Albert–Brauer–Hasse–Noetherの定理
概要
Albert–Brauer–Hasse–Noetherの定理（Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem）とは、大域体 $K$ 上の $n^2$ 次元の中心単純環 $A$ は、すべての素点 $v$ で $A\otimes_KK_v\cong M_n(K_v)$ なら $A\cong M_n(K)$ である（$\operatorname{Br}(K)\to\prod_v\operatorname{Br}(K_v)$ が単射である）という定理である。Hasse の相互律などと合わせて完全列 $0\to\operatorname{Br}(K)\to\bigoplus_v\operatorname{Br}(K_v)\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to0$ をなす。標数 $2$ でない大域体上の四元数環は、偶数個の素点からなる分岐集合で決まる。
大域体 $K$ 上の中心単純環 $A$ が行列環 $M_n(K)$ と同型かどうかは、すべての素点 $v$ での完備化 $K_v$ に係数を広げたときに $M_n(K_v)$ と同型になるかどうかで判定できる。これが Albert–Brauer–Hasse–Noether の定理で、Brauer群 の言葉では制限写像 $\operatorname{Br}(K)\to\prod_v\operatorname{Br}(K_v)$ が単射であることをいう。中心単純環について Hasse 原理（Hasse原理）が成り立つ、と言い換えてもよい。名前は、これを示した Albert、Brauer、Hasse、Noether の 4 人による（GS06 Remark 6.5.6、p. 159）。
局所体の Brauer 群は局所類体論により $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ と同一視でき、その同一視を局所不変量という。定理は、大域的な類が局所不変量の族で決まることを述べ、さらに局所不変量の和がつねに $0$ になること（Hasse の相互律）と、和が $0$ の族はすべて大域的な類から来ることと合わせて、完全列
$$
0\to\operatorname{Br}(K)\to\bigoplus_v\operatorname{Br}(K_v)\xrightarrow{\ \sum_v\operatorname{inv}_v\ }\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to0
$$
にまとめられる。この記事では一般の証明はせず、主張と証明の筋を述べ、四元数環への帰結と、定理と合う具体的な計算を証明する。
設定
この記事を通して、$K$ を大域体（$\mathbb{Q}$ の有限次拡大か、有限体上の 1 変数代数関数体）とし、$v$ は $K$ の素点、$K_v$ はその完備化を動く（大域体 の定義「素点と完備化」）。$K$ 上の中心単純環 $A$ について $A_v:=A\otimes_KK_v$ は $K_v$ 上の中心単純環であり（中心単純環 の系「テンソル積と係数拡大で閉じること」）、$[A]\mapsto[A_v]$ は群準同型 $\operatorname{res}_v\colon\operatorname{Br}(K)\to\operatorname{Br}(K_v)$ を定める。
$K_v$ の Brauer 群に、次の単射準同型 $\operatorname{inv}_v\colon\operatorname{Br}(K_v)\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ を与える。
- $v$ が非アルキメデス的なら、局所類体論による同型 $\operatorname{inv}_v\colon\operatorname{Br}(K_v)\xrightarrow{\sim}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$（NSW20 Corollary (7.1.4)、p. 375。この記事では証明しない）。
- $K_v=\mathbb{R}$ なら、$\operatorname{Br}(\mathbb{R})=\{0,[\mathbb{H}]\}\cong\mathbb{Z}/2$（$\mathbb{H}$ は Hamilton の四元数体。Brauer群 の例「実数体」）を $\tfrac12\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ へ写す同型。
- $K_v=\mathbb{C}$ なら $\operatorname{Br}(\mathbb{C})=0$ で、$\operatorname{inv}_v=0$。
$\operatorname{inv}_v([A_v])$ を $A$ の $v$ での局所不変量という。
主定理
$K$ を大域体、$A$ を $K$ 上の $n^2$ 次元の中心単純環とする。すべての素点 $v$ で $A\otimes_KK_v\cong M_n(K_v)$ なら、$A\cong M_n(K)$ である。すなわち
$$
\operatorname{Br}(K)\to\prod_v\operatorname{Br}(K_v),\qquad\alpha\mapsto(\operatorname{res}_v\alpha)_v
$$
は単射である。
この記事では thm-abhn-main の一般の証明はしない。NSW20 Theorem (8.1.17)（p. 437）の完全列の左端の単射性がこの主張である。$K$ が有限体上の関数体の場合は、留数写像を使う幾何的な別の証明が GS06 §6.5（Theorem 6.5.1 から Corollary 6.5.4 まで、pp. 157–159）にある。主張が $A_v$ の分裂だけを使うこと、すなわち「各 $v$ で $\operatorname{res}_v[A]=0$ なら $[A]=0$」であることと、同じ次元の中心単純環が Brauer 同値なら同型であること（Brauer群 の命題「斜体による代表」）から、2 つの言い方は同値である。
$K$ を大域体とする。
- 各 $\alpha\in\operatorname{Br}(K)$ について、$\operatorname{res}_v\alpha\neq0$ となる素点 $v$ は有限個である。
- 次の列は完全である。
$$ 0\to\operatorname{Br}(K)\xrightarrow{\ (\operatorname{res}_v)_v\ }\bigoplus_v\operatorname{Br}(K_v)\xrightarrow{\ \sum_v\operatorname{inv}_v\ }\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to0 $$
とくに、すべての $\alpha\in\operatorname{Br}(K)$ について $\sum_v\operatorname{inv}_v(\operatorname{res}_v\alpha)=0$ である（Hasse の相互律）。
1 と、2 の左端と中央の完全性もこの記事では証明しない（NSW20 Theorem (8.1.17)、p. 437。GS06 Remark 6.5.6、pp. 159–160 は、この完全列が数体でも成り立つことを Albert・Brauer・Hasse・Noether の定理として述べる）。文献によっては、完全列全体を Albert–Brauer–Hasse–Noether の定理とよぶ。右端の全射性は prop-abhn-surjective で示す。
証明の筋
一般の証明は大域類体論を使う。Brauer群 の定理「Galoisコホモロジーによる記述」により $\operatorname{Br}(K)=\bigcup_L\operatorname{Br}(L/K)$、$\operatorname{Br}(L/K)\cong H^2(G,L^\times)$（$L/K$ は有限次 Galois 拡大、$G=\operatorname{Gal}(L/K)$）なので、各 $L$ について考えればよい。$L$ のイデール群 $I_L$ とイデール類群 $C_L=I_L/L^\times$（イデール類群）の短完全列 $0\to L^\times\to I_L\to C_L\to0$ からコホモロジーの長完全列
$$
H^1(G,C_L)\to H^2(G,L^\times)\to H^2(G,I_L)\to H^2(G,C_L)
$$
が得られる。
- 各素点 $v$ の上の素点 $w$ を 1 つ選ぶと、Shapiroの補題 の例「素点の上の局所体の直積」を使って $H^2(G,I_L)\cong\bigoplus_vH^2(G_w,L_w^\times)=\bigoplus_v\operatorname{Br}(L_w/K_v)$ となる（NSW20 Proposition (8.1.2)、p. 427。無限個の素点にわたる制限直積の扱いがいる）。これが thm-abhn-exact の 1 の理由である。
- 大域類体論の主要な結果の 1 つとして $H^1(G,C_L)=0$ が成り立つ（NSW20 Proposition (8.1.12)、p. 434。巡回拡大の場合は Theorem (8.1.1)、p. 426 の一部）。したがって $H^2(G,L^\times)\to H^2(G,I_L)$ は単射で、これが thm-abhn-main である。巡回拡大 $L/K$ では $H^2$ が $0$ 次の Tate コホモロジーと同型になり（Tateコホモロジー）、この単射性は「$K^\times$ の元が $L$ からの大域ノルムであることと、すべての $v$ で局所ノルムであることは同値」という Hasse のノルム定理と同じ内容になる。
- $H^2(G,C_L)$ には大域的な不変量による $\frac1{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ への同型があり、$H^2(G,I_L)\to H^2(G,C_L)$ をこれと合成すると局所不変量の和になる（NSW20 Chapter VIII §1。この両立性に大域相互法則（大域類体論）が使われる）。したがって長完全列の完全性から、局所不変量の和の核はちょうど $H^2(G,L^\times)$ の像である。$L$ を動かして合併をとると中央の完全性と Hasse の相互律が得られる（$\bigoplus_v\operatorname{Br}(K_v)$ のどの元も、ある $L$ について $H^2(G,I_L)$ から来ることがいる。NSW20 Proposition (8.1.9)、p. 431）。
定理から直ちに従うこと
以下の 3 つは、thm-abhn-main と thm-abhn-exact を認めればこの記事の中で証明できる。
$\sum_v\operatorname{inv}_v\colon\bigoplus_v\operatorname{Br}(K_v)\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は全射である。
大域体は非アルキメデス的な素点をもつ（大域体 の定理「大域体の素点」）。その 1 つ $v_0$ をとると、$\operatorname{inv}_{v_0}$ は同型なので、$r\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ について $\operatorname{inv}_{v_0}(\beta)=r$ となる $\beta\in\operatorname{Br}(K_{v_0})$ がある。$v_0$ の成分が $\beta$ で他の成分が $0$ の元の像が $r$ である。$\square$
$v_0$ を $K$ の素点とする。$\alpha\in\operatorname{Br}(K)$ が $v_0$ 以外のすべての素点 $v$ で $\operatorname{res}_v\alpha=0$ を満たすなら、$\alpha=0$ である。
Hasse の相互律（thm-abhn-exact の 2）により $0=\sum_v\operatorname{inv}_v(\operatorname{res}_v\alpha)=\operatorname{inv}_{v_0}(\operatorname{res}_{v_0}\alpha)$ である。$\operatorname{inv}_{v_0}$ は単射なので $\operatorname{res}_{v_0}\alpha=0$ となり、すべての素点で $\operatorname{res}_v\alpha=0$ である。thm-abhn-main により $\alpha=0$ である。$\square$
四元数環
$K$ の標数は $2$ でないとし、$a,b\in K^\times$ の四元数環 $Q=(a,b)_K$ を考える。$Q_v:=Q\otimes_KK_v\cong(a,b)_{K_v}$ は $K_v$ 上の四元数環である。$Q_v$ が斜体であるような素点 $v$ の集合を $Q$ の分岐集合 $\operatorname{Ram}(Q)$ という。
- $\operatorname{Ram}(Q)$ は有限集合で、複素素点を含まず、元の個数は偶数である。
- $Q\cong M_2(K)$ であることと $\operatorname{Ram}(Q)=\emptyset$ は同値である。
- 2 つの四元数環 $Q,Q'$ について、$Q\cong Q'$ であることと $\operatorname{Ram}(Q)=\operatorname{Ram}(Q')$ は同値である。
局所不変量の決定。 四元数環 の定理「分裂の判定」により $Q_v$ は $M_2(K_v)$ か斜体のどちらかであり、同じ記事の命題「四元数環の類は位数2以下」により $2[Q_v]=0$ で、$[Q_v]=0$ は $Q_v$ が分裂することと同値である。非アルキメデス的な $v$ では $\operatorname{inv}_v$ が同型なので $\operatorname{Br}(K_v)$ の位数 $2$ の元は $\operatorname{inv}_v=\tfrac12$ のものただ 1 つであり、実素点でも $\operatorname{Br}(\mathbb{R})$ の位数 $2$ の元は $[\mathbb{H}]$ ただ 1 つである。複素素点では $\operatorname{Br}(\mathbb{C})=0$ なので $Q_v$ は分裂する。よって
$$
\operatorname{inv}_v([Q_v])=\begin{cases}\tfrac12&(v\in\operatorname{Ram}(Q)),\\0&(v\notin\operatorname{Ram}(Q))\end{cases}
$$
であり、$[Q_v]$ は $v\in\operatorname{Ram}(Q)$ かどうかだけで決まる。
1：有限性は thm-abhn-exact の 1、複素素点を含まないことは上で見た。Hasse の相互律から $\tfrac12\lvert\operatorname{Ram}(Q)\rvert\equiv0\pmod{\mathbb{Z}}$、すなわち $\lvert\operatorname{Ram}(Q)\rvert$ は偶数である。
2：$Q\cong M_2(K)$ ならすべての $Q_v$ が分裂する。逆は thm-abhn-main である。
3：同型なら係数拡大も同型なので分岐集合は等しい。逆に分岐集合が等しければ、上の決定によりすべての $v$ で $\operatorname{res}_v[Q]=\operatorname{res}_v[Q']$ であり、thm-abhn-main を $[Q]-[Q']$ に当てて $[Q]=[Q']$ を得る。Brauer群 の命題「斜体による代表」により、ある中心斜体 $D$ について $Q\cong M_r(D)$、$Q'\cong M_{r'}(D)$ で、次元がともに $4$ なので $r=r'$、よって $Q\cong Q'$ である。$\square$
例
$K=\mathbb{Q}$、$Q=(-1,-1)_{\mathbb{Q}}$ とする。$\operatorname{Ram}(Q)=\{2,\infty\}$ である。とくに $Q$ は $\mathbb{Q}$ 上の斜体で、分岐集合の元の個数 $2$ は cor-abhn-quaternion の 1 のとおり偶数である。
- $\infty$：$Q\otimes\mathbb{R}=\mathbb{H}$ は斜体である（四元数環 の例「実数体上の四元数環と Hamilton の四元数体」）。
- 奇素数 $p$：四元数環 の定理「分裂の判定」の 5（$a=b=-1$）により、$-1=x^2+y^2$ となる $x,y\in\mathbb{Q}_p$ があれば $Q_p$ は分裂する。$\mathbb{F}_p$ で $\{x^2\}$ と $\{-1-y^2\}$ はどちらも $(p+1)/2$ 個の元からなるので共通の元があり、$x_0^2\equiv-1-y_0^2\pmod p$ となる整数 $x_0,y_0$ がとれる。$x_0\not\equiv0$ なら $f(X)=X^2+y_0^2+1$ は $f(x_0)\equiv0$、$f'(x_0)=2x_0\not\equiv0\pmod p$ を満たすので、Henselの補題 の定理「Hensel の補題：単純根の持ち上げ」により $\mathbb{Z}_p$ に根 $x$ をもつ。$x_0\equiv0$ なら $y_0^2\equiv-1$、$y_0\not\equiv0$ なので、$x$ と $y$ の役割を替えて同じ議論をする。
- $p=2$：$x^2+y^2=-1$ は $\mathbb{Q}_2$ に解をもたないので、$Q_2$ は斜体である。
確かめを開く
$x,y\in\mathbb{Q}_2$ で $x^2+y^2=-1$ とし、$k:=\max(0,-v_2(x),-v_2(y))$、$u:=2^kx$、$w:=2^ky\in\mathbb{Z}_2$ とおくと $u^2+w^2=-4^k$ である。奇数の平方は $8$ を法として $1$、偶数の平方は $4$ を法として $0$ に合同である。$k=0$ なら左辺は $4$ を法として $0,1,2$ のどれかで、$-1\equiv3$ にならない。$k\ge1$ なら $u,w$ の少なくとも一方は単数である。一方だけが単数なら左辺は奇数で、右辺は偶数である。両方が単数なら左辺は $8$ を法として $2$ で、右辺は $4$ で割れる。どの場合も矛盾である。
逆向きの確かめとして、$\infty$ で分岐し奇素数で分裂することがわかれば、$\operatorname{Ram}(Q)$ の偶数性から $2$ で分岐することが計算なしに従う。
$\mathbb{Q}$ 上の四元数環について Hasse の相互律を書き下したものが、Hilbert 記号の積公式 $\prod_v(a,b)_v=1$（Hilbert記号 の記事の定理「Hilbertの積公式（有理数体）」）である。$(a,b)_v=-1$ は $v\in\operatorname{Ram}((a,b)_{\mathbb{Q}})$ と同値であり（Hilbert記号 の記事の定義「Hilbert記号」の後の説明）、積が $1$ であることは $\operatorname{Ram}$ が偶数個であることにあたる。同記事はこの積公式を、Brauer 群の一般論を使わずに平方剰余の相互法則から証明している。
反例
thm-abhn-main と thm-abhn-exact について、条件を 1 つずつ外すと次のようになる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| すべての素点で調べる（2 つの素点を除く） | $(-1,-1)_{\mathbb{Q}}$ と、$2,\infty$ 以外の素点の集合 | $\operatorname{Br}(\mathbb{Q})\to\prod_{v\ne2,\infty}\operatorname{Br}(\mathbb{Q}_v)$ の単射性 |
| 局所不変量の和が $0$ | $\operatorname{inv}_2=\tfrac12$、他の成分が $0$ の族 | 局所的な類の族が大域的な類から来ること |
| 係数が乗法群の 2 次のコホモロジー（Brauer 群） | $K=\mathbb{Q}(\sqrt7)$ と $16$ の $8$ 乗根 | $H^1(K,\mu_8)$ の局所大域原理 |
$S$ を $\mathbb{Q}$ の素点のうち $2$ と $\infty$ 以外の全体とする。ex-abhn-hamilton により $[(-1,-1)_{\mathbb{Q}}]\ne0$ だが、すべての $v\in S$ で $\operatorname{res}_v[(-1,-1)_{\mathbb{Q}}]=0$ である。よって $\operatorname{Br}(\mathbb{Q})\to\prod_{v\in S}\operatorname{Br}(\mathbb{Q}_v)$ は単射でない。この例は「$\mathbb{Q}$ は大域体」を満たすが「すべての素点で調べる」を満たさず、thm-abhn-main の単射性を破る。1 つの素点だけを除くなら単射のままである（prop-abhn-one-place）。
$K=\mathbb{Q}$ とし、$\beta\in\bigoplus_v\operatorname{Br}(\mathbb{Q}_v)$ を、$\operatorname{inv}_2(\beta_2)=\tfrac12$、他の成分が $0$ の元とする。$\sum_v\operatorname{inv}_v(\beta_v)=\tfrac12\ne0$ なので、Hasse の相互律により $\beta$ は $\operatorname{Br}(\mathbb{Q})$ の像に入らない。四元数環の言葉では、$2$ だけで分岐する $\mathbb{Q}$ 上の四元数環は存在しない（cor-abhn-quaternion の 1）。この例は「有限個の素点を除いて $0$」を満たすが「和が $0$」を満たさず、局所的な類の族が大域的な類から来ることを破る。
$K=\mathbb{Q}(\sqrt7)$ とする。$16$ はすべての素点 $v$ で $K_v^{\times}$ の $8$ 乗だが、$K^\times$ の $8$ 乗ではない。Kummer 理論（Kummer理論）により $K^\times/K^{\times8}\cong H^1(K,\mu_8)$ なので、局所化 $H^1(K,\mu_8)\to\prod_vH^1(K_v,\mu_8)$ は単射でない。この例は「$K$ は大域体」を満たすが、コホモロジーが乗法群の 2 次（Brauer 群）でなく $\mu_8$ の 1 次なので、thm-abhn-main と同じ形の局所大域原理を破る。
確かめを開く
$X^8-16=(X^2-2)(X^2+2)(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$ であり、根は $\pm\sqrt2$、$\pm\sqrt{-2}$、$\pm1\pm\sqrt{-1}$ である（$(1+i)^2=2i$、$(2i)^4=16$）。
大域的：$K\subset\mathbb{R}$ なので、$x\in K$ で $x^8=16$ なら $x=\pm\sqrt2$ である。$\sqrt2\in\mathbb{Q}(\sqrt7)$ なら $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\mathbb{Q}(\sqrt7)$ で $14$ が有理数の平方になるが、そうではない。
実素点：$16=2^8$。奇素数 $p$ の上の素点：$\bigl(\tfrac{-1}{p}\bigr)\bigl(\tfrac{2}{p}\bigr)\bigl(\tfrac{-2}{p}\bigr)=\bigl(\tfrac{4}{p}\bigr)=1$ なので、$-1,2,-2$ のどれかは $\mathbb{F}_p$ の平方であり、上の因数分解から $X^8-16$ は $\mathbb{F}_p$ に根 $x_0\ne0$ をもつ。$8x_0^7\not\equiv0\pmod p$ なので、Henselの補題 の定理「Hensel の補題：単純根の持ち上げ」により $\mathbb{Z}_p\subset K_v$ に根がある。$2$ の上の素点 $w$：$f(X)=X^2+7$ は $v_2(f(1))=3>2=2v_2(f'(1))$ を満たすので、同記事の命題「Hensel の付値条件」により $\sqrt{-7}\in\mathbb{Z}_2$ である。$K_w\supset\mathbb{Q}_2(\sqrt7)$ は $\sqrt{-7}$ と $\sqrt7$ を含むので $\sqrt{-1}=\sqrt{-7}/\sqrt7$（符号は適当に選ぶ）を含み、$1+\sqrt{-1}$ が $8$ 乗して $16$ になる。
補足
Brauer・Hasse・Noether は、この定理を使って、代数体上の中心単純環はすべて巡回環であり、その Brauer 群での位数（周期）が指数に等しいことも示した（GS06 Remark 6.5.6、pp. 159–160）。これを認めると、$\operatorname{Br}(K)[2]$ の元はすべて四元数環の類になり、複素素点を含まない偶数個の素点の有限集合は、どれもある四元数環の分岐集合として現れる（thm-abhn-exact の中央の完全性と合わせる）。この記事ではこれらを証明しない。
関連項目
- 前提: Brauer群, 中心単純環, 大域体, 局所類体論
- 証明に使う: 大域類体論, イデール類群, Shapiroの補題, Tateコホモロジー
- 例: 四元数環, Hilbert記号, Hasse原理
- 比較: Hasse–Minkowskiの定理, Tate–Shafarevich群, Poitou–Tate双対
参考文献
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