ を除くと非連結になる）。破る含意：「コンパクトで $H_n\cong\mathbb{Z}$ なら体係数のカップ積の対は完全」。Betti 数の対称性だけでは足りず、対の非退化性まで含めて Poincaré 双対である。特異点をもつ空間で双対性を回復するには、交叉コホモロジーのように許容される鎖を制限する。
コンパクト台コホモロジー・Lefschetz 双対・Alexander 双対
閉多様体でない場合や境界をもつ場合には、定理は次の形で成り立つ。
$M$ を $R$ 向き付けられた $n$ 次元位相多様体（コンパクトでなくてよい）とする。このとき、コンパクト台コホモロジー $H^k_c(M;R)=\varinjlim_KH^k(M,M\setminus K;R)$ からのキャップ積 $D_M\colon H^k_c(M;R)\to H_{n-k}(M;R)$ はすべての $k$ について同型である。
これは Hat02 3.35 で、上の「証明」の節で閉多様体の場合と同時に示される。$M=\mathbb{R}^n$ では $H^n_c(\mathbb{R}^n;R)\cong R\cong H_0(\mathbb{R}^n;R)$ で、通常のコホモロジー $H^n(\mathbb{R}^n;R)=0$ とは異なる。双対の相手を取り替えて、通常のコホモロジー $H^k(M;R)$ と局所有限な鎖による Borel–Mooreホモロジー $H^{BM}_{n-k}(M;R)$ の同型として述べることもできる（Bre97 第 V 章）。
$M$ をコンパクトで $R$ 向き付けられた $n$ 次元の境界付き多様体、$\partial M$ をその境界とする。このとき基本類 $[M]\in H_n(M,\partial M;R)$ が存在し、キャップ積は同型
$$
H^k(M,\partial M;R)\cong H_{n-k}(M;R),\qquad H^k(M;R)\cong H_{n-k}(M,\partial M;R)
$$
を与える。また、$K\subset S^n$ を空でない真部分集合で、コンパクトかつ局所可縮（局所可縮空間）とすると、Alexander 双対 $\tilde H_i(S^n\setminus K;\mathbb{Z})\cong\tilde H^{n-i-1}(K;\mathbb{Z})$ が成り立つ。
証明は Hat02 3.43（Lefschetz 双対。境界の襟をつけて内部の開多様体に thm-poincare-duality-compact-support を適用する）と 3.44（Alexander 双対。Alexander双対）に譲る。Alexander 双対は Jordan曲線定理の高次元版（$K\cong S^{n-1}$ なら $\tilde H_0(S^n\setminus K)\cong\tilde H^{n-1}(K)\cong\mathbb{Z}$、すなわち補集合は 2 つの成分をもつ）を含む。
微分幾何と代数幾何での類似
Poincaré 双対は、特異コホモロジー以外の多くのコホモロジー理論で同じ形をとる。以下は言明だけを述べ、証明は出典に譲る。
$M$ を向き付けられた $n$ 次元の可微分多様体で有限個の開集合からなる良い開被覆をもつもの（たとえばコンパクトなもの）とする。微分形式の積分が定める双線型形式
$$
H^k_{dR}(M)\times H^{n-k}_{dR,c}(M)\to\mathbb{R},\qquad([\omega],[\eta])\mapsto\int_M\omega\wedge\eta
$$
（$H_{dR,c}$ はコンパクト台の de Rham コホモロジー）は完全対であり、$M$ がコンパクトなら $H^k_{dR}(M)\times H^{n-k}_{dR}(M)\to\mathbb{R}$ が完全対である。
BT82 定理 5.4（Mayer–Vietoris による帰納法で、上の「証明」の節と同じ構造の証明）。de Rham の定理 $H^k_{dR}(M)\cong H^k(M;\mathbb{R})$（de Rhamコホモロジー）のもとで外積（外積）はカップ積に、$\int_M$ は基本類 $[M]$ での評価に対応するので、$\int_M\omega\wedge\eta=([\omega]\smile[\eta])([M])$ であり、これは cor-poincare-duality-field の $F=\mathbb{R}$ の場合と一致する。向き付けられた閉部分多様体（閉部分多様体）$Z\subset M$ に対し、$\int_Z\omega=\int_M\omega\wedge\eta_Z$（$\omega$ はコンパクト台の閉形式）で特徴づけられる類 $\eta_Z\in H^{\operatorname{codim}Z}_{dR}(M)$ を $Z$ の Poincaré 双対類といい、横断的（横断的交叉）な交わりがカップ積に対応する（BT82 §6、GH78 第 0 章）。これが代数幾何のサイクル類写像とGysin写像の原型である。
$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上滑らか（滑らかな射）で固有（固有射）な連結 $d$ 次元スキーム、$\ell$ を $k$ の標数と異なる素数、$\Lambda=\mathbb{Z}/\ell^\nu$ とする。トレース同型 $\operatorname{Tr}\colon H^{2d}_{\text{ét}}(X,\Lambda(d))\cong\Lambda$ が存在し（$(d)$ はTate捻り）、カップ積の対
$$
H^r_{\text{ét}}(X,\Lambda)\times H^{2d-r}_{\text{ét}}(X,\Lambda(d))\to H^{2d}_{\text{ét}}(X,\Lambda(d))\cong\Lambda
$$
はすべての $r$ について完全である（有限 $\Lambda$ 加群の間の双対）。$\nu$ について極限をとり $\mathbb{Q}_\ell$ をテンソルすると、ℓ進コホモロジー $H^r_{\text{ét}}(X,\mathbb{Q}_\ell)\times H^{2d-r}_{\text{ét}}(X,\mathbb{Q}_\ell(d))\to\mathbb{Q}_\ell$ は有限次元 $\mathbb{Q}_\ell$ ベクトル空間の完全対であり、とくに $\ell$ 進 Betti 数について $b_r(X)=b_{2d-r}(X)$ である。
Mil80 第 VI 章 §11（定理 11.1、系 11.2）に譲る。$X$ が固有でない場合はコンパクト台コホモロジー $H^r_c$ を使い、thm-poincare-duality-compact-support と同じ形になる。$k=\mathbb{C}$ のとき、Artinの比較定理 $H^r_{\text{ét}}(X,\Lambda)\cong H^r(X^{an};\Lambda)$ により、この定理は複素多様体 $X^{an}$（複素多様体は複素構造から定まる向きをもつ）に対する thm-poincare-duality-main に帰着する。標数 $p$ の体上で $\ell=p$ ととると双対は破れ、$d\ge1$ なら $H^{2d}_{\text{ét}}(X,\mathbb{Z}/p)=0$ である（Weilコホモロジー の記事の反例）。$p$ 進の側で双対をもつのは結晶コホモロジーである。
$k$ を標数 $0$ の体、$X$ を $k$ 上滑らかで固有な純 $n$ 次元の幾何的に連結なスキームとする。トレース写像 $H^{2n}_{dR}(X/k)\cong k$ が存在し、カップ積 $H^i_{dR}(X/k)\times H^{2n-i}_{dR}(X/k)\to H^{2n}_{dR}(X/k)\cong k$ は有限次元 $k$ ベクトル空間の完全対である。
Har75 第 II 章に譲る（そこでは特異な多様体も含めた代数的 de Rham ホモロジーとの双対性として示される）。$k=\mathbb{C}$ では比較定理 $H^i_{dR}(X/\mathbb{C})\cong H^i(X^{an};\mathbb{C})$ により cor-poincare-duality-field に帰着する。正標数の固有かつ滑らかなスキームでも同じ言明が成り立つとされるが、本記事は出典を確かめた標数 $0$ の場合だけを述べる。連接層の側の対応物は Serre双対性 $H^i(X,\Omega^p)\times H^{n-i}(X,\Omega^{n-p})\to H^n(X,\Omega^n)\cong k$ であり、Hodge–de Rhamスペクトル系列を通じて de Rham 側の双対と両立する。
これらの理論に共通する形式（有限性、トレース $H^{2d}\cong K$、カップ積の完全対、Künneth 公式、サイクル類）を公理としてまとめたものが Weilコホモロジー であり、Poincaré 双対はその公理の一つとして要請される。公理から Lefschetz不動点公式 が形式的に従い（双対基底の存在が Poincaré 双対の役割である）、有限体上の多様体の合同ゼータ関数の関数等式も Poincaré 双対に由来する（$H^{2d}$ 上で Frobenius（Frobenius写像）が $q^d$ 倍で作用するので、$H^i$ の固有値 $\alpha$ に $H^{2d-i}$ の固有値 $q^d/\alpha$ が対応する）。これらは Weilコホモロジー の記事に譲る。層の言葉では、Poincaré 双対は固有射に対する Verdier双対 $Rf_*R\mathcal{H}om(F,f^!G)\cong R\mathcal{H}om(Rf_!F,G)$ の特別な場合（$f\colon M\to\text{点}$、$M$ が向き付けられた多様体なら $f^!R\cong R[n]$）であり（Bre97 第 V 章）、エタール景でも同じ形で定式化される。
関連項目
- 前提: 特異ホモロジー, 特異コホモロジー, 位相多様体, カップ積, キャップ積, 基本類, 向き, 普遍係数定理
- 比較: Lefschetz双対, Alexander双対, Serre双対性, Verdier双対, 交叉コホモロジー
- 直後に読む: コンパクト台コホモロジー, Borel–Mooreホモロジー, 交叉形式, 符号数, de Rhamコホモロジー, Künneth公式
- 発展: Weilコホモロジー, エタールコホモロジー, ℓ進コホモロジー, 結晶コホモロジー, サイクル類写像, Gysin写像, Lefschetz不動点公式, Hodge分解
参考文献
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